江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江苏省淮安市淮阴中学高二(下)期中数学试卷 一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,计40分) 1.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x|y=lgx},则A∩B=( ) A.(﹣1,3) B.(0,3) C.(0,1) D.[0,3) 2.(5分)已知,,,若、、三向量共面,则实数 等于( ) A.4 B.3 C.﹣10 D.﹣11 3.(5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(5分)已知CCC,那么n的值是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 5.(5分)已知离散型随机变量X服从0﹣1分布,且,则D(2X+1)=( ) A. B. C. D. 6.(5分)在彩色显像中,为了研究形成染料的光学密度y与析出银的化学密度x之间的关系,观测10组数据,以模型去拟合,为了求出经验回归方程,设,z=lny,求得线性回归方程为,则a,b的值为( ) A.a=0.54,b=﹣0.15 B.a=0.54,b=0.15 C.a=e0.54,b=﹣0.15 D.a=e0.54,b=0.15 7.(5分)设实数x满足(1+2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,下列说法中,不正确的是( ) A.a0=1 B.a2=112 C.a1+a3+a5+a7 D.255 8.(5分)甲乙两人进行象棋比赛,约定(先连胜三局者赢得比赛,且结束比赛,若赛完5局仍未出现3局连胜,则判定赢得局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率是,乙获胜的概率为.各局比赛结果相互独立,则打满5局的概率是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题,每题6分,计18分) (多选)9.(6分)将1,2,3,4,5这5个数字排成一个无重复数字的5位数,则下列说法正确的是( ) A.若中间一个数字是3,则这样的数共有24个 B.若这个5位数是个偶数,则这样的数有36个 C.若数字1、3、5不相邻,2、4也不相邻,则这样的数有12个 D.若该五位数的数字特点是先增后减(如12543),则这样的数共有14个 (多选)10.(6分)在一个不透明的袋子里装有大小形状完全相同的2个红球和1个黑球,从中不放回的取两次球,每次取一个球,记事件Ai=“第i次取到是红球”,事件B=“两次取到的球颜色相同”,事件C=“取到黑球”,则( ) A.A1与B互斥 B.P(A2) C.P(A2|C) D.A2与C相互独立 (多选)11.(6分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,棱长为2,其中M,N,Q分别是A1D1、C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1上一动点,下列说法中正确的有( ) A.CM和平面ABCD所成角的正切值为 B.BP⊥A1N时,P点轨迹长度为 C.BP∥平面CMN时,BP最小值为 D.若P满足,当时,点P到直线CN距离最小 三、填空题(本大题共3小题,每题5分,计15分) 12.(5分)已知x>2,,则y的最小值为 . 13.(5分)小明从家坐公交车到图书馆所花费的时间服从均值为30分钟,方差为4的正态分布,本周日小明要参加下午3点开始的一项活动,若他提前34分钟出门,则他迟到的概率是 . (注:P( ﹣ ≤X≤ + )=0.683,P( ﹣2 ≤X≤ +2 )=0.954) 14.(5分)身高均不相同的6个人排成3行,记ai为第i行的两人中身高较高的身高值,若要求a1<a2<a3,则共有 种排队方法. 三、解答题(本大题共5题,计77分) 15.(13分)(1)已知在的展开式中,所有奇数项的二项式系数和为128. ①求n的值; ②求展开式中的常数项; (2)设f(n)=7n,求f(10)除以9所得余数. 16.(15分)阅读对人的成长影响是巨大的,一个人的精神发展史,在一定意义上就是他本人的阅读史,一个民族的精神境界,在很大程度上取决于全民族的阅读水平,为了倡导全民阅读,1995年联合国教科文组织宜布,每年的4月23日为“世界读书日”,在今年的“世界读书日”来临之际,某地为了解居民阅读情况,对辖区内居民阅读情况进行抽样调查:统计其中400名居民的年龄与每周阅读时长,若把年龄在[20,40)的称为青年,年龄在[40,60]称考中年,得到如下的频数分布表. 青年 中年 合计 每周0~3小时 120 80 200 每周3小时及以上 100 100 200 合计 220 180 400 (1)试根据小概率 =0.05的独立性检验,能否认为阅读时长与年龄有关? (2)从每周阅读0~3小时的样本中,按照表中年龄段采用按比例进行分层随机抽样,抽取10人,再从这10人中随机抽取3人,记这3人中青年和中年人数之差的绝对值为X,求X的分布列与期望; 参考公式:. 附: 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图ABC为正三角形,AD⊥面ABC,CE⊥面ABC,AC=CE=2,AD=1,M是BD的中点,N是线段CE上的点,CN= CE,0≤ ≤1. (1)当时,求证:MN∥平面ABC; (2)当 为何值时,平面BDA与平面BDN夹角的余弦值为. 18.(17分)4.15日是国家安全教育日,某班级为了更好的向学生宣传国家安全的重要性,当日开展了“国家安全知识”竞赛活动,竞赛共有A和B两类试题,每答对一道A类试题得5分,答对一道B类试题得3分,答错均得0分.每位同学从这两类试题中共抽出4道题作答(抽取后不放回),已知同学甲答对A类题的概率为,答对B类题的概率为,且每题答对与否都相互独立. (1)若答题得分不低于10分为闯关成功,有如下两个方案: 方案一:抽取4道A类题作答; 方案二:A类和B类题各抽取两道题作答. 判断哪个方案同学甲闯关成功的概率更大. (2)为了进一步提高学生关于国家安全的认识,闯关成功的同学可以进一步参加第二轮比赛,规则如下: ①答题者初始分数为100分; ②每次答题需消耗分数换取答题资格,答第k题时需用分数为0.2k. 已知共有15道题,均为B类题,学生甲已经闯关成功,他可自己决定答题数量n(即可以不答完),求答题数量n为多少时,甲平均得分最高. 19.(17分)给定正整数n≥3,设集合A={a1,a2,a3,...an},若同时满足 ①对任意1≤i≤n,都有ai>0; ②若对任意的1≤i,j≤n,都有ai•aj∈A或者中至少一个成立,则称集合A具有性质P. (1)判断集合{1,2,3}和是否具有性质P. (2)若集合A={2,a,b}具有性质P, ①证明1∈A;②求a,b的值. (3)若具有性质P的集合A中恰有6个元素,且2∈A,求集合A.