精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2025年春季学期第一次月考 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 出题人：曲歆 校题人：李浩 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 焦点在轴上，长、短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有 A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 4. 焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，已知双曲线的方程为，点、均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 11. 若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 4 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 13. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 14. 经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为_____. 四、解答题：本大题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （Ⅰ）焦点在轴上，虚轴长为，离心率为； （Ⅱ）经过点,且与双曲线有共同的渐近线． 16. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 17. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期第一次月考 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 出题人：曲歆 校题人：李浩 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1. 焦点在轴上，长、短半轴长之和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出关于、、的方程组，解出、的值，由此可求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程化为标准方程后得，从而可得长轴长、短轴长、离心率． 【详解】由已知，可得椭圆标准方程为， 则，，， 所以长轴长为、短轴长为、离心率为. 故选：D. 3. 已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有 A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为双曲线方程为，所以是双曲线的右顶点，所以过并且和轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条. 考点：本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系. 点评：考查双曲线与直线的位置关系时，不要忘记和双曲线的渐近线进行比较,而且还要记住只有一个交点不一定是相切. 4. 焦点坐标为的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点位置写出抛物线的标准方程. 【详解】焦点坐标为，则抛物线开口向左，焦点在轴上， 故抛物线的标准方程是. 故选：D 5. 双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案． 【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为. 故选：D. 6. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线化为标准方程，根据离心率的定义可得. 【详解】双曲线的标准方程为． 因为，，所以，所以离心率为． 故选：B 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得，即求. 【详解】由抛物线， 则，即准线，焦点， 所以焦点到准线的距离是. 故选：B 8. 如图，已知双曲线的方程为，点、均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求得的值，由此可求得的周长. 【详解】由双曲线的定义，知，， 又，所以的周长为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义求三角形的周长，考查计算能力，属于基础题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定抛物线的开口方向，有两种情况，设出抛物线方程，代入点的坐标即可求解. 【详解】因为点在第二象限，所以抛物线有开口向左或开口向上两种情况， 若抛物线开口向左，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以A正确； 若抛物线开口向上，设抛物线方程为，代入抛物线方程， 有，解得，所以抛物线方程为，所以C正确. 故选：AC 10. 已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D. 【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为， 因为，所以，，， 所以，，故A错误，B正确； 对C，设，，， 则， 即，当时取得最大值，故C正确； 对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确． 故选：BCD 11. 若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】AD 【解析】 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，再根据条件即可求出结果. 【详解】因为椭圆的离心率为， 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得； 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 13. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________； 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出． 【详解】因为， 所以. 故答案为：4 【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键． 14. 经过点和，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法来求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点得： ，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共3小题，共27分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （Ⅰ）焦点在轴上，虚轴长为，离心率为； （Ⅱ）经过点,且与双曲线有共同的渐近线． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由,可得，结合，，得，从而可得结果；（Ⅱ）由与双曲线有共同的渐近线，可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所设方程，求得的值，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）设所求双曲线的标准方程为 则,从而，代入，得，故方程为 （Ⅱ）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得， 解得，所以所求双曲线的标准方程为 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 16. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为； （2）顶点在原点，且过点； （3）顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【小问1详解】 由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； 【小问2详解】 由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； 【小问3详解】 由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 17. 已知椭圆，焦距为2，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 【答案】（1） （2）长轴长为，短轴长为， 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率得到，进而求出，得到椭圆方程； （2）由（1）得到长轴和短轴长，并求出A点坐标，得到面积. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意得， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 将代入中得，， 不妨设， 显然⊥轴，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $