22.2平行四边形的判定 同步练习2024-2025学年冀教版数学八年级下册

22.2平行四边形的判定 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是( ) A.AB∥CD B.AC=BD C.AB=CD D.OA=OC 2.已知:如图,,,给出以下结论: ①;②; ③其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.如图,将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置,平移的距离是边长的两倍,则图中的四边形的面积为( ) A.5 B.10 C.15 D.20 4.刘师傅要检验一个零件是否为平行四边形,用下列方法不能检验的是( ) A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,AD=BC C.AB=CD,AD = BC D.AB∥CD,AD∥BC 5.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个. A.1 B.2 C.3 D.无数 6.四边形,仅从下列条件中任取两个加以组合,使得是平行四边形,一共有多少种不同的组合?,,,( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.6组 7.在中,、分别在、上,若想使四边形为平行四边形,须添加一个条件,这个条件可以是( ) ①;②;③;④. A.①或② B.②或③ C.③或④ D.①或③或④ 8.如图,已知是边长为的等边三角形,点是边上的一点,且,以为边作等边,过点作,交于点,连接,则下列结论: ;四边形是平行四边形;其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图,,,、交于点,下列结论中不正确的是( ) A. B. C.沿折叠后,点的对应点是,则以A、、、为顶点的四边形是平行四边形 D.点在线段的中垂线上 10.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( ) A.一组对角相等 B.对角线互相平分 C.一组对边平行,另一组对边相等 D.对角线互相垂直 11.下列判断正确的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 B.两条对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C.两组邻角分别互补的四边形一定是平行四边形 D.两条对角线相等的四边形一定是平行四边形 12.如图,中,点E是AD上一点,BE⊥AB, ABE沿BE对折得到 BEG,过点D作DF∥EG交BC于点F, DFC沿DF对折,点C恰好与点G重合,则的值为(  ) A. B. C. D. 二、填空题 13.如图,当AO=OC,BD=6cm,那么OB= cm时,四边形ABCD是平行四边形. 14.如图,在四边形中,,,若,则 . 15.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件 使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可). 16.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需增加的一个条件是 (填一种情况即可). 17.若与相交于点,那么当 , 时,四边形是平行四边形. 三、解答题 18.如图,AC是平行四边形ABCD的一条对角线,DE⊥AC,BF⊥AC垂足分别是E、F. 求证:四边形DEBF是平行四边形. 19.(1)问题发现: 如图(1),和都是等腰直角三角形,,点在线段上,点在线段上,请直接写出线段与的数量关系:_;(直接填写结果) (2)操作探究: 如图(2),将图中的绕点顺时针旋转(),I小题中线段与线段的数量关系是否成立?如果不成立,说明理由,如果成立,请你结合图(2)给出的情形进行证明; (3)解决问题: 将图(1)中的绕点顺时针旋转,若,在备用图中画出旋转图形,并判断以、、、四个点为顶点的四边形的形状.(不写证明过程) 20.已知四边形的对角线交于点,且.试说明:. 21.如图, ABCD中,E、F分别在BA、DC的延长线上,且AE=AB,CF=CD,AF和CE的关系如何?说明理由. 22.综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,四边形是平行四边形,已知,.将先向右平移4个单位后,再向下平移个单位,得到. (1)请你直接写出点,的坐标; (2)平行四边形与的重叠部分的形状是_,重叠部分的面积是_; (3)在平面内是否存在一点D,使得以O,,,D为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 23.如图,是等边三角形,点是射线上的一个动点点不与点,重合,是以为边的等边三角形,过点作的平行线,分别交射线,于点,,连接. (1)求证:≌. (2)当点在线段上时.探究四边形是怎样特殊的四边形?并写出证明过程. 24.如图,在四边形ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,∠ADB=∠CBD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 《22.2平行四边形的判定》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C C D C B B 题号 11 12 答案 B B 1.B 【详解】试题分析:根据平行四边形的性质推出即可. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,OA=OC, 但是AC和BD不一定相等, 故选B. 2.D 【分析】由,,可证四边形是平行四边形,根据平行四边形的性质即可求解. 【详解】解:∵,, ∴四边形是平行四边形, ∴①平行四边形的对角相等,即,正确;②平行四边形的对边平行且相等,即,正确; ③平行四边形的对边平行且相等,即,正确. ∴正确的有:①,②, ③, 故选:. 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质,掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键. 3.D 【分析】设点A到的距离为h,根据平移的性质可得,再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解. 【详解】解:设点A到的距离为h, 则, ∴, ∵沿方向平移的距离是边长的两倍, ∴,, ∴四边形是平行四边形, ∴四边形的面积. 故选:D. 【点睛】本题考查了平移的性质,三角形的面积,熟记性质并确定是解题的关键. 4.B 【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可. 【详解】解:A、∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. B、由AB∥CD,AD=BC,无法判断四边形是平行四边形,四边形可能是等腰梯形. C、∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. D、∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 故选B. 【点睛】本题考查平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定,属于中考常考题型. 5.C 【分析】分别以 ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图,分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形,共可以作出3个平行四边形. 故选C. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定,解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 6.C 【分析】根据平行四边形的判定与定义进行判定即可. 【详解】首先,要正确理解平行四边形的概念:两边平行且相等的四边形是平行四边形.或者两对对边分别平行的四边形是平行四边形,或者两对对边分别相等的四边形是平行四边形. 依据这些条件,我们可以推断出一共有,;,;,;,,共4组, 故选:C. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与定义,掌握平行四边形的判定与定义是解题的关键. 7.D 【分析】由平行四边形的判定定理依次判断即可解答. 【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB//CD,AB=CD,∠B=∠D,AD//BC,AD=BC, ∴AF//EC ∵AF=EC, ∴四边形AFCE是平行四边形,故①符合题意; ∵AF//EC,, ∴四边形AFCE可能是平行四边形、也可能是等腰梯形,故②不符合题意; 如果∠BAE=∠FCD,则 ABE≌ DFC(ASA) ∴BE=DF, ∴AD-DF=BC-BE, 即AF=CE, ∵AF//CE, ∴四边形AFCE是平行四边形,故③符合题意; 如果∠BEA=∠FCE, ∴AE//CF, ∵AF//CE, ∴四边形AFCE是平行四边形、故④符合题意. 故选D. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定.灵活运用平行四边形的性质与判定定理是解答本题的关键. 8.C 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.连接,作于首先证明,根据可证明,再证明是等边三角形即可解决问题. 【详解】解:作于. 都是等边三角形, , , 在与中, , ,故正确; , , , 是等边三角形, , , 四边形是平行四边形,故正确, ,故正确, , , , ,故错误, 都正确, 故选:C. 9.B 【分析】根据全等三角形的判定和性质及折叠的性质,平行四边形的判定,等腰三角形的性质等依次判断即可. 【详解】解:A、在和中: ∴; ∴; ∴,结论正确,不符合题意; B、无法证明,结论错误,符合题意; C、如图所示,沿折叠后,点的对应点是, ∵, ∴, ∴, ∴四边形为平行四边形,结论正确,不符合题意; D、∵, ∴,即点在线段的中垂线上,结论正确,不符合题意; 故选B. 【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质,等腰三角形的性质及折叠的性质,解题关键是要把握三角形全等的判定定理. 10.B 【分析】平行四边形的判定定理:①两组对角分别相等的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,对角线互相平分的四边形是平行四边形,有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形,据此进行判断即可. 【详解】解:如图: A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故本选项错误,不符合题意; B、∵、,∴四边形是平行四边形,故本选项正确,符合题意; C、“一组对边平行,另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,故本选项错误,不符合题意; D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,例如:筝形,故本选项错误,不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理得应用,题目具有一定的代表性,但是一道比较容易出错的题目. 11.B 【详解】解:A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,故本选项错误; B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项正确; C.两组邻角分别互补的四边形不一定是平行四边形,还可能是梯形,故本选项错误; D.两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形的两条对角线相等,故本选项错误; 故选B. 12.B 【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质,利用SAS证明,进而得到,设AB=x,则AG=2x,CD=x,AD=,即可求解. 【详解】解:在中 ∵DF∥EG ∴∠DEG=∠DFB ∵ ABE沿BE对折得到 BEG ∴∠DEG=2∠A ∵∠DFB=∠C+∠CDF ∠A=∠C ∴∠CDF=∠A ∵ DFC沿DF对折 ∴∠BGE=∠DGE BG=DG EG=EG ∴ ∵BE⊥AB ∴ 设AB=x,则AG=2x,CD=x,AD= ∴ 故选:B. 【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理,熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键. 13. 【分析】根据平行四边形的判定—对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答. 【详解】∵BD=6cm,根据题意,当时, ∴ , ∴ , ∵AO=OC, ∴四边形ABCD是平行四边形, 故答案为: 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理. 14.110 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定,平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系.由,可以判定四边形是平行四边形,然后根据平行四边形的性质即可求出. 【详解】解:,, 四边形是平行四边形, . 故答案为:110. 15.AF=CE(答案不唯一). 【详解】根据平行四边形性质得出AD∥BC,得出AF∥CE,当AF=CE时,四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定,可添加AF=CE或FD=EB. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义,可添加AE∥FC. 添加∠AEB=∠FCB或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC,也可使四边形AECF是平行四边形. 16.BE=DF 【分析】根据平行四边形的判定添加条件即可. 【详解】解:如图,连接AC交BD于点O, ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO, ∴当BE=DF时,可得OE=OF,则四边形AECF为平行四边形, ∴可增加BE=DF, 故答案为:BE=DF(答案不唯一). 【点睛】本题考查了平行四边形的判定,是开放题,答案不唯一,熟练掌握判定定理是解题的关键. 17. 5 4 【分析】由平行四边形的对角线互相平分即可填空. 【详解】当两条对角线互相平分时,该四边形是平行四边形, 如图,∵, ∴当时,四边形是平行四边形. 故答案为:5,4. 【点睛】此题考查平行四边形的对角线互相平分的判定定理,熟记定理并运用解题是关键. 18.见解析 【分析】利用平行四边形的性质可得 ,再由DE⊥AC,BF⊥AC,可得 , ,可证 ,从而得到 ,即可求证. 【详解】解:∵AC是平行四边形ABCD的一条对角线, ∴ , , ∴ , ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴ , , 在 和 中, ∵ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴四边形DEBF是平行四边形. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键. 19.(1);(2)(1)中结论仍成立;(3)详见解析 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AE=AD,再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系; (2)根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC,AE=AD,根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD,根据SAS可证 BAE≌ CAD,根据全等三角形的性质即可求解; (3)根据题意作图,根据等腰三角形及旋转的特点证明即可求解. 【详解】(1)∵ ABC和 AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90 , ∴AB=AC,AE=AD, ∴AE−AB=AD−AC, ∴BE=CD; (2)(1)中结论仍成立,理由: ∵和都是等腰直角三角形,, ,, 由旋转的性质得,, 在与中,, ∴ ∴. (3)画图如下: ∵, AED是等腰直角三角形, ∴AC=CD,AC⊥DE 又∵ ABC是等腰直角三角形, ∴AB=AC=CD,AB⊥AC ∴ 则以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】此题是四边形综合题,涉及的知识点有:等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,解(2)的关键是判断出 BAE≌ CAD,解(3)的关键是画出示意图;综合性较强,难度中等. 20.答案见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质,根据性质可以推出此四边形为平行四边形,利用已知条件判定四边形是平行四边形. 【详解】解:∵, ∴四边形是平行四边形, ∴. 21.AF=CE,AF∥CE,理由详见解析. 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AECF是平行四边形即可得到AF=CE,AF∥CE. 【详解】解:结论:AF=CE,AF∥CE. 理由:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∵AE=AB,CF=CD, ∴AE=CF,AE∥CF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∴AF=CE,AF∥CE. 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法和性质,属于中考常考题型. 22.(1), (2)平行四边形; (3)存在,点D的坐标是或或 【分析】(1)由平移的性质即可得出答案. (2)过点B作轴于点E,由平行四边形的性质和平移的性质可得,,即可求解. (3)分三种情况讨论,由平行四边形的性质可求解. 【详解】(1)解: ∵先向右平移4个单位后,再向下平移个单位,得到, ∴点,点向右平移4个单位后,再向下平移个单位分别得到,, ∵,, ∴,. 故答案为:,. (2)解:过点B作轴于点E, ∵四边形和四边形是平行四边形, ∴,, ∵经平移得到, ∴, ∴, 同理, ∴与的重叠部分的形状是平行四边形, ∵点A的坐标为, ∴, ∵点C的坐标为, ∴点B的坐标为, ∵, ∴点在线段上,,. ∴点是线段的中点, ∵轴, ∴点G平分线段 ∴是的中位线, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴. (3)解:存在点D,使以O,,,D为顶点的四边形是平行四边形, 如图,当为平行四边形的边时,,,, ①四边形为平行四边形, ∵点向左平移2个单位,再向平移3个单位后得到, ∴点O向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到D, ∴ ②四边形为平行四边形, ∵点向左平移2个单位,再向下平移3个单位后得到, ∴点O向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到D, ∴; 当为平行四边形的对角线时,即为平行四边形的边时, ∵点O向右平移2个单位,再向上平移个单位后得到, ∴点向右平移2个单位,再向上平移个单位后得到D, ∴, 综上所述,点D的坐标是或或. 【点睛】本题考查了几何变换综合题,考查了平行四边形的性质,平移的性质,利用分类讨论思想是解题的关键. 23.(1)见解析 (2)四边形是平行四边形,理由见解析 【分析】(1)根据等边三角形的性质可得,,,然后求出,再利用边角边证明和全等; (2)四边形是平行四边形,因为≌,所以可得,进而证明,则可得到,又,所以四边形是平行四边形. 【详解】(1)证明:和都是等边三角形, ,,. 又,, , 在和中, , ≌; (2)解:四边形是平行四边形,理由如下: 由得≌, . 又, , ∴, 又∵, 四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键. 24.见解析. 【分析】根据∠ADB=∠CBD,可知AD∥BC,由题意DE⊥AC,BF⊥AC,可知∠AED=∠CFB=90 ,因为DE=BF,所以证出 ADE≌ CBF(AAS),根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出. 【详解】∵∠ADB=∠CBD, ∴AD∥BC, ∴∠DAE=∠BCF, ∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED=∠CFB=90 , 又∵DE=BF, ∴ ADE≌ CBF(AAS), ∴AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定,熟知由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$