2025年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷

2025年湖南省长沙市望城区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数.那么表示的数(    ) A. 一定是负数 B. 一定是正数 C. 是0 D. 以上都有可能 3.2024年10月30日12时51分，神舟十九号3名航天员顺利进驻天宫空间站，完成中国航天史上第5次“太空会师”，天宫空间站是我国建成的最大可扩展为180000kg的六舱组合体国家级太空实验室.将180000用科学记数法表示是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是(    ) A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 6.在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是(    ) A. B. C. D. 7.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.如图，在中，，AD，BE分别是的中线和角平分线.若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径CD的长度是(    ) A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 10.如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则(    ) A. B. C. 12 D. 24 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则这四名同学中成绩最稳定的是______. 12.一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同.从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为______ 13.若分式有意义，则x的取值范围是______. 14.已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积______. 15.如图A，B两处被池塘阻隔，为测量A，B两地的距离，在地面上选一点C，连结CA，CB，分别取CA，CB的中点D，测得，则A，B两地的距离为______ 16.在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是______. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： 18.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 19.本小题6分 如图，在中， 已知线段AB的垂直平分线DP与BC边交于点P，连接AP，若的周长为12，AD长为2，求的周长. 以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若，求的度数. 20.本小题8分 某校运动会田赛部分由A、B、C、D四个项目组成，学生可以任选一项参加.为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： 补全条形统计图； 求A区域扇形圆心角的度数； 已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了A项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率. 21.本小题8分 已知：如图，AD是的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且 求证：≌； 若，则______ 22.本小题9分 为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过a度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． 某户5月份用电200度，共交电费125元，求 若该户6月份的电费平均每度元，求6月份共用电多少度？应交电费多少元？ 23.本小题9分 如图，四边形ABCD是平行四边形，，，E是边CD的延长线上的动点，连接AE，过点C作于点 求证：四边形ABCD是正方形. 当F是AE的中点，且时，求的面积. 24.本小题10分 在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环.设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐.这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂.从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题. 如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与AD相切； 如图2，在正方形ABCD中，，DN，BM，BD分别与相切于点N，M，E，且，，求的半径； 如图3，半径为1的在边长为4的正方形ABCD内任意移动，在其任意移动的过程中，所移动过的最大区域面积为______. 25.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 当时， ①求该抛物线的顶点坐标用含b的式子表示； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点和，求的值. 若，直线与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为和当时，求的最小值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选： 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：当x表示负数时，表示正数；当x表示正数时，表示负数；当x表示0时，表示0； 则表示正数，负数或 故选： x可以表示正数，负数或0，而是x的相反数，根据相反数的定义即可解答． 本题考查对有理数的认识，相反数，掌握有理数的定义是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：A、，所以此选项不正确； B、，所以此选项不正确； C、，所以此选项正确； D、，所以此选项不正确； 故选 A、根据幂的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算； B、根据同底数幂的乘法法则进行计算； C、根据同底数幂的除法法则进行计算； D、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算． 本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：从小到大排列为：18，18，19，19，19，19，20， 其中出现最多次数的为：19， 众数为19， 一共7个数，中位数为第4个数， 中位数为：19， 故选： 根据众数和中位数的定义解题即可． 本题主要考查了众数和中位数，掌握众数和中位数概念是关键． 6.【答案】B  【解析】解：将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是， 故选： 根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 本题考查坐标与图形变化-平移，掌握坐标与图形变化-平移是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 故选： 根据一次函数的性质和一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到k、b的正负情况，从而可以解答本题． 本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 8.【答案】B  【解析】解：是的中线，，， ，， 是的角平分线， 故选： 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线定义即可得出 本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：如图，连接OA， ， ，且寸， 寸， 设圆O的半径OA的长为x，则， ， ， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 寸， 故选： 连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由可求出，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径． 本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键． 10.【答案】B  【解析】解：设AC与BD交于O， 四边形ABCD是菱形，，， ，，， ， ，， 故选： 由四边形ABCD是菱形，，，可求得此菱形的面积与AB的长，继而求得答案． 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是掌握菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 11.【答案】丁  【解析】解：， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 根据方差越小越稳定求解即可． 本题主要考查方差，算术平均数，解答本题的关键要明确：方差越小越稳定． 12.【答案】15  【解析】解：设袋子中白球有x个， 袋子中装有黑球和白球共25个，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次， ， 解得， 估计袋子中白球大约有15个， 故答案为： 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 13.【答案】  【解析】解：由题可知， ， 解得 故答案为： 根据分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，， 故答案为 直接根据扇形的面积公式计算即可． 本题考查了扇形的面积公式： 15.【答案】10  【解析】解：分别取CA，CB的中点D，测得， 是三角形ABC的中位线， ， 故答案为： 根据三角形中位线定理求解即可． 本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键． 16.【答案】32  【解析】解：设每一次操作之后所有数的和为S， 第一次操作：1，4，3， ， 第二次操作：1，，4，，3， ， 第三次操作：1，，，，4，，，，3， ， 此时我们可以发现每次增加的数比前一次多2， 所以，当然我们也可以继续探究一次得出结果， 第四次操作：1，，，，，，，，4，，，，，，，，3， ， 所以经过4次操作后所有数的和是32； 故答案为： 按照题干操作，列举出第四次操作的结果，再计算即可得解． 本题主要考查了数字规律探究，列举法操作对比数据是解题关键， 17.【答案】解：   【解析】先根据二次根式的性质、有理数的乘方、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算，再根据有理数加减法则计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.【答案】解： ， 当，时，原式  【解析】先利用乘法分配律将算出来，然后经过去括号，合并同类项化简即可；最后再将x，y值分别代入计算结果． 本题考查了整式的加减运算，以及求代数式的值；熟记整式的加减运算法则是解题关键． 19.【答案】解：根据题意得，，， ， 的周长为12， 即， 故的周长为 根据题意可知， ， ，且， ， ， 即，   【解析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出，，求出，根据的周长求出，即可求解； 根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据三角形内角和定理列出方程式，解方程即可求出 本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20.【答案】解：样本的容量为， 则参加B项目的人数为， 补全统计图如下： 区域扇形圆心角的度数为； 根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是  【解析】根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可； 求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案； 根据概率公式计算即可． 本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，掌握数据分析能力是解题的关键． 21.【答案】100  【解析】证明：是的中线， ， 在和中， ， ≌； 解：，， ， ≌， ， 故答案为： 求出，根据SAS推出两三角形全等即可； 根据邻补角定义求出，再根据全等三角形的性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 22.【答案】解：由题意可知：， 设6月份用电量为x， ， 解得：， 应交电费为元， 答：6月份共用电180度，应交电费108元．  【解析】根据题意列出方程即可求出答案． 设6月份用电量为x，根据题意列出方程即可求出答案． 本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，， 菱形ABCD为正方形； 解：如图，连接AC， 是边CD的延长线上的动点，于点F，点F为AE的中点，， 为线段AE的垂直平分线， ，， ， 四边形ABCD为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 负值舍去，   【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，得平行四边形ABCD为菱形，再根据即可得出结论； 连接AC，根据于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． 24.【答案】证明：过点O作于点E，如图， 四边形ABCD为正方形， ，， 为等腰直角三角形， ， 的半径为正方形边长的一半， 为的半径， 点O到AD的距离等于圆的半径， 与AD相切； 解：连接OE，如图， 四边形ABCD为正方形，， ， ，BM，BD分别与相切于点N，M，E， ，，， ， ， 是BD的垂直平分线， ， 点C在BD的垂直平分线上， 点C，O，E在一条直线上， ， ， ， 的半径为1；   【解析】证明：过点O作于点E，如图， 四边形ABCD为正方形， ，， 为等腰直角三角形， ， 的半径为正方形边长的一半， 为的半径， 点O到AD的距离等于圆的半径， 与AD相切； 解：连接OE，如图， 四边形ABCD为正方形，， ， ，BM，BD分别与相切于点N，M，E， ，，， ， ， 是BD的垂直平分线， ， 点C在BD的垂直平分线上， 点C，O，E在一条直线上， ， ， ， 的半径为1； 解：设与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，如图， 与正方形的CD切于点E，与AD切于点F， ，， ， 四边形OEDF为矩形， ， 四边形OEDF为正方形， ， 半径为1的在边长为4的正方形ABCD内任意移动， 所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积， 所移动过的最大区域面积 故答案为： 过点O作于点E，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可； 连接OE，利用圆的切线长定理和切线的性质定理得到OE是BD的垂直平分线，利用正方形的性质和线段垂直平分线的性质得到点C，O，E在一条直线上，再利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质解答即可得出结论； 设与正方形的CD切于点E，与AD切于点F，连接OE，OF，利用圆的切线的性质和正方形的判定定理得到四边形OEDF为正方形，最后利用所移动过的最大区域面积为正方形ABCD的面积减去4个直角顶点处的空白部分的面积解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 25.【答案】解：当时，抛物线解析式为， ①由抛物线解析式得对称轴为直线，当时，， 故顶点坐标为 ②该抛物线与x轴有两个不同交点， ， ， 又b为自然数， ， 则当时， 把和分别代入直线中， 可得，， 故，， 再把，代入抛物线中， 得，又因为， 所以， 故抛物线表达式为，对称轴为直线，开口向上， ①当，即时， 即当时，； ②当，即时， 即当时，； ③当时，即当时， 综上，当时，；当时，；当时，  【解析】①根据，求出抛物线的解析式，再由顶点坐标公式可求顶点坐标； ②由根的判别式和b为自然数可求出，由； 把和分别代入直线中可得，，故，，把A、B坐标再代入抛物线中，可得，故抛物线表达式为，对称轴为直线，开口向上，再根据对称轴和区间的相对位置利用增减性即可解答． 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程根的判别式，二次函数区间最值的求法，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$