精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区北京师范大学乌兰察布集宁附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

北师大集宁附中高二年级第一次月考数学试卷 命题人：杜淑青 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1、答题前在试卷、答题卡填写姓名、班级、考号等信息. 2、请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再令即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 3. 已知是等差数列，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，，① 又由可得，，即，② 由①②解得， 所以， 故选:A. 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求和，则切线方程为. 【详解】根据题意有，，， 所以，即， 故选：C. 5. 若在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：D 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质求解即可． 【详解】由题得， 因为，是函数的极值点， 则，是方程的两根， 所以从而可得， 又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 7. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为曲线，所以切线过点（4，e2） ∴f′（x）|x=4= e2， ∴切线方程为：y-e2= e2（x-4）， 令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0）， 令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2）， ∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2. 故选D． 8. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图象，将有四个零点转化为的图象与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围. 【详解】时，，， 在上单调递减，在上单调递增，， 时，， 在上单调递减，在上单调递增，， 画出的图象如下图，有四个零点即的图象与有四个不同交点， 由图可得，是方程的两根，即的两根， 是方程的两根，即的两根， ，，则， 设，，则，在上单调递增， 当时，，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可． 【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 11. 已知数列为等差数列，是其前n项和，，，数列的前n项和为，若对一切都有恒成立，则整数m的可能值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由恒成立求解. 【详解】因为数列为等差数列，是其前项和，，. 设首项为，公差为， 所以，解得， 故， 所以， 所以. 因为对于一切都有恒成立， 所以，解得， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题纸上. 12. 曲线在点处的切线方程是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 13. 若数列的通项公式为，则数列的前项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 14. 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，极值，画出对应的图像，数形结合即可求解. 【详解】由已知可知关于的方程有三个不等实数根， 即函数的图象与直线有三个公共点， 构造函数，求导， 令，解得 当时，，故在区间上单调递增， 当时，，故在区间和上单调递减， 且，，当或时，， 且当时，，当时，， 画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查判断利用函数的零点个数求参数问题，常用的方法： （1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出函数导数，由求得的值，然后令导数小于0，求得函数的单调区间； （2）由（1）知函数在上的单调性，即可求出函数的最值. 【小问1详解】 ，∴， ∴，即， 令，则，令，则或， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递增，在上递减， ∴， ，， ∴函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【小问1详解】 由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）得，， . 17. 设函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）将函数求导得到，再结合已知条件，即可求得的值，进而得到函数的解析式； （2）利用导数判断函数的单调性，进而可求得极值. 【小问1详解】 ，， ，， ，解得，， 函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，定义域为， ， 由，解得或；由，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值. 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）因为，所以，又，所以， 所以数列是以为1首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）将，变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 则， 两式相减得， ， 所以. 19. 已知函数，为实数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题. 【小问1详解】 当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大集宁附中高二年级第一次月考数学试卷 命题人：杜淑青 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1、答题前在试卷、答题卡填写姓名、班级、考号等信息. 2、请将答案正确填写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 3. 已知是等差数列，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 4. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（    ） A. B. C. 4 D. 9 7. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A. B. C. D. 8. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. C. D. 在上单调递增，在上单调递减 11. 已知数列为等差数列，是其前n项和，，，数列的前n项和为，若对一切都有恒成立，则整数m的可能值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题纸上. 12. 曲线在点处的切线方程是 __________． 13. 若数列的通项公式为，则数列的前项和为_______． 14. 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17. 设函数，且满足，. （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值. 18. 已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求通项； （2）求数列的前n项和． 19. 已知函数，为实数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $