专题11 几何最值之主从联动瓜豆模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题11 几何最值之主从联动瓜豆模型 模型定义 在几何最值问题中，主从联动瓜豆模型描述的是一种动点间相互关联的运动模式。存在一个主动点和一个从动点，从动点的运动依赖于主动点，二者的运动轨迹存在特定关联。就如同藤蔓上的瓜豆，瓜随豆的运动而运动，形象地称为 “瓜豆模型” 。 常见类型：直线型瓜豆、圆弧型瓜豆 解题关键 （1）确定主动点与从动点：明确题目中哪个点的运动是自主的（主动点），哪个点的运动受主动点制约（从动点） 。 （2）找出关联关系：分析主动点与从动点之间的几何联系，包括旋转角度、线段比例等。比如，从动点绕某一定点旋转的角度固定，且与主动点的连线长度和某条定线段长度比值恒定 。 （3）确定轨迹：依据主动点的轨迹（直线或圆弧等）以及两者的关联关系，确定从动点的轨迹。若主动点轨迹是直线，结合关联条件判断从动点轨迹直线的位置和方向；若主动点轨迹是圆弧，确定从动点轨迹圆弧的圆心和半径 。 （4）求解最值：根据从动点的轨迹，利用几何图形的性质（如点到直线的距离、两点之间线段最短等）来求解与从动点相关的线段最值问题 。 与其他模型区别 与传统几何最值模型（如将军饮马模型主要是利用轴对称转化线段求最值，重点在于直线上动点到两定点距离和差问题）不同，瓜豆模型强调动点间的关联运动及轨迹关系。阿氏圆模型是基于动点在圆上运动且满足特定线段比例关系求最值，而瓜豆模型更侧重于动点间运动的关联性来确定轨迹进而求最值 。 应用场景 在几何综合题中，常通过瓜豆模型解决与动点相关的线段长度最值、面积最值等问题。在实际生活中，如机械设计里部件的联动运动分析等场景，也可类比运用瓜豆模型的思想来研究部件运动轨迹和相关最值情况，帮助理解和优化机械结构的运动性能 。 瓜豆原理——主从动点问题模型讲解 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定； 2.动点与定点的连线夹角是定角； 3.动点到定点的距离比值是定值． 结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 位似型（主从一线） ①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹 ②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹 旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向） ③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹 【典例】1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 【典例】2．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆． 【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH． ，， ， 点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆， ，， ， ， 的最小值， 故选B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 【典例】3．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（    ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 【答案】A 【分析】以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点D到BC的最大距离，即可求出面积最大值． 【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM， ∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆， 要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到BC的距离是， ∴点D到BC的最大距离是， ∴的面积最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 【典例】4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 【典例】5．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．    【答案】． 【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值． 【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点， ∴OC＝， ∴OD＝＝5， ∴OM＝＝5， ∵OF+MF≥OM， ∴OF≥， ∴线段OF长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形三边关系，熟练掌握并准确应用是解题的关键． 【典例】6．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ． 【答案】 【分析】如图，在y轴上取一点，连接，，由勾股定理求出=5，由三角形中位线定理求=2OP，当C在线段上时，的长度最小值=5-2-3，当C在线段延长线上时，的长度最大值=5+2=7，即可求解． 【详解】如图，在y轴上取一点，连接，， ∵B（0，3），，A（4，0）， ∴，， ∴， ∵点P是BC的中点， ∴， ∵，， ∴， 当C在线段上时，的长度最小值为：5-2=3， 当C在线段延长线上时，的长度最大值为：5+2=7， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 【典例】7．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ． 【答案】/1.5 【详解】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM． ∵点P（3，4），A（2.8，0），B（5.6，0）， ∴OP=，AO=2.8，OB=5.6， ∴AB=5.6-2.8=2.8， ∴OA=AB， 又∵CM=CB， ∴AC=OM， ∴当OM最小时，AC最小， ∴当M运动到M′时，OM最小， 此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=． 考点：1、点与圆的位置关系；2、坐标与图形性质；3、三角形中位线定理 【典例】8．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ． 【答案】 【分析】方法一：因为点E在线段AB上运动，根据瓜豆原理可知从动点F在一条直线上运动，找出这条直线根据点到直线的距离垂线段最短即可求出CF的最小值． 方法二：依题意，当点运动到点时，以为边作正方形；同理当点运动到点时，作正方形；故点在与间运动，当时，可得最小； 【详解】方法一：解：如图，在BA延长线上取点M，使AM=AD， ∵在矩形ABCD中，， ∴，, ∵在正方形DEFG中，， ∴∠EDF=∠MDA，, ∴ ∴， ∴点F在过M点垂直DM的直线MN上， 故CF的最小值为点C到直线MN的距离； 过点C作⊥MN，过D点作DH⊥， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 方法二：如图：当点运动到点时，以为边作正方形；同理当运动到点时，作正方形； 过点作， ，又； 又为矩形，∴  ； ∴ 在和中 ，又 ∴； 同理可得；∴；∴ ； 当点到达点，为点的运动的最大范围，又依据等腰三角形的性质，点在与间运动，且当时，可得最小； ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查正方形及直角三角形的性质，关键在寻找等量关系及其最小值的位置． 【典例】9．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连接BD，求BD的最小值； ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式． 【答案】（1）对称轴为直线x=4；B（10，5）．（2）①．②． 【分析】（1）确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标； （2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD； ②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE==3，求出P、D的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）把x=-2代入，得 ， ∴A（﹣2，5），对称轴为直线x=﹣=4， ∵A、B关于对称轴对称， ∴B（10，5）． （2）①如图1中， 由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上， ∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=． ②如图2中， 图2 当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4， ∴DE==3， ∴点D的坐标为（4，3）． 设PC=PD=x，在Rt△PDK中，， ∴x=， ∴P（，5）， 设直线PD的解析式为y=kx+b，由题意得 ， ∴， ∴直线PD的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型． 【典例】10．如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）有．① 当取得最大值时，；②当取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先求出∠PAC，进而得出∠PAB＝90°，再利用相似求出AP，即可得出结论； （3）先求出AP＝1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得； （3）有．由（1）知，， ， ， 是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上， ①如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值， ． ， ． 当取得最大值时，； ②如图所示，当点在线段上时，取得最小值， ， ， 当取得最小值时，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，直角三角形的判定和性质，圆的性质，判断出△APC∽△BPC是解本题的关键． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值． 【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形， 所以BD＝DC 因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°， 所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC， 因为∠FDC＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上， 直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4， 所以AP＝2 当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值， CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 2．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长． 【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图， ∵△ACB为等腰直角三角形， ∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°， ∵O为AB的中点， ∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ， 在Rt△AOP和△COQ中 ， ∴Rt△AOP≌△COQ， ∴AP=CQ， 易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形， ∴PE=AP=CQ，QF=BQ， ∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1， ∵M点为PQ的中点， ∴MH为梯形PEFQ的中位线， ∴MH=（PE+QF）=， 即点M到AB的距离为，而CO=1， ∴点M的运动路线为△ABC的中位线， ∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 3．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论． 【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示， 根据折叠可知：． 在中，，，， ， 的最小值． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，    设Q(，)，则PM=，QM=， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′， ∴∠QPM=∠PQ′N， 在△PQM和△Q′PN中， ， ∴△PQM≌△Q′PN(AAS)， ∴PN=QM=，Q′N=PM=， ∴ON=1+PN=， ∴Q′(，)， ∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5， 当m=2时，OQ′2有最小值为5， ∴OQ′的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 5．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至 ，使，连接 ，通过，，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段 运动到，从而得出结论④错误． 【详解】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA， ∴△OAD为等边三角形， ∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD， ∵△DFE为等边三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE， ∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°， ∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°， ∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°， ∴∠ADF＝∠EFC， ∴∠BDE＝∠EFC， 故结论①正确； ②如图，连接OE， 在△DAF和△DOE中， ， ∴△DAF≌△DOE（SAS）， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°， ∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE＝∠DOE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△ODE≌△OCE（SAS）， ∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE， 故结论②正确； ③∵∠ODE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF， 故结论③正确； ④如图，延长OE至，使＝OD，连接， ∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°， ∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到， ∵＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝4•tan30°＝ ， ∴点E运动的路程是， 故结论④错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 7．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 9．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过菱形性质证明，在中，利用勾股定理求出AE的长度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推导出，代入数值求解即可． （2）判断出点Ｈ的运动轨迹，从而知道点Ｎ的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值． 【详解】（1）解：过点F作于点M，如下图： ∵四边形ABCD是菱形,且 ∴ ∵为菱形对角线 ∴, 又∵在的中垂线上 ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ 设：，则 ∵ 即： 解得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，因为点C为固定点，点Ｎ为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图： 此时：在在，,当 A、M、N三点共线时，AN最大 则：在中， ∵ ∴ ∴ 又∵M点是BC的中点，N是CH的中点 ∴ ∴ 【点睛】本题看考查勾股定理，等腰三角形性质．瓜豆模型等相关知识点，根据题意列出相关等量关系是解题重点． 10．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）解：由旋转性质及等边三角形性质可知，可证（SAS），得，由，可得，，根据，可得，从而通过可计算出结果； （2）延长，使，连接，，则，根据题意可知，为的中位线，即，类比（1）可证得（SAS），可得，即，由为的中点，可得，，从而可得，即可得结论； （3）由（1）知，，，，由，则，可得，由，得，作，可得，利用相似三角形得性质可列比例式，求得，，，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即取最大值，此时，，，进而可求得面积． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，， ∵旋转角， ∴是等边三角形，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：延长，使，连接，，则， 即为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线，即， 旋转角，由旋转性质可知：， ∵为的中点， ∴，平分， ∴，，则， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ， ∴ ∴． （3）由（1）知，，，， ∵，则， ∴， 由，得， 作，则：， ∴，则，，， 即点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆， 由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即：取最大值，如图 此时，，， 则． 【点睛】本题属于几何题综合，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形及相似相似三角形是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 几何最值之主从联动瓜豆模型 模型定义 在几何最值问题中，主从联动瓜豆模型描述的是一种动点间相互关联的运动模式。存在一个主动点和一个从动点，从动点的运动依赖于主动点，二者的运动轨迹存在特定关联。就如同藤蔓上的瓜豆，瓜随豆的运动而运动，形象地称为 “瓜豆模型” 。 常见类型：直线型瓜豆、圆弧型瓜豆 解题关键 （1）确定主动点与从动点：明确题目中哪个点的运动是自主的（主动点），哪个点的运动受主动点制约（从动点） 。 （2）找出关联关系：分析主动点与从动点之间的几何联系，包括旋转角度、线段比例等。比如，从动点绕某一定点旋转的角度固定，且与主动点的连线长度和某条定线段长度比值恒定 。 （3）确定轨迹：依据主动点的轨迹（直线或圆弧等）以及两者的关联关系，确定从动点的轨迹。若主动点轨迹是直线，结合关联条件判断从动点轨迹直线的位置和方向；若主动点轨迹是圆弧，确定从动点轨迹圆弧的圆心和半径 。 （4）求解最值：根据从动点的轨迹，利用几何图形的性质（如点到直线的距离、两点之间线段最短等）来求解与从动点相关的线段最值问题 。 与其他模型区别 与传统几何最值模型（如将军饮马模型主要是利用轴对称转化线段求最值，重点在于直线上动点到两定点距离和差问题）不同，瓜豆模型强调动点间的关联运动及轨迹关系。阿氏圆模型是基于动点在圆上运动且满足特定线段比例关系求最值，而瓜豆模型更侧重于动点间运动的关联性来确定轨迹进而求最值 。 应用场景 在几何综合题中，常通过瓜豆模型解决与动点相关的线段长度最值、面积最值等问题。在实际生活中，如机械设计里部件的联动运动分析等场景，也可类比运用瓜豆模型的思想来研究部件运动轨迹和相关最值情况，帮助理解和优化机械结构的运动性能 。 瓜豆原理——主从动点问题模型讲解 初中数学有一类动态问题叫做主从联动，有的老师叫他瓜豆原理，也有的老师叫他旋转相似这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题． 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．） 满足条件： 1.两动一定； 2.动点与定点的连线夹角是定角； 3.动点到定点的距离比值是定值． 结论：若点O为定点，∠POQ为定角α，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同． 方法：第一步：找主动点的轨迹 ； 第二步：找从动点与主动点的关系； 第三步：找主动点的起点和终点； 第四步：通过相似确定从动点的轨迹， 第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值． “瓜豆原理”其实质就是构造旋转、相似． 涉及的知识和方法： 知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值． 位似型（主从一线） ①点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q的运动轨迹 ②点A为定点，点P在定圆⊙O上运动，点Q为线段AP的中点，点Q的运动轨迹 旋转型（OQ在OP绕点Q顺时针旋转α的方向） ③点O为定点，∠POQ＝α且，点P在定直线l（定圆⊙M）上运动，则点Q的运动轨迹 【典例】1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【典例】2．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 【典例】3．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（    ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 【典例】4．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【典例】5．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 ．    【典例】6．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是 ． 【典例】7．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是 ． 【典例】8．如图，矩形ABCD中，AB＝4， BC ＝3， E为AB边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG，连接CF，则CF的最小值为 ． 【典例】9．如图，过抛物线上一点A作轴的平行线，交抛物线于另一点B，交轴于点C，已知点A的横坐标为． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连接BD，求BD的最小值； ②当点D落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线PD的函数表达式． 【典例】10．如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 2．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　） A． B． C．1 D．2 3．如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为(　　)      A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点F沿线段AO从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，连接OE．现给出以下结论： ①；②；③直线；④点E运动的路程是． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 7．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 9．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 10．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$