精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一期中考试 数学试卷 （命题人： 考试时间：120分钟 满分：150分） 班级：__________ 姓名__________ 考场号__________ 座位号__________ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修一少量，必修二第六章、第七章（新人教A版） 5.考试结束后，只需将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】由向量，得. 故选：D 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底的性质结合选项可以判断. 【详解】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确； 因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确； 故选：B 3. 已知向量，，则（    ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】应用平面向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，，所以. 故选：C. 4. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 5. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案. 【详解】设投影向量是，则，所以， 即在上的投影向量是． 故选：D. 6. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 7. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式. 【详解】为的中点，则， ，， . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 加速度是向量 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 零向量的方向是任意的 D. 向量就是有向线段 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B C D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式即可求解； 【详解】， 则原式． 故答案为： 13. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得的共轭复数，再结合复数乘法运算，以及其结果是实数，即可列出方程，求得结果. 【详解】是实数，则，． 故答案为：. 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知，计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用商数关系，由弦化切来求结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可； （2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值． 【小问1详解】 向量，，，且，， 可得且，解得，， 即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为， 则， 即向量与夹角的余弦值为． 17. 在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，同理设，，表达出，从而得到方程组，求出，得到，得到答案. 【详解】三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故，. 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 19. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一期中考试 数学试卷 （命题人： 考试时间：120分钟 满分：150分） 班级：__________ 姓名__________ 考场号__________ 座位号__________ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.测试范围：必修一少量，必修二第六章、第七章（新人教A版） 5.考试结束后，只需将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（ ） A. B. C D. 3. 已知向量，，则（    ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 0 4. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 若向量满足，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 加速度是向量 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 零向量的方向是任意的 D. 向量就是有向线段 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为______． 13. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 14. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知，计算： （1）； （2）. 16 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 17. 在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，面积为，求b，c的值． 19. 内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$