精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测数学试题

2024级高一下学期第一次质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 96 2. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. △ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝(a＋c，a＋b)，＝(b，c－a)．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 6. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若是纯虚数，则的共轭复数 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 10. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若为的外心，且，则是等边三角形 B. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时， C. 已知单位向量满足，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______. 13. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为______m. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设两个向量满足． （1）若，求的夹角； （2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 16. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 17. 在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. （1）写出矩形的面积与角的函数关系式； （2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 18. 已知函数，在上的最大值为3． （1）求的值及函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一下学期第一次质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式，计算出模长再相减即可. 【详解】因为复数，所以， 故. 故选：C 2. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：C. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为，所以， 从而，解得. 故选：B. 4. △ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝(a＋c，a＋b)，＝(b，c－a)．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照向量平行的定义，求出三角形ABC各边之间的关系，再应用余弦定理即可. 【详解】 ， ， ， 由余弦定理得， ； 故选：D. 5. 在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 由为线段上一点，得， 而点在线段上，则，A B错误； 由，得，解得，当且仅当取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：C 6. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用可以求解的向量来表示. 【详解】记圆心为，则， 因为互为相反向量， 所以， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心， 所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2， 当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时. 所以. 故选：B 7. 已知函数满足，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得函数在处取最值，由此求得，再利用正弦函数的性质求出的值. 【详解】由满足，得， 则，，又，解得，， 由，得，， 又，因此，， 则，解得， 所以. 故选：D 8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求得面积的最大值． 【详解】因为， 所以， 即， 即， 即， 所以，解得， 因为，所以， 又因为，， ，解得， 因为，，都为正数，所以，即， 解得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若是纯虚数，则的共轭复数 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由复数模长的几何意义可判断A和C，结合复数的除法化简以后由纯虚数可得的取值可判断B，将代入方程，化简可得的值. 【详解】对于A，因为，则点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，圆上的点对应的复数有无数个，所以A错误； 对于B，是一个纯虚数，则，，，所以，B错误； 对于C，因为，则点的轨迹是两个圆心为原点，半径分别为的圆形成的圆环，则点的集合所构成的图形的面积为，C正确； 对于D，因为是实系数方程的一个根，所以，，所以，解得，则，D正确. 故选：CD 10. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断各选项的正误． 【详解】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°， ∴由正弦定理可得：，无解； 对于B，b＝5，c＝4，B＝45°， ∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解； 对于C，∵a＝6，b＝，B＝60°， ∴由正弦定理可得：，此时C＝30°，有一解； 对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°， ∴由正弦定理可得：，且b＞a，则， ∴B有两个可能值，即有两解， 故选：BC． 【点睛】易错点睛：利用正弦定理判断三角形解的个数时需要注意： （1）正弦值的范围：； （2）利用正弦定理求解出正弦值后，注意结合“大边对大角，小边对小角”对结果进行取舍. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若为的外心，且，则是等边三角形 B. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时， C. 已知单位向量满足，则 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：利用外心性质求得三边相等即可得到结论； 对于B：利用模长公式表示出的表达式即可求得结果； 对于C:利用题干条件得到，再展开即可求得结果； 对于D：利用夹角为锐角则且即可求得结果. 【详解】对于A：因为为的外心，故， 因为，同理得 , 又，故,所以, 所以是等边三角形，故A正确； 对于B：由单位向量的夹角为，所以， 则 ， 当时，取最小值，故B正确； 对于C：由单位向量满足，故，两边平方得： ，解得， 又得，故 ， 故C正确； 对于D：，要想与的夹角为锐角， 则，且， 即，且，解得：且，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 13. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为______m. 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线将问题转化为到三角形中，正确理解仰角、俯角和射影的概念，利用正弦定理和三角函数定义计算即得. 【详解】 如图，过点作于，由题意知，在中，，，则. 在中，由正弦定理，. 在中，,则. 则山顶的海拔高度为. 故答案为：. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设两个向量满足． （1）若，求的夹角； （2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先由可求，再用向量夹角余弦的公式可得，则的夹角可求. （2）由向量与的夹角为钝角，可得且与不共线，再求解相应不等式即可. 【小问1详解】 又 即 又 【小问2详解】 的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 16. 如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： （1）轮船D与观测点B的距离； （2）救援船到达D点所需要的时间． 【答案】（1）海里；（2）1小时. 【解析】 【分析】 （1）结合图形利用正弦定理转化求解的长； （2）利用余弦定理求出，然后求解出该救援船到达点所需的时间． 【详解】解：（1）由题意可知：在中，，，则， 由正弦定理得：， 由， 代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里. （2）在中，，，， 由余弦定理得： ， ，， 即该救援船到达点所需的时间小时. 【点睛】方法点睛：正弦定理以及余弦定理是解决这类问题的常用方法. 17. 在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. （1）写出矩形的面积与角的函数关系式； （2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 【答案】（1） （2）当时，矩形的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先得出，再用的三角函数分别表示出和，则，再根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可； （2）由，得出，根据正弦函数的图像，得出时，面积最大，即可得出最大面积． 【小问1详解】 由题可知， 在中，， ， 在中，， 【小问2详解】 当，即时， 故当时，矩形的面积最大，最大值为 18. 已知函数，在上的最大值为3． （1）求的值及函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）将原式化简为，由最大值为3，求出的值，从而确定的解析式，再求周期与单调递增区间即可； （2）由，得到，借助角表示出，由正弦定理把求的取值范围转化为求的取值范围，再根据角的范围求解即可. 【小问1详解】 . 所以当时，取到最大值3， 即，，所以， 其最小正周期为． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，由， 可得，即， 因为，所以， 所以，即. 因为， 所以， 由正弦定理可知 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $