清单02 相交线和平行线（考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材青岛版

清单02相交线和平行线（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】对顶角、邻补角（） 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________，的邻补角是________； (2)若，求的度数． 【变式1-1】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，点在同一条直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东潮州·阶段练习）两条直线相交，若其中一个角为，则它的邻补角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】点到直线的距离（） 【例2】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（   ） A． B．小于 C．不大于 D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，则点到直线的距离为（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（  ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2-3】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，三角形中，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 【变式2-4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【考点题型三】垂线段最短（） 【例3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）在2024年12月8日成都举办的混合团体世界杯决赛中，中国代表队以总比分8－1战胜对手获得冠军．比赛中某运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路走才能使所走的路程最少，这是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【变式3-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走的路线如图所示，假设四人的速度相等，则C同学最先通过了马路，原因是 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 【考点题型四】平行线公理（） 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【变式4-2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【考点题型五】同位角，内错角和同旁内角（） 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，直线，，被射线和所截，则下列关系正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【变式5-1】（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，直线，被直线所截，则下列说法中错误的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【变式5-3】（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【考点题型六】两直线平行的条件（） 【例6】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图所示，直线经过点，直线经过点，下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【变式6-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】利用平行线的性质求角（） 【例7】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，，平分， 若， 则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，地在地的北偏西方向，，则地在地的 方向． 【考点题型八】平行线与折叠综合（） 【例8】（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 【变式8-2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，将一长方形纸片沿EF 折叠后，点 D，C分别落在点 、的位置， 若， 则 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，一张长方形纸片，点，在边上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时测得，则 度. 【变式8-4】（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 【考点题型九】平行线的生活中的实际应用（） 【例9】（2025·山西吕梁·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变（如图所示），这就是光的折射现象．图中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】（23-24七年级下·河南郑州·期中）一辆汽车在路上行驶，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，那么转弯的角度有可能是（　　） A．先向左转，再向右转 B．先向左转，再向左转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【变式9-5】（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 【变式9-6】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台、延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角 ． 【考点题型十】平行线的性质与判定综合（） 【例10】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，平分，． (1)试判断与的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【变式10-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式10-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点在边上，，，垂足分别是． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，，求的度数． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 【变式10-3】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若，，求的度数． 【变式10-4】（24-25七年级下·陕西延安·阶段练习）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【变式10-5】（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【考点题型十一】平行线中常考模型（） 【例11】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【变式11-1】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【变式11-2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【变式11-3】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 【变式11-4】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02相交线和平行线（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 清单02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 清单03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 清单04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 清单05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 清单06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【考点题型一】对顶角、邻补角（） 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线，，相交于点O，，平分． (1)的对顶角是________，的邻补角是________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线有关的计算、垂直，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． （1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得； （2）根据角平分线定义得出，设，则，根据图形得出，求出，根据垂线定义得出，求出，最后根据对顶角相等得出答案即可． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为或． （2）解：∵平分， ∴， 设，则，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）如图，点在同一条直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，邻补角互补，根据邻补角的定义可得，再根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：由条件可知， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，解题关键是准确理解定义，正确判断． 根据对顶角的概念判断即可． 【详解】A、和不是对顶角，故该选项不合题意； B、和不是对顶角，故该选项不合题意； C、和是对顶角，故该选项符合题意； D、和不是对顶角，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东潮州·阶段练习）两条直线相交，若其中一个角为，则它的邻补角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角（利用邻补角互补求角度），熟练掌握邻补角的定义是解题的关键：两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，和、和、和、与互为邻补角． 由邻补角互补即可直接得出答案． 【详解】解：两条直线相交，若其中一个角为，则它的邻补角度数为： ， 故选：． 【变式1-4】（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点．若平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角、角平分线的定义，根据垂直和角平分线的定义可得的度数，再根据邻补角的和为可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【考点题型二】点到直线的距离（） 【例2】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（   ） A． B．小于 C．不大于 D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断． 【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，， ∴距离一定不大于， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，则点到直线的距离为（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到直线的距离为线段的长度． 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（  ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，根据题意的分析，可以运用点到直线的距离的定义以及跳远比赛的规则作出分析和判断． 【详解】解：在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是线段的长度， 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，三角形中，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：8． 【变式2-4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【考点题型三】垂线段最短（） 【例3】（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）在2024年12月8日成都举办的混合团体世界杯决赛中，中国代表队以总比分8－1战胜对手获得冠军．比赛中某运动员跑到赛场边围挡处喝水，沿垂直于围挡的路走才能使所走的路程最少，这是因为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：沿垂直于围挡的路走才能使所走的路程最少，这是因为垂线段最短． 故选C． 【变式3-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）A，B，C，D四位同学准备从斑马线上的点P处过马路，四人所走的路线如图所示，假设四人的速度相等，则C同学最先通过了马路，原因是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】此题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是C同学，原因是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式3-2】（24-25七年级上·广东珠海·期末）下列三种现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是 (填序号)． 【答案】② 【分析】本题主要考查了线段的性质，分别判断三种现象，确定用“两点之间，线段最短”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 所以，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是②， 故答案为：②． 【考点题型四】平行线公理（） 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．两直线平行，同位角相等 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理解答即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行． 故选：D． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【考点题型五】同位角，内错角和同旁内角（） 【例5】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，直线，，被射线和所截，则下列关系正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 与是邻补角，故本选项错误，不符合题意； B. 与不是同旁内角，故本选项错误，不符合题意； C. 与是同位角，故本选项正确，符合题意； D. 与不是内错角，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南三门峡·阶段练习）如图，直线，被直线所截，则下列说法中错误的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角，对顶角，同位角、同旁内角，根据定义求解是解题关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角． 根据邻补角的定义，对顶角的定义，同位角的定义，同旁内角的定义求解即可． 【详解】解：A、与是邻补角，故A正确； B、与是邻补角，故B错误； C、与是同位角，故C正确； D、与是同旁内角，故D正确 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中不正确的是（    ） A．与是邻补角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形．根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义分别分析即可； 【详解】解：A、与是邻补角，该说法正确，故不符合题意； B、与是同位角，该说法正确，故不符合题意； C、与不是内错角，该说法不正确，故符合题意； D、与是对顶角，该说法正确，故不符合题意； 故选：C． 【变式5-3】（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】A 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的定义是解题的关键． 根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断． 【详解】A、与没有公共顶点，且两边也不存在反向延长线的关系，所以不是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、与是、被所截，在截线同旁，且在被截线、同一侧的角，所以是同位角，故本选项正确，符合题意； C、与是是、被所截，形成的内错角，故本选项错误，不符合题意； D、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【考点题型六】两直线平行的条件（） 【例6】（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记相关定理是解题关键． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行，可判定； 、、，均不能推出； 故选：C 【变式6-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图所示，直线经过点，直线经过点，下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能得到，不符合题意； B、，可以得到，不能得到，不符合题意； C、，不能得到，不符合题意； D、，则：，即：，则：，符合题意； 故选D． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能判断是那两条直线被那一直线所截的角，并进一步判断那两直线平行是解此题的关键． 根据平行线的判定定理：角平分线的判断判断①，内错角相等，两直线平行判断②③，同旁内角互补，两直线平行，判断④、⑤即可． 【详解】解：①，只能说明是的角平分线，不能得出，故不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），，故符合题意； ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故不符合题意； ⑤∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故符合题意， 则符合题意的是． 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C，和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D，和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 【考点题型七】利用平行线的性质求角（） 【例7】（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，，平分， 若， 则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等． 由平行线的性质得，再由角平分线的定义得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，直线，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，如图，过顶点作，根据平行线的性质，得出，再由对顶角相等得到，利用两直线平行同旁内角互补得到，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点作， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式7-4】（24-25七年级下·河南焦作·阶段练习）如图，地在地的北偏西方向，，则地在地的 方向． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方位角，平行线的性质，熟练掌握方位角通常表达成北（南）偏东（西）多少度是解题关键． 过点作，根据方位角的概念及平行线的性质求出度数即可． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，得，且， ，， ， ， ， 故地在地的北偏东． 故答案为：北偏东 【考点题型八】平行线与折叠综合（） 【例8】（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据平行线的性质可得，再根据折叠可得 ，据此即可求得． 【详解】解：由折叠知， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：D． 【变式8-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，一张长方形纸条沿折叠．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠的性质、角度的运算、平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠的性质． 先根据折叠性质得出，再计算出的角度，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：根据折叠性质可得：， ， ， 长方形中，， ． 故答案为：． 【变式8-2】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，将一长方形纸片沿EF 折叠后，点 D，C分别落在点 、的位置， 若， 则 ． 【答案】/68度 【分析】此题主要考查了平行线的性质，首先根据翻折变换可得的度数，再根据平行线的性质可得的度数．关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，一张长方形纸片，点，在边上，点，在上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，此时测得，则 度. 【答案】 【分析】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，找到对应关系和正确的计算是解题的关键．利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：四边形是方形纸， ， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24七年级下·陕西商洛·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，交于点，再沿折叠成图，点落在点的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和角的和差，根据平行线的性质、折叠的性质和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【考点题型九】平行线的生活中的实际应用（） 【例9】（2025·山西吕梁·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如下图，由题意得：， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式9-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过C作得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：过C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式9-2】（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，即可． 【详解】， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 【变式9-3】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变（如图所示），这就是光的折射现象．图中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：． 【变式9-4】（23-24七年级下·河南郑州·期中）一辆汽车在路上行驶，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，那么转弯的角度有可能是（　　） A．先向左转，再向右转 B．先向左转，再向左转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．根据题目的已知条件画出图形进行分析，逐一判断即可解答 【详解】解：如图： A、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； C、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； D、  ，两次转弯后，行驶方向与原方向不相同，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式9-5】（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案； 【详解】如图所示：延长交于点， ，， ， ， ， ， ．    故答案为：． 【变式9-6】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台、延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点P，延长交的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求得答案． 【详解】如图，延长，，相交于点P，延长交的延长线于点Q， ，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ． 故答案为：． 【考点题型十】平行线的性质与判定综合（） 【例10】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，，平分，． (1)试判断与的位置关系？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，详见详解 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等证明，再依据，得到，即根据同旁内角互补两直线平行即可求证； （2）根据平分以及，可证，，再结合，可得，再根据，得到，即可求解． 本题考查了平行线的判定与性质知识，掌握同旁内角互补两直线平行是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，中，点在边上，，，垂足分别是． (1)与平行吗？请写出证明过程； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)与平行，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先判断出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵，， ， ， ∵， ， ∴． （2）解：如图，过点作， ∵， ， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【变式10-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则 ，由平分即可得到． 【详解】解：因为与交于点H（已知）， 所以（对顶角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【变式10-3】（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）如图，已知，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．过点作．可得．从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作． ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【变式10-4】（24-25七年级下·陕西延安·阶段练习）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)与平行，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解∶由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式10-5】（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键： （1）根据内错角相等，两直线平行可证明，则由两直线平行，同旁内角互补即可得到答案； （2）根据平行线的性质可证明，，则可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型十一】平行线中常考模型（） 【例11】（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式11-1】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式11-2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式11-3】（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，得到，再得到，则，即可求解； （2）设，，则，由（1）得，过点作，则， 判断，得到，即可求解； （3）连接， 由，，得到，，，设，则，求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设，，则， 由（1）得， 如图2，过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接，     ∵，， ∴，， ∴，即， 设， 则． 由（1）得 即， ∴， ∴， ∴． 【变式11-4】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$