精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高二期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 班级： 姓名： 考场号： 座位号： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用交集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题直接使用零点存在性定理求解即可. 【详解】解：∵ ∴ ，，， ， ∴ 根据零点存在性定理：零点所在的区间是：. 故选：B. 【点睛】本题考查零点存在性定理，是基础题. 3. 函数的最小正周期是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：正弦函数、余弦函数的最小正周期是．故选B． 考点：三角函数的周期． 4. 已知向量若，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】若，则，解得. 故选：A. 5. 在区间为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案. 【详解】在区间为减函数； 在区间为减函数； 在区间增函数； 在区间为减函数. 故选：C. 6. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为. 故选：B. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理运算得解. 【详解】根据正弦定理. 故选：C. 8. 如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可. 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 10. 已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 11. 已知复数，以下说法正确是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接得解 . 【详解】根据三角函数的定义，可得. 故答案为：. 13. 已知，则函数的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式直接求函数的最小值. 【详解】当时，由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立. 故函数的最小值是. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，所以角为异面直线与所成角. 【详解】由四边形是平行四边形，得 所以角为异面直线与所成角. 平面，平面 ，又. 所以为等腰直角三角形，则 所以异面直线与所成角的大小为 故答案为： 【点睛】本题考查异面直线成角的问题，属于基础题. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角公式的平方关系求解. （2）由（1），利用二倍角公式求解. 【小问1详解】 由，得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，， 所以. 16. 某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 【答案】（1）从该校高一、高二学生中各抽取的人数为120人和80人. （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的原理，按各层人数占总人数的比例来确定抽取人数； （2）可通过频率分布直方图求出成绩在60分（含60分）以上的频率，再利用频率与总人数的关系求出相应人数，也可先求出成绩在60分以下的频率，进而得到60分（含60分）以上的频率，再计算人数. 【小问1详解】 已知高一学生有1200人，高二学生有800人，那么高一、高二学生总人数为人. 现在要抽取200名学生，根据分层抽样的方法，从高一学生中抽取的人数占总抽取人数的比例，应等于高一学生人数占总学生人数的比例. 高一学生人数占总学生人数的比例为，所以从高一学生中抽取的人数为人. 同理，高二学生人数占总学生人数的比例为，则从高二学生中抽取的人数为人. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在分的频率为, 分的频率为；成绩在分的频率为；成绩在分的频率为. 那么成绩在60分（含60分）以上的频率为这四组频率之和，即. 已知总人数为2000人，根据频率与频数的关系（频数 = 频率×总数），可得成绩在60分（含60分）以上的人数为. 17. 已知二次函数满足, (1)求函数的解析式; (2)求函数在的最小值和最大值. 【答案】(1) ;(2) 最小值是5，最大值是14． 【解析】 【分析】（1）把代入可求得，得解析式； （2）配方求出对称轴方程，确定最大值和最小值． 【详解】由可知,解得． ∴. (2)∵, ,对称轴， ∴当时，，时，． 【点睛】本题考查求二次函数解析式和二次函数的最值，属于基础题．本题求解析式直接代入已知条件即可，而求最值，可先求得对称轴，对开口向上的抛物线，由于对称轴在所求最值的区间内部，因此顶点处是函数的最小值，离对称轴较远的区间端点处函数值是最大值． 18. 在数列中，已知. （1）试写出，并求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 【小问2详解】 由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 19. 已知关于x，y的二元二次方程表示圆C． （1）求圆心C的坐标； （2）求实数k的取值范围； （3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），（2），（3）存在，满足题意. 【解析】 【分析】（1）方程变形为，然后即可得到答案 （2）由（1）中变形得到的方程即可算出答案 （3）令，联立直线与圆的方程消元，得的，然后由可得，即，然后代入求解即可. 【详解】（1）由方程变形为 所以圆心C的坐标为 （2）方程要表示圆，所以，即 （3）若存在，联立， 消去，整理得，令 由得， 由可得，即 所以，所以 所以，解得，满足 所以存在，满足题意. 【点睛】本题考查的是将圆的一般方程化为标准方程及利用“设而不求”法解决直线与圆相交的问题，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高二期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 班级： 姓名： 考场号： 座位号： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期是 A. B. C. D. 4. 已知向量若，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 在区间为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（ ） A 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C D. 10. 已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ） A B. C D. 11. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则=_________． 13. 已知，则函数的最小值是__________． 14. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角的大小是_______________. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）求的值； （2）求的值. 16. 某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； （2）根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数. 17. 已知二次函数满足, (1)求函数的解析式; (2)求函数在的最小值和最大值. 18. 在数列中，已知. （1）试写出，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知关于x，y的二元二次方程表示圆C． （1）求圆心C的坐标； （2）求实数k的取值范围； （3）是否存在实数k，使直线与圆C相交于M．N两点，且（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$