精品解析：2025年浙江省宁波市镇海区中考一模数学试题

2025年浙江省初中学业水平考试模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试题卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标公式：． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴是直线 ； 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2. 透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故选项 符合题意； B. 不是轴对称图形，故选项 不符合题意； C. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选： ． 3. 我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．用科学记数法表示较大数时的形式为，其中，n为正整数，确定a的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是0的数字后面即可，确定n的值时，n比这个数的整数位数小1． 【详解】解：数据1000000000用科学记数法可以表示为， 故选：B． 4. 如图，多边形是边长为1的正六边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的相关性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，掌握正多边形的性质是解题的关键． 先根据内角和定理即可求解，连接 ，过点B作于点H，由得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：∵多边形是边长为1的正六边形， ∴，， ∴， 连接 ，过点B作于点H， ∴， ∵， ∴，故D符合题意， 故选：D． 5. 已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当 时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键． 分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解． 【详解】解：当时，联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关） 当 联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关）， ∴发现点 与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称， ∴， 故选：B． 6. 已知一组样本数据，， ，为不全相等的 个正数，其中．若把数据，， ，都扩大 倍再减去 （其中 是实数，），生成一组新的数据，， ，，则这组新数据与原数据相比较，（ ） A. 平均数相等 B. 中位数相等 C. 方差相等 D. 标准差可能相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、平均数、方差和标准差的概念，根据中位数、平均数、方差和标准差定义即可判断，掌握中位数、平均数、方差和标准差得概念是解题的关键． 【详解】∵一组样本数据，， ，为不全相等，则扩大 倍时，再减去， ∴新的数据，， ，， 、由题意可得：设原数据平均数为，则新数据平均数为，平均数不相等，不符合题意； 、由题意可得：设原数据中位数为，则新数据中位数为，中位数不相等，不符合题意； 、由题意可得：设原数据方差为 ，则新数据方差为倍，方差可能相等，不符合题意； 、根据标准差的概念是方差的算术平方根，设原数据标准差为 ，则新数据标准差为， ∴当 时，则标准差可能相等，符合题意； 故选：． 7. 如图，在正方形 中，将对角线 绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作 于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求解即可判断． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴， ∴， 当时，过点E作 于H， 当时，则，是等腰直角三角形， ∴ ，， 在中，， 整理得，故A不符合题意； 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，，即点与点重合， ∴，故B符合题意； 当时，则，， ∴，，， 在中，， 则，故C不符合题意； 当时，则，， ∴，，，即点与点重合， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点一定位于（ ） A. 一次函数图象的上方 B. 一次函数 图象的下方 C. 一次函数 图象的上方 D. 一次函数图象的下方 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可． 【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下： A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意； B、二次函数的图象与一次函数 的图象有交点，所以点不一定位于一次函数 图象的下方，故B选项不符合题意； C、二次函数的图象在一次函数 的上方，所以点一定位于一次函数 图象的上方，故C选项符合题意； D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数 图象的上方，故D选项不符合题意； 故选：C． 9. 已知矩形 的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径 上．若，则矩形 的面积等于（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴ ， ∵矩形 ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形 的面积为， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故选： ． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再方程两边同时除以4，即可求解． 【详解】 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 如图，四边形是平行四边形，已知，，则_____． 【答案】 ##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质．先利用三角形的外角性质求得的度数，再根据平行四边形的性质推出，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 _____． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先求出第一组的中位数为22.5，然后再分类讨论即可求解． 【详解】解：第一组：20，21，22，25，24，23排列后为20，21，22，23，24，25， ∴中位数为， ①第二组：20，21，23，25，，26排列为：，20，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ②第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，，21，23，25，26，中位数为，不符合题意； ③第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，，23，25，26，中位数为，解得：； ④第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，，25，26，中位数为，解得：，此时，不符合题意； ⑤第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，，26，中位数为，不符合题意； ⑥第二组：20，21，23，25，，26排列为：20，21，23，25，26，，中位数为，不符合题意； 故， 故答案为：22． 14. 使得方程有实数根的最大的整数 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的 的非负整数值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 15. 已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则______． 【答案】132 【解析】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴ ． 故答案为：132． 16. 已知正方形 中，射线与边 交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则 的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出是解题的关键． 连接， ，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接， ， ∵正方形 的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， ， 当时，有最小值， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 家庭作业：计算． 小荃计算结果是；小翼计算结果是0． 你认为他们两人谁得到的结果正确？请你写出正确的计算过程． 【答案】小翼， ， 答：小翼得到的结果正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可． 【详解】略 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先将方程整理成一般式，再求出，利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴，． 19. 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． （2）求方方成绩的方差． （3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米； （2） （3）圆圆同学的成绩较好． 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差． （1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可； （2）根据方差的计算方法计算即可； （3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定． 【小问1详解】 解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可， 圆圆成绩的平均数：（米）， 方方成绩的平均数：（米）， 答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米； 【小问2详解】 解：方方成绩的方差为：（平方米）； 【小问3详解】 解：， ∴圆圆同学的成绩较好， 理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好． 20. 已知平行四边形 中，点是对角线上的 等分点．连结， 分别交线段于点，连结 ． （1）若，则应该满足什么条件？ （2）若，四边形 的面积为，的面积为，求 的值． 【答案】（1）应该满足 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段． （1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系； （2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的 等分点，则，即可得到，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形 ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍） ∴当，则应该满足； 【小问2详解】 解：当， 由（1）得： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形，为中心对称图形， ∴， ∵点是对角线上的 等分点， ∴， ∴， 整理得：， 解得： 或（舍）． 21. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 在中，点分别在边上，线段相交于点 ． （1）若是正三角形，，求的值． （2）设四边形 的面积为，， ， 的面积分别为，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 【解析】 【分析】（1）证明得到，那么，即可求解； （2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明． 【小问1详解】 解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数 ，，且是的相切函数，点为切点． （1）试写出切点的坐标（____，____），及 与 的关系式_____． （2）当 时，试判断以下两组值① ，；② ，能否使成立？并说明理由． （3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且 ，求的值． 【答案】（1），， （2）①不成立，②成立，理由如下： 由（1）得： ， ， ， 要使成立，则： ， 整理，得： ， ， ， ， ， ①当 ，时， ，不满足， 不成立； ②当 ，时， ，满足， 成立； （3）或 【解析】 【分析】（1）联立与，得 ，整理得 ，由题意得 ，于是可得 ，即 ，将 代入方程 ，得 ，解方程即可求出的值，进而可求出相对应的 值，于是可得切点的坐标； （2）由（1）得 ，则 ， ，要使成立，则 ，整理得 ，由 可得 ，进而可得，据此对 、 的两组值进行验证，即可得出答案； （3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得 ， ，再结合 ，可得 ，由（1）得 ，将 代入并整理，得 ，由 可得 ，进而可得 ，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：联立与，得： ， 整理，得： ， 由题意得： ， 即： ， ， ， 将 代入方程 ，得： ， 整理，得： ， ， ， ，即： ， 将 代入 ，得： ， 切点的坐标为， 故答案为：，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：函数的图象经过点，函数的图象经过点， ， ， ， ， 即： ， 由（1）得： ， 将 代入，得： ， 整理，得： ， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出 是解题的关键． 24. 已知内接于圆， 平分 交圆于点 ，交于点， 是 上一点． （1）若，_______，求 的度数． ① ；② ． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解 的度数．） （2）若 ，求的长． （3）若 ，求证： ． 【答案】（1）若选择①， ；若选择②， （2） （3） 证明：∵ 平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）当选择①时，由题意易得 ，，然后可得 是直径，则有点M是圆心，且四边形 是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设 ，则有 ，然后可得方程 ，进而问题可求解； （2）由题意易得，则可证 ，则有，进而问题可求解； （3）先证明 ， ，则有，，然后根据可得，进而问题可求证． 【小问1详解】 解：当选择①时， ∵， 平分 ， ∴ ，， ∴， ∴ 是直径， ∵ ， ∴ ， ∴点M是圆心，且四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形， ∴ ， ∴ 都为等边三角形， ∴ ， ∴ ； 若选择②， ∵， 平分 ， ∴，， 由 可设 ，则有 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形内接于圆， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ 平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省初中学业水平考试模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试题卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标公式：． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 透过城市文旅LOGO可以窥见城市独有的文旅魅力．下列城市文旅LOGO是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国“北斗导航系统”用的原子钟以纳秒级计算时间．已知1秒=1000000000纳秒，则数据1000000000用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，多边形是边长为1的正六边形，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当 时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知一组样本数据，， ，为不全相等的 个正数，其中．若把数据，， ，都扩大 倍再减去 （其中 是实数，），生成一组新的数据，， ，，则这组新数据与原数据相比较，（ ） A. 平均数相等 B. 中位数相等 C. 方差相等 D. 标准差可能相等 7. 如图，在正方形 中，将对角线 绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 在平面直角坐标系中，点一定位于（ ） A. 一次函数图象的上方 B. 一次函数 图象的下方 C. 一次函数 图象的上方 D. 一次函数图象的下方 9. 已知矩形 的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径 上．若，则矩形 的面积等于（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 10. 已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是__________． 12. 如图，四边形是平行四边形，已知，，则_____． 13. 已知如下的两组数据： 第一组：20，21，22，25，24，23； 第二组：20，21，23，25，，26． 若两组数据的中位数相等，实数 _____． 14. 使得方程有实数根的最大的整数 _____． 15. 已知是镜子，球在两镜子之间的地面上．球在镜子中的像为，在中的像为．若镜子，之间的距离为66，则______． 16. 已知正方形 中，射线与边 交于点 ，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则 的最小值为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 家庭作业：计算． 小荃计算结果是；小翼计算结果是0． 你认为他们两人谁得到的结果正确？请你写出正确的计算过程． 18. 解方程：． 19. 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量． （2）求方方成绩的方差． （3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由． 20. 已知平行四边形 中，点是对角线上的 等分点．连结， 分别交线段于点，连结 ． （1）若，则应该满足什么条件？ （2）若，四边形 的面积为，的面积为，求 的值． 21. 杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求 的度数． 22. 在中，点分别在边上，线段相交于点 ． （1）若是正三角形，，求的值． （2）设四边形 的面积为，， ， 的面积分别为，求证：． 23. 在同一平面直角坐标系中，若函数与的图象只有一个公共点，则称是的相切函数，公共点称为切点．已知函数 ，，且是的相切函数，点 为切点． （1）试写出切点 的坐标（____，____），及 与 的关系式_____． （2）当 时，试判断以下两组值① ，；② ，能否使成立？并说明理由． （3）若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且 ，求的值． 24. 已知内接于圆， 平分 交圆于点，交于点， 是 上一点． （1）若，_______，求 的度数． ① ；② ． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解 的度数．） （2）若 ，求的长． （3）若 ，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $