精品解析：2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷

2025年湖北省楚天名校协作体中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A 2025 B. C. D. 2. 据新华社消息，截至目前网络平台数据显示，全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破145亿元．数据145亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解某市参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ） A. 名学生的身高情况是总体的一个样本 B. 名学生的身高情况是总体 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量 6. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 7. 如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是________． 12. 已知，则的值为______． 13. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则______度． 14. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，，，，，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，若，则的值为______． 15. 已知，如图，在边长为的正方形中，是边的中点，于，交于，连接、．则的度数是______；的长是______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图形，则点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； （3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 18. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到制取氧气实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 19. 学习完锐角三角函数知识后，老师组织学生开展测量校园旗杆高度的实践活动．小明所在小组的任务为测量校园里旗杆的高度，由于有台阶和围栏保护，他们无法到达旗杆的底部．于是，小明所在小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺A 测量示意图及说明 说明： ①、、、四点共线，、均垂直于； ②平面镜放置于处，且大小忽略； ③测倾器放置于处，且高度忽略． 测量过程及相关数据 小明站在处，恰好可以通过平面镜看到旗杆的顶端，小明眼睛与地面高度米，小明到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米，测倾器测得． 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求旗杆的高度． 20. 如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围： （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 23. （1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当点都在第一象限时，，求的值； （3）设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年湖北省楚天名校协作体中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 据新华社消息，截至目前网络平台数据显示，全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破145亿元．数据145亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：145亿． 故选C． 3. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，熟记运算法则是解题的关键．根据能用同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方计算即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 为了了解某市参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述错误的是（ ） A. 名学生的身高情况是总体的一个样本 B. 名学生的身高情况是总体 C. 每名学生是总体的一个个体 D. 样本容量是 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题的关键是要分清具体问题中的总体、个体与样本，明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的有关概念逐一排除即可． 【详解】解：、名学生的身高情况是总体的一个样本，原选项叙述正确，不符合题意； 、名学生身高情况是总体，原选项叙述正确，不符合题意； 、每名学生的身高是总体的一个个体，原选项叙述错误，符合题意； 、样本容量是，原选项叙述正确，不符合题意； 故选：． 6. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和分式的值为零的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0：（2）分母不为0，这两个条件缺一不可是正确解题的关键． 根据分式为0的条件进行判断即可． 【详解】解：依题意，得 ，且 即：且 解得： 故选：A． 7. 如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于、的方程组的解是 故选：A． 8. 如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．先通过旋转得到，，，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到，代入已知的数据即可求解． 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ， ， ， 故． 故选：B． 9. 如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长为1的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，设与网格线交于点R，取格点Q，连接，因为，所以，可证明，得，则，再证明，则，因此． 【详解】解：设与网格线交于点R，取格点Q，连接，则三点在同一条直线上，三点在同一条直线上， 每个小的四边形都是边长为1的正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标为 ∴对称轴为直线， ∴，即，故①正确 ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ，所以②错误； ③若且，则，故，③正确； ④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵点，在抛物线上， ， ∴，所以⑤正确． 正确选项有3个， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是________． 【答案】0.4## 【解析】 【分析】先求出第四组的频数，再利用频率频数总次数进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，第4组的频数为， 第4小组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 12. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 13. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，，，，，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值． 根据题目中的数据可以写出前几项，从而可以根据变化特点，然后得到，，再结合，代入求出的值即可． 详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 已知，如图，在边长为的正方形中，是边的中点，于，交于，连接、．则的度数是______；的长是______． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】延长交于点，连接，取的中点，以为圆心，为直径作圆，得出四点共圆，且是直径，进而根据圆内接四边形对角互补得出，进而证明得出是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出；过点作交于点，得出，根据等面积法求得，进而根据相似三角形的性质得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接，取的中点，以为圆心，为直径作圆， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵， ∴ ∴四点共圆，且是直径， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的中点 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 又 ∴； ∴ 过点作交于点， 在中， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴， ∴， ∴ 在中， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了本题考查了直角所对的弦是直径，圆内接四边形对角互补，方形的性质，全等三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； （3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 【答案】（1）画图见解析，； （2）画图见解析，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换、平移变换，求弧长，解题的关键是掌握旋转和平移的性质以及弧长公式． （）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，再写出的坐标即可； （）将绕原点逆时针旋转的图形，画出，再写出点的坐标； （）先求出，再由旋转性质可得，最后根据弧长公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形， ∴即为所求，点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，将绕原点逆时针旋转的图形， ∴即为所求，点， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如上图，由网格可知，由旋转性质可知：， ∴点运动的路径长为， 故答案为：． 18. 化学实验课上，蔡老师带来了四个常考的制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：； B．碳酸钙制取二氧化碳：； C．氯酸钾制取氧气：； D．电解水：； （1）若小聪从四个实验中任意选一个实验，则选到制取氧气的实验的概率为______； （2）小聪先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D），利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两个实验均能制取氧气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选到实验室制取氧气的实验的结果有3种（A、C、D）， 选到实验室制取氧气的实验的概率为 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中两个实验均能制取氧气的结果有：，，，，，，共6种， 两个实验均能制取氧气的概率为． 19. 学习完锐角三角函数知识后，老师组织学生开展测量校园旗杆高度的实践活动．小明所在小组的任务为测量校园里旗杆的高度，由于有台阶和围栏保护，他们无法到达旗杆的底部．于是，小明所在小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺A 测量示意图及说明 说明： ①、、、四点共线，、均垂直于； ②平面镜放置于处，且大小忽略； ③测倾器放置于处，且高度忽略． 测量过程及相关数据 小明站在处，恰好可以通过平面镜看到旗杆的顶端，小明眼睛与地面高度米，小明到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米，测倾器测得． 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求旗杆的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据垂直定义可得，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据题意可得：，从而证明，进而利用相似三角形的性质进行计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴（米） ∴树的高度约为米． 20. 如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，进而得出，即可得证； （2）先求得，由（1）可得是等边三角形，进而根据即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵中，， ∴，则， 由（1）可得是等边三角形， ∴ 过点作于点， ∴， ∴ ∴ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围： （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ，解得：， ，解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：设， 轴， ，， ，解得：， ． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润． 【答案】（1），；（2）能，18元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； （2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴y与x的函数表达式为， ∵销售单价不低于成本价， ∴， 又∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， 又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元， ∴当时，日销售利润取最大值， 此时（元）， 这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元． 23. （1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边三等分点，连接，求线段的长． 【答案】 （1）①；② （2）①；②点为边的三等分点，线段的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据正方形，折叠的性质得到，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，代入计算即可求解； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，，在中，，再证明，，即可求解； ②根据题意可得四点共圆，是等腰直角三角形，分类讨论：时；时；由勾股定理得到的值，由此得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ②∵点是边的中点， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴，且， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴四点共圆，如图所示， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为边的三等分点， ∴第一种情况，， 在中，， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，， 同理，， ∴； 综上所述，点为边的三等分点，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠、旋转的性质，勾股定理，正切值的计算，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握折叠、旋转的性质构造三角形全等，四点共圆，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当点都在第一象限时，，求的值； （3）设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）过作于，过作于，可得，，，，，由得，再根据列出方程即可求解； （）由二次函数解析式可得顶点，，，分四种情况结合图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴交于、两点，交轴于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，则， ∵点都在第一象限，在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； 【小问3详解】 解：①∵， ∴顶点为， ∵点在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，， 如图，当点都在顶点左侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点都在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； ∴； ②当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， 又∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随增大而增大， ∵， ∴； 综上，当随增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$