精品解析：广东省惠东县惠东中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年高二第二学期第一次抽测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 导数是微积分的核心内容，是现代数学的基本概念，蕴含了微积分的基本思想.导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数微观变化的基本工具，下面的问题是导数不能解决的有（ ） A. 求曲线的切线方程 B. 求函数的最大值与最小值 C. 已知运动物体位移与时间关系求速度 D. 求曲线的长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断即可. 【详解】对于A：导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率， 所以利用导数的几何意义可求得在曲线上某点处的切线方程，故A正确； 对于B：利用导数可以求出函数的单调性，极值，最值，故B正确； 对于C：位移关于时间的导数是速度，所以已知运动物体位移与时间关系可求速度，故C正确； 对于D：导数不能解决求曲线的长度问题，故D错误. 故选：D 2. 函数的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最小值. 【详解】函数的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：C 3. 直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以时瞬时速度为. 故选：D 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为，又， 令，解得，所以函数的单调递增区间是. 故选：A 5. 已知函数的导函数图象如图所示，那么（ ） A. 有1个极大值和1个极小值 B. 有1个极大值没有极小值 C. 有1个极小值没有极大值 D. 没有极大值也没有极小值 【答案】C 【解析】 【分析】设导函数与轴的交点的横坐标分别为，结合导函数图象得到的单调性，即可得到函数的极值点. 【详解】由导函数图象，设导函数与轴的交点的横坐标分别为， 则时（且仅在处），时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. 故选：C 6. 函数 的图象是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过导函数研究的单调性，再构造函数，求证即可. 【详解】，则， 令，则， 则在上单调递减，有，则， 故在上单调递减； 令，则，则在上单调递增， 有，即，即， 只有A中图象符合题意， 故选：A. 7. 若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值与导数的关系，列出不等式，即可得到a的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 若函数有极值点，则方程有两个不等的实数根， 且至少有一个正根，设其根为，且，则， 所以，且， 所以，，解得. 故选：B 8. 已知， 若曲线 与曲线有且只有一个公共点，那么实数m的值为（ ） A. B. e C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将问题转化为直线和曲线只有一个交点，再构造函数，求导分析单调性得到最大值即可. 【详解】由题意可得只有一个解，即方程只有一个解，即直线和曲线只有一个交点. 令，则， 由函数的单调性可得在定义域内单调递减，且， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 且,, 所以， 所以方程只有一个解时，. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD 10. 三次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， 方程有三个实根 C. 当时， D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断A，画出函数图象，数形结合判断B，由单调性判断C，求出判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为，又， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，且，，故A错误， 对于B：由A可知的图象如下所示： 由图可知当时，与有三个交点，即方程有三个实根，故B正确； 对于C：当时，，又在上单调递减，所以，故C正确； 对于D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 11. 函数 则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在 是减函数 C. 的最小值是 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义，即可判断A，求导得，利用导数即可判断函数的单调性以及极值，从而判断BC，构造函数，求导可得，即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故A正确； 对于B，因为， 令，即，解得， 即在上单调递减， 当时，减区间为， 由可得，解得， 即在上单调递增， 所以在上先增后减，故B错误； 对于C，由上可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 又，所以的最小值是，故C正确； 对于D，令，， 则， 所以在上单调递减，则， 所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数， 那么______________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因，所以， 所以. 故答案为： 13. 函数 在处取得极大值，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】先求出导函数代入求解参数，再分类根据导数的正负得出函数单调性即可检验求参. 【详解】因为 ，所以， 在处取得极大值，所以，所以或， 当时，， 所以当在上单调递减；当在上单调递增； 所以函数在处取极小值，不合题意； 当时，， 所以当在上单调递增；当在上单调递减； 所以函数在处取极大值，符合题意； 所以. 故答案为：3. 14. 函数 (且)在是增函数，实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数，，求导得， 依题意，在上恒成立， 令函数，，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 ，判断的单调性，并求出函数的极值 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，结合导数即可求得函数的单调区间以及极值. 详解】由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 综上所述，函数在和单调递增， 在上单调递减；极大值为，极小值为. 16. 已知函数 （1）当时，求的最大值与最小值； （2）在答题卡指定位置画出的大致图象，并讨论方程的解的个数. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）图象见解析；答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）结合图象，由方程的解的个数即与图象交点的个数可得. 【小问1详解】 ， 令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 因为，所以在上为增函数，在上为减函数， 所以， 又，，所以， 所以最小值为. 综上，最大值为，最小值为. 【小问2详解】 方程的解的个数即与图象交点的个数， 由图可得： 当时，两图象无交点，即方程无解； 当时，两图象有一个交点，即方程有一个解； 当时，两图象有两个交点，即方程有两解； 当时，两图象有一个交点，即方程有一个解； 综上，当时，即方程无解； 当时，即方程有一个解； 当时，即方程有两解； 当时，即方程有一个解. 17. 已知函数 （1）求在点处的切线方程; （2）讨论函数的单调性 【答案】（1） （2）答案见解析. 【解析】 分析】（1）求导，利用点斜式求切线方程； （2）求导，分、、、四种情况来阐述单调性. 【小问1详解】 ，则， 则切线斜率为，所以切线方程为. 【小问2详解】 ，则函数定义域为R，， ①当时， ，则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减； ②当时，得或， 当，即时， 得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时， ，当且仅当时，故在上单调递增； 当，即时， 得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 综上可知，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在和上单调递增，在上单调递减； 时， 在上单调递增； 时，和上单调递增，在上单调递减. 18. 已知函数 （1）求证：是增函数； （2）当时，证明：； （3）若函数在恰有两个零点，求的取值范围(参考数据：) 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，求出，即可得到恒成立，从而得证； （2）将所证不等式等价转化为对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析函数的单调性，即可得证； （3）令，可得，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值及端点处的函数值，依题意可得与在有且仅有两个交点，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为定义域为，且， 令，， 则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 所以，即恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增，即是增函数， 小问2详解】 当时，要证，即证， 设，其中，则， 所以函数在上单调递增，故， 因此当时，； 【小问3详解】 因为， 令，可得， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值， 又，，， 因为，所以，所以， 依题意可得与在有且仅有两个交点， 所以，即的取值范围为 19. 已知 （1）求证: ; （2）求证: ; （3）若不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，，分别利用导数求得他们分别在上的单调性，从而得到的最值，即可证明. （2）构造函数，求函数导数，由换元法再构造函数，由函数的导数得到函数的单调性，即可得到的取值范围，即得到导数的范围，从而得到的最值，证明得到结论； （3）对分类讨论.由（2）得到时，不等式恒成立；构造函数并求导，当时，由（2）中的及得到导数，则不等式恒成立；当时，令并求导，由极限思想知道存在，使得，知道单调区间，故，说明函数在上递减，故存在，使得，则不等式不恒成立，舍去.从而得到最后的答案. 【小问1详解】 令函数，， ∴，又∵当时，，∴， 即函数在上单调递增，∴，即； ， ∴恒成立， ∴函数在上单调递增，∴，即； 综上所述：. 【小问2详解】 令，则， 则， 令，∵，∴， 令，则，令，则， ∴函数在上单调递减，即，即 又∵， ∴在时，， 即函数在上单调递增，∴， 即. 【小问3详解】 ∵在恒成立， ∴在恒成立， ①当时，由（2）可知，不等式恒成立； 令函数，， ， ②当时，由（2）可知当时，且，∴， 即在上单调递增，∴，即不等式恒成立； ③当时，令，则 当时，，当时，， ∴，使得， 即当时，，则在上单调递减， ∴存在，， 即存在，使得， 即当时，，则函数单调递减， 即存在，使得，∴不符合题意舍去. 综上所述：. 【点睛】方法点睛，本题是证明不等式在某个区间内恒成立问题，一般作差后构造函数，转化为函数恒大于（小于）0.要想证明函数恒成立问题，又可以借助函数的导数，求出函数的单调区间，从而得到最大（小）值，然后去判断不等式是否成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二第二学期第一次抽测 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 导数是微积分核心内容，是现代数学的基本概念，蕴含了微积分的基本思想.导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数微观变化的基本工具，下面的问题是导数不能解决的有（ ） A. 求曲线的切线方程 B. 求函数的最大值与最小值 C. 已知运动物体位移与时间关系求速度 D. 求曲线的长度 2. 函数最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 直线运动物体的位移与时间满足方程 则时瞬时速度为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 4. 函数单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数图象如图所示，那么（ ） A. 有1个极大值和1个极小值 B. 有1个极大值没有极小值 C. 有1个极小值没有极大值 D. 没有极大值也没有极小值 6. 函数 的图象是 （ ） A. B. C. D. 7. 若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知， 若曲线 与曲线有且只有一个公共点，那么实数m的值为（ ） A. B. e C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 三次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 当时， 方程有三个实根 C. 当时， D. 的图象关于点对称 11. 函数 则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 在 是减函数 C. 的最小值是 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数， 那么______________ 13. 函数 在处取得极大值，则___________ 14. 函数 (且)在是增函数，实数的取值范围是__________ 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 ，判断的单调性，并求出函数的极值 16. 已知函数 （1）当时，求的最大值与最小值； （2）在答题卡指定位置画出的大致图象，并讨论方程的解的个数. 17 已知函数 （1）求在点处切线方程; （2）讨论函数的单调性 18. 已知函数 （1）求证：是增函数； （2）当时，证明：； （3）若函数在恰有两个零点，求的取值范围(参考数据：) 19. 已知 （1）求证: ; （2）求证: ; （3）若不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$