专题08 排列组合与二项式定理期中难题特训（30题）（苏教版2019，江苏专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

专题08 排列组合与二项式定理期中难题特训（30题） 一、单选题 1．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 2．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)设，且，若能被3整除，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 二、多选题 4．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)下列等式中， 正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知，且存在正整数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．展开式中所有项系数和为126 D．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 6．(23-24高二下·江苏南京临江高级中学·期中)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） A．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 B．由“第行所有数之和为2的指数幂"猜想： C． D．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和"猜想： 7．(23-24高二下·江苏徐州第三中学·期中)已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 8．(23-24高二下·江苏启东·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 9．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 三、填空题 10．(23-24高二下·江苏淮安金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等·期中)已知二位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是 ． 11．为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 （用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 （用数字作答）． 12．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知集合，记集合的元素个数为.当时， （用数字表示）；当（且）时， .（用含有的式子表示）. 13．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)海州高级中学团委举行了由甲、乙、丙、丁、戊、辛，6名学生参加的“争做时代接班人”的演讲比赛，决出第1名到第6名的名次，赛后甲、乙两名参赛者向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说：“你和甲的名次相差2名”.若老师说的都是对的，则6人的名次排列情况可能的种数有 . 14．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有 种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法． 四、解答题 15．(23-24高二下·江苏镇江·期中)已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 16．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． (1)求的值： (2)若展开式中的常数项为， ①求的值； ②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 17．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知． (1)；（该问结果可保留幂的形式） (2)求的最大值； (3)求被13除的余数． 18．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)函数． (1)求的值； (2)用二项式定理证明：能被8整除． 19．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知展开式的二项式系数和为512，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求被8整除的余数. 20．(23-24高二下·江苏淮安金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等·期中)某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 21．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. (1)求实数的值； (2)求的值. 22．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 23．(23-24高二下·江苏南京临江高级中学·期中)已知在的展开式中按照的指数从高到低排列，若 ． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） (1)求的值； (2)在展开式中，求常数项； (3)在展开式中，若系数最大，求的值； (4)在展开式中，求位于第一项、第三项、第五项、第七项……等所有奇数次序位置上的项的系数和．（所得结果用含幂指数的形式作答即可） 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 25．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知． (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； (2)设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 26．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)图是一个 11阶的杨辉三角： (1)求第22行中从左到右的第3 个数； (2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5?若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由. (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，， 27．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为， ①若，求； ②若且，求． 28．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 29．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)已知函数，其中，． (1)若n＝8，，求的最大值； (2)若，求；（用n表示） (3)若，求证：． 30．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 排列组合与二项式定理期中难题特训（30题） 一、单选题 1．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 【答案】B 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为，分类讨论前排大人，结合排列运算求解. 【详解】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种. 故选：B. 2．(23-24高二下·江苏连云港东海县·期中)设，且，若能被3整除，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省连云港市东海县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据题意，由条件可得，再由二项式的展开式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 因为都能被整除， 所以要使能被3整除，则需要也能被3整除， 且，，所以. 故选：C 3．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．13 【答案】B 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由二项式定理可得，将利用二项式展开，将利用二项式展开，得到被17除后的余数，从而求得正整数的最小值. 【详解】由于， 所以， 由于， 所以， 所以， 由于， 所以 因为，所以被17除后余数为5，由， 则正整数的最小值5； 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解同余的定义，然后利用二项式定理对进行变形求解. 二、多选题 4．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)下列等式中， 正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】借助排列数与组合数的运算法则计算可得A、B、C，构造出二项式，可得，再计算出中项的系数即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B： ，故B正确； 对C：由 ， 则 ，故C错误； 对D：对有，则， 则展开式中的系数为； 又，其中项的系数为， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于构造出二项式与，结合二项式展开式的通项公式，得到中的项的系数与中的项的系数相同. 5．(23-24高二下·江苏苏州·期中)已知，且存在正整数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．展开式中所有项系数和为126 D．展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项 【答案】AC 【来源】江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题 【分析】先对等式两边求导，利用赋值法令，再利用错位相减法求和，进而求出的值可判断A；利用赋值法和可判断B和C；根据可知展开式共有7项，得到二项式系数最大的项为第四项，可判断D. 【详解】， 对上式两边同时求导得， 令，有， 令①，则， 所以②， ①-②得， 解得，故A正确； 对于B和C，， 令，得， 令，得， ，故B错误，C正确； 对于D，的展开式共7项，二项式系数为，最大的二项式系数为， 所以二项式系数最大的项为第四项，故D错误. 故选：AC. 6．(23-24高二下·江苏南京临江高级中学·期中)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（    ） A．第7行中从左到右第5个数与第6个数的比为 B．由“第行所有数之和为2的指数幂"猜想： C． D．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和"猜想： 【答案】BCD 【来源】江苏省南京市临江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断A，C，D；利用二项式系数的性质判断B作答. 【详解】对于A，第7行中从左到右第5与第6个数的比为，A不正确； 对于B，由二项式系数的性质知成立，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， D正确. 故选：BCD 7．(23-24高二下·江苏徐州第三中学·期中)已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 【答案】AC 【来源】江苏省徐州市第三中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】赋值，可判断A，由通项公式可判断B，分别令，可判断C，令可判断D； 【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对. 展开式中第项二项式系数， ，则，∴. 展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错. ， 令，则，令，则， ∴，C对. 展开式中通项公式， 可知奇次幂系数为负，偶次幂系数为正， 所以， 由， 令可得：，又， 所以，错 故选：AC 8．(23-24高二下·江苏启东·期中)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（    ） A．第10行所有数字的和为1024 B． C．第6行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则 【答案】ACD 【来源】江苏省启东市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试卷 【分析】根据第行数学特征确定二项式，结合二项式系数和公式、组合数公式、二项式定理逐一判断即可. 【详解】A：第10行所有数字是二项式系数，因此第10行所有数字的和为，因此本选项正确； B： ，所以本选项不正确； C：所求的和表达式为：， 因为 ， 所以展开式中的系数为，即， 而， 因此有， 于是有，所以本选项正确； D：因为，所以本选项正确， 故选：ACD 9．(23-24高二下·江苏扬州第一中学·期中)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第i个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】CD 【来源】江苏省扬州市第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】利用图象及二项式系数计算可得A，利用组合数性质可判定B，利用二项式定理可判定C，利用组合数的计算可判定D. 【详解】由图象可知为第行第三个数， 所以，故A错误； 易知第n行的第i个数为， 则第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数分别为， 由组合数的性质知，故B错误； 易知，所以 ，故C正确； 第20行中第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：CD 【点睛】思路点睛：利用二项式系数与“杨辉三角”的关系结合组合数的性质与运算法则一一判定选项即可. 三、填空题 10．(23-24高二下·江苏淮安金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等·期中)已知二位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是 ． 【答案】 【来源】江苏省淮安市金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】设连续的三项的二项式系数为，由于成等差数列，所以得到的表达式分析求解最值即可. 【详解】设连续的三项的二项式系数为，， 由得， 解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数， 设，可得，代入①， 解得，或， 所以二位整数的最大值为. 故答案为：. 11．为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为 （用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为 （用数字作答）． 【答案】 84 286 【来源】作业02 计数原理（1）-【暑假分层作业】（苏教版2019选择性必修第二册） 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解． 【详解】由题意，则方程的正整数解的不同组数为， 若中没有，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 若中有个为，则有种， 该方程自然数解的不同组数为． 故答案为：84；286． 12．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)已知集合，记集合的元素个数为.当时， （用数字表示）；当（且）时， .（用含有的式子表示）. 【答案】 4 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】，列举出和相应的，得到答案；分，，……，，依次得到每种情况下的的个数，相加，结合组合数的性质得到答案. 【详解】因为，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故， 当时，此时，此时只有种情况， 当时，此时可在中按照大小顺序选择三个数， 且由于单调递增，故不同的选法求出的不同，故有种情况， 当时，此时可在中按照大小顺序选择三个数， 且由于单调递增，故不同的选法求出的不同，故有种情况， ……， 时，此时可在中按照大小顺序选择三个数， 此时有种情况， 综上， . 故答案为：4， 【点睛】结论点睛：组合数的一些重要性质，，，，， 13．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)海州高级中学团委举行了由甲、乙、丙、丁、戊、辛，6名学生参加的“争做时代接班人”的演讲比赛，决出第1名到第6名的名次，赛后甲、乙两名参赛者向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”；对乙说：“你和甲的名次相差2名”.若老师说的都是对的，则6人的名次排列情况可能的种数有 . 【答案】168 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】由分步原理，分甲为二，三，四，五，六名时，计算即可. 【详解】由分步原理可得 当甲是第二名时，乙只能为第四，此时有种； 当甲是第三名时，乙为第一或第五，此时有种； 当甲是第四名时，乙为第二或第六，此时有种； 当甲是第五名时，乙为第三，此时有种； 当甲是第六名时，乙为第四，此时有种； 所以共有168种. 故答案为：168. 【点睛】易错点睛：本题易错点在于理解“你和甲的名次相差2名”，表示甲可以比乙靠前，也可以靠后. 14．(23-24高二下·江苏淮安协作体联盟·期中)某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有 种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法． 【答案】 540 100 【来源】江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）首先将6位同学分成三组，分三类计算不同的情况，然后进行全排列.（2）去掉甲同学还有4位同学和乙同学共5位同学.根据乙不去涟水战役烈士纪念馆，可以按照去涟水战役烈士纪念馆的人数分为三类讨论，然后相加可得答案. 【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种. 根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. （2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种. 故答案为：540；100. 【点睛】解决分组分配问题的策略： （1）对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题. （2）对于整体均分，分组后一定要除以（n为均分的组数），避免重复计数. （3）对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. 四、解答题 15．(23-24高二下·江苏镇江·期中)已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1)2 (2)13440 (3) 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【详解】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； （2）由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； （3）设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 16．(23-24高二下·江苏南京五所高中学校合作联盟·期中)已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． (1)求的值： (2)若展开式中的常数项为， ①求的值； ②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 【答案】(1)10； (2)①；② 【来源】江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷 【分析】（1）利用二项式系数和列出方程，求出的值. （2）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值；利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【详解】（1）依题意，，即，整理得，而， 所以. （2）①由（1）知，二项式展开式的通项为， 由，得，因此，即，而， 所以. ②由①知，，依题意，， 即，则，解得， 所以. 17．(23-24高二下·江苏江阴长泾中学·期中)已知． (1)；（该问结果可保留幂的形式） (2)求的最大值； (3)求被13除的余数． 【答案】(1)6305 (2)1792 (3) 【来源】江苏省江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）分别令，，即可得解； （2）根据求出展开式的通项，再利用不等式法求解即可； （3），再根据二项式定理即可得解. 【详解】（1）令，则， 令，则， 所以； （2）， 故展开式得通项为，， ∴，，， 令， 解得， ∴的最大值为； （3）∵ ， 令， 则， ∴被除的余数为. 【点睛】结论点睛：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为； （4）偶数项系数之和为. 18．(23-24高二下·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)函数． (1)求的值； (2)用二项式定理证明：能被8整除． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【来源】江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）利用赋值法对进行赋值，代入求解即可. （2）对进行代入化简，根据二项式定理展开，即可证明被8整除. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 令，则， 两式相加，得， 所以， 所以. （2）， 显然能被8整除， 且能被8整除， 所以能被8整除. 19．(23-24高二下·江苏无锡锡东高级中学·期中)已知展开式的二项式系数和为512，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求被8整除的余数. 【答案】(1)672； (2)2； (3). 【来源】江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案； （2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案； （3）根据题意，可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案. 【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为512， 所以，解得， 因为，所以； （2）在中， 令，则， 令，可得， 所以； （3） 所以被8整除的余数为. 20．(23-24高二下·江苏淮安金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等·期中)某同学在研究二项式定理的时候发现：其中为的系数，它具有好多性质，如：①;②;③；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题: (1)计算：；(请用数字作答) (2)若，且，证明：； (3)设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 【答案】(1)448； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【来源】江苏省淮安市金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合组合数公式计算即得. （2）根据给定条件，利用变形等式左边，再结合推理即得. （3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即得. 【详解】（1）原式 . （2）显然，而， 因此， 则. 所以原命题成立. （3）设等差数列，，，…，的公差为d，， 则 . 所以对任意的，是关于x的一次函数. 【点睛】思路点睛：本题第（3）利用公差表示，借助分组求和的思想并逆用二项式定理即可推理得证. 21．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解. 条件①：；条件②：. 问题：已知，若__________. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2)2 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）若选条件①：令即可得结果；若选条件②：令，可得，，可得，运算求解即可； （2）根据（1）可得，且，令即可得结果. 【详解】（1）因为， 若选条件①：令，可得，解得； 若选条件②：令，可得， 令，可得， 则，解得. （2）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 22．(23-24高二下·江苏南通海安实验中学·期中)在二项式的展开式中，第5项和第6项的二项式系数相同， (1)求所有偶数项的二项式系数的和； (2)求各项系数绝对值之和． (3)若记，求展开式中中取最大项时的值． 【答案】(1)256 (2) (3)3 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 【分析】（1）写出展开式的通项，依题意，即可求出，再根据所有偶数项的二项式系数的和为计算可得； （2）二项式的各项系数绝对值之和与的各项系数和相等，再令即可得解； （3）由，即可得到，，再设出不等式组，即可求出. 【详解】（1）二项式展开式的通项为（且）， 依题意可得，， 所以，则所有偶数项的二项式系数的和为； （2）二项式的各项系数绝对值之和与的各项系数和相等， 所以的各项系数绝对值之和为； （3）由题可得 ， 所以，， 显然要使最大，为奇数时是正值，为偶数时是负值． 令，， ，解得， 所以当时，是展开式中系数的绝对值最大的项，也是系数最大的项， 综上所述展开式中中取最大项时． 23．(23-24高二下·江苏南京临江高级中学·期中)已知在的展开式中按照的指数从高到低排列，若 ． 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） (1)求的值； (2)在展开式中，求常数项； (3)在展开式中，若系数最大，求的值； (4)在展开式中，求位于第一项、第三项、第五项、第七项……等所有奇数次序位置上的项的系数和．（所得结果用含幂指数的形式作答即可） 【答案】(1) (2)11520 (3) (4) 【来源】江苏省南京市临江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出n； （2）由（1）的结论，结合二项式定理展开式求出常数项； （3）由（1）的结论，列出展开式系数比较求出最大项即可； （4）由（1）的结论，列出展开式求出系数和即可. 【详解】（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即， 所以. 选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等,则,. 选择条件③，所有二项式系数的和为,所以,所以. （2）的展开式中常数项为. （3）的展开式中 , , , , 所以，系数最大的项为,所以系数最大时. （4）位于第一项、第三项、第五项、第七项……等所有奇数次序位置上的项的系数和为 . 24．(23-24高二下·江苏宿迁·期中)在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列． (1)求的值； (2)将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”.对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范.根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中的系数可得.利用上述思想方法，请计算的值（可用组合数作答）． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省宿迁地区2023-2024学年高二下学期期中调研测试数学试题 【分析】（1）把看作整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数求得结果. （2）根据二项式定理和三项式的次系数列的定义，分别展开，然后比较的系数，建立方程关系进行求解即可. 【详解】（1）因为                    （在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数）， 从而，，，   故. （2）因为 其中含项的系数为 又， 的展开式中的第项为 ， 令，解得， 所以含项的系数为；      所以． 25．(23-24高二下·江苏海门中学·期中)已知． (1)当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数； (2)设． ①求的系数（用表示）： ②求（用表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【来源】江苏省海门中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）借助组合数的计算公式计算即可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解；②借助导数计算可得与错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）由题，所以，所以，所以， 由，即展开式中的系数为； （2）由题意得，， ① ； ②，对等式两边同时求导， 得， 即， 令，得， 即， 则， 则， 所以． 26．(23-24高二下·江苏海州高级中学·期中)图是一个 11阶的杨辉三角： (1)求第22行中从左到右的第3 个数； (2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为1：3：5?若存在，试求出这三个数：若不存在，请说明理由. (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关.如：从第3行开始，除了1以外，其它每一个数是它肩上的二个数之和；请尝试证明：当，，， 【答案】(1)231 (2)7，21，35 (3)证明见解析 【来源】江苏省海州高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）直接利用二项式定理求解. （2）可设第行的第，，三个相邻的数之比为，列出方程，求出，的值，再求出这三个数. （3）先总结表达结论，结合，可得，再利用该结论证明原结论. 【详解】（1）第22行中从左到右的第3个数为：. （2）设第行的第，，三个相邻的数之比为，则 . 所以这3个数是：，，，即7，21，35. （3）当时，结论显然成立； 当时，，. 由题意：. 所以， 因此 【点睛】关键点点睛：本体的关键点时利用组合数的计算公式和组合数的性质进行计算.首先根据组合数公式得到，再结合组合数性质得到，再对目标式子进行化简整理. 27．(23-24高二下·江苏徐州铜山区·期中)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为， ①若，求； ②若且，求． 【答案】(1)， (2)①；② 【来源】江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高二下学期4月期中学情调研数学试题 【分析】（1）分别写出、的所有质因数，根据其个数即可计算出结果； （2）①列出的真因数，计算可得；②利用定义由组合数定义以及二项式定理计算可得. 【详解】（1），则，，，，，，， ， 又，则，，，，，，， 所以； （2）①，，，，，，， ，，，，，，，， 则，，，，， ，，，， ，，，，， ． ②由于且，所以可设，为偶数， 的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积， 从个质数中任选个数的乘积一共有种结果， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分理解莫比乌斯函数的定义，并根据计算规则得出其规律，再由二项式系数性质可得出结果. 28．(23-24高二下·江苏宿迁泗洪县·期中)的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列． (1)求的值； (2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：． 【答案】(1)13 (2) 【来源】江苏省宿迁市泗洪县2023-2024学年高二下学期期中数学试题 【分析】（1）采用“赋值法”求解. （2）分别求和展开式中的系数即可. 【详解】（1）因为， 令得：； 令得：. 两式相减得：. （2）因为， 所以展开式中，的系数为： 又展开式中，，由， 所以的系数为：. 所以 【点睛】方法点睛：对于新的概念的理解是解决问题的关键. 29．(23-24高二下·江苏泰州中学·期中)已知函数，其中，． (1)若n＝8，，求的最大值； (2)若，求；（用n表示） (3)若，求证：． 【答案】(1)1792 (2) (3)证明见解析 【来源】江苏省泰州中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解； （2）由题意可得，两边求导，令可得解； （3）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可证． 【详解】（1）， ， 不妨设中，则 ， 中的最大值为； （2）若，，两边求导得， 令得，. （3）若，， ， 因为， 所以 ． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是利用组合数公式将化简为. 30．(23-24高二下·江苏镇江·期中)（1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）； ①，②. （2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论； （3）化简：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【分析】（1）①将和的计算公式分别列出来，通分即可； ②根据二项式定理即可得到； （2）令为，为，代入即可； （3）先根据变形，再根据（2）中得到的变形即可. 【详解】（1）①证明： ； ②证明： . （2）令为，为， 由，可得. 证明：. （3） 由（2）得，即， 原式 . 【点睛】方法点睛：排列组合数相关的化简计算，主要在于将其计算式写出来，然后通过分式的性质对其进行变形. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$