专题09 几何最值之隐圆最值模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题09 几何最值之隐圆最值模型 隐圆最值模型并非直观呈现出圆的形态，而是在特定几何条件下，动点的运动轨迹实际符合圆的特征，但未明确给出圆的相关信息，需要我们通过分析条件去挖掘出 “隐藏” 的圆，进而解决最值问题。 常见的隐圆最值模型出现场景有以下几种： 定点定长型、定弦定角型、对角互补型 针对隐圆最值模型的解题策略： （1）确定隐圆：通过对已知条件的分析，依据上述常见类型的特征，判断出动点的轨迹是圆或圆弧，确定圆心位置和半径大小（或相关参数）。 （2）转化问题：将所求的最值问题，如线段和、差的最值等，转化为圆的相关性质问题。比如求圆上一点到某定点距离的最值，可利用圆心与该定点的连线，结合圆的半径进行求解。若求两线段和的最值，可能通过构造辅助线，利用三角形三边关系等在圆的情境下解决。 （3）计算最值：根据圆的性质（如直径是圆中最长的弦、点与圆心的距离和半径的关系等）进行计算，得出最值结果。 隐圆最值模型与其他几何最值模型的区别在于其 “隐” 的特性。不像一些常规几何图形（如直线、三角形等）构成的最值模型那样直观，它需要我们具备敏锐的观察力和对几何性质的深刻理解，从复杂的条件中挖掘出隐藏的圆，进而运用圆的性质解题。 掌握隐圆最值模型，对于解决复杂多变的几何最值问题有着极大的帮助。它能让我们在面对看似毫无头绪的几何问题时，找到隐藏的线索，将问题转化为熟悉的圆相关问题进行求解，提升我们解决几何综合问题的能力和思维水平。 几何最值之隐圆最值模型讲解 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形ABCD中，, 根据圆内接四边形的性质，可知ABCD四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例】1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 【典例】2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 【典例】3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为3， 故选A．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【典例】4．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 【典例】5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，菱形中，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，作的外接圆，连接．利用相似三角形的性质判断出，得出点E的运动轨迹，可得结论． 【详解】解：连接，作的外接圆，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在上运动， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出点E的运动轨迹是解题的关键． 【典例】6．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案． 【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆 ∵四边形为矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上 连接OB交圆O与点N ∵点B为圆O外一点 ∴当直线BM过圆心O时，BM最短 ∵， ∴ ∴ ∵ 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 【典例】7．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 【典例】8．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于P，交半圆O于E， 根据对称性有：， 则有：， 则线段的长即为的长度最小值，E ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键． 【典例】9．问题提出 （1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值； 问题解决 （3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）5；（2）；（3）的周长存在最小值，最小值为 【分析】（1）由，可得点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点，当点H与点重合时，有最大值，即可解答； （2）作点D关于的对称点，连接，得到，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可解答； （3）作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，，则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值．根据矩形的判定和三角形的内角和定理求得，作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，利用圆周角定理求得，进而利用等腰三角形的性质和锐角三角函数求得，，设交于K，交于，连接，可证明E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，，可求得，连接，则，即，当E、H、O共线时取等号，过O作交延长线于S，求得，则，，利用三角形中位线可得，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点， 当点H与点重合时，有最大值， 此时，， ∴点A到的最大距离为； （2）解：作点D关于的对称点，连接， 则， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即的最小值为； （3）的周长存在最小值． 作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，， 则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值． ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，则， ∵， ∴，， ∴，， 设交于K，交于，连接，则，，， ∴E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，， ∵,， ∴，则， ∴，则， ∴由垂径定理得， 连接，则，即，当E、H、O共线时取等号， 过O作交延长线于S，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即的最小值为， 故的周长存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质求最短路径问题、勾股定理、三角形的中位线性质、锐角三角函数等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，找到取最值时点所在的位置是解答的关键． 【典例】10．问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 2．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值． 【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM， 则， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆， 如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴AP=MP==1， ∴BP=4-1=3， 在中，， ∴． ∴BH的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决． 3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆， 当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示， 过C作CF⊥AE于F， ∵∠DAE=90°，∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=， ∴由sin∠CAF=sin∠BAD得： ， 即， 解得：CF=， ∴此时三角形ACE的面积==6， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置． 二、填空题 4．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 5．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、． (1)如图1，求证：； (2)若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①，②当P、B、F三点共线时，PF有最大值为 【分析】（1）对角线是正方形的对称轴，即可得； （2）①当G、C、M三点共线时，根据，，进而即可求得的值； ②连接，证明，求出相似比，求出，当P、B、F三点共线时，即可求出最大值． 【详解】（1）如图1， ∵对角线是正方形的对称轴， ∴； （2）如图2， ①当G、C、M三点共线时， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ②如图3， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中， ， 当P、B、F三点共线时， PF有最大值：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转． (1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长； (2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：； (3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于，可得，，，再运用勾股定理可得结论； （2）延长到，使，连接，根据SAS证明得，运用中位线定理证明，再证明，得，故可得结论； （3）根据点F在AB上时BN的值最小，求出BN的值，运用等腰直角三角形的性质求出NG和AB，运用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）连接并延长交于， ，点是的中点， ， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， 由已知可得，， ， ； （2）证明：延长到，使，连接， ， ． ， ， 又， ， ．即； 又， ， ， ，A分别是，的中点， ． ， ， ， ， ； （3）∵AE=AD=4，∠EAF=90°， ∴DE=， ∵点F是DE的中点， ∴AF=DE=2， ∴点F在以A为圆心，2为半径的⊙A上移动，如图， 当点F在AB上时，BF最小， ∵是等腰直角三角形， ∴BF最小时，BN也最小， ∴的最小值为：AB-AF= 此时， ∵ ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴的最小值为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 8．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、． (1)观察猜想 线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”． (2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由． (3)拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值． 【答案】(1)是 (2)是，答案见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线的性质以及，，可得，由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”． （2）先证，可得，根据中位线的性质得到，，即；由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”． （3）由（2）可知，，，故，当取最大值时，与的积有最大值．当、、三点共线，且点在之间时，取最大值．此时．最后根据已知条件，计算出最大值即可． 【详解】（1）解：线段与是“等垂线段”． 理由如下： ∵点、、分别为、、的中点， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴． ∵点、、分别为、、的中点， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即线段与是“等垂线段”， 故答案为：是． （2）解：线段与是“等垂线段”，理由如下： ∵绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置， ∴，， ∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵点、、分别为、、的中点， ∴，， ∵， ∴． ∵点、、分别为、、的中点， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ， ∴， ∴． ∵，． 故线段与是“等垂线段”． （3）解：由（2）可知，，， 故， 当取最大值时，与的积有最大值． ∵把绕点在平面内自由旋转， ∴当、、三点共线，且点在之间时， 取最大值． ∴此时． ∵在中，，，，为的中点， ∴， 同理可得，， ∴的最大值为3，与的积有最大值． 【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知识是解题的关键． 9．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转． (1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长； (2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：； (3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值． 【答案】(1)3. (2)见解析. (3)+. 【分析】（1）根据，过B作AF垂线，构造直角三角形，理由勾股定理求解； （2）连接CF，根据易知条件得△ABD≌△ACF，△BEM≌△CFM，再利用等腰直角三角形边的关系得到证明； （3）首先根据“手拉手”全等得到N点轨迹，根据“瓜豆原理”得到P点轨迹为圆弧，点与弧上一点最大距离为通过圆心的一条线段，利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：如图，过B作BH⊥AF于H， 在Rt△ABH中，tan∠BAH=， 设AH=x，则BH=，由勾股定理得：4x2+x2=AB2 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC=·BC=3 ∴4x2+x2=9 解得：AH=x=，BH= ∵ ∴FH= 在Rt△BFH中，BF==3. （2） 如图，连接CF ∵M时BC中点，M是EM中点 ∴EM=MF，BM=CM ∵∠BME=∠CMF ∴△BEM≌△CFM ∴BE=CF，∠EBM=∠MCF ∴BE∥CF ∵B、E、D共线，A、D、F共线 ∴BD∥CF ∴∠AFC=∠BDA=90° ∵AB=AC，∠CAF+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAF=∠BAD   ∴△ABD≌△CAF ∴CF=AD ∴CF=AD=BE ∴AF=AD+DF=BE+EF ∴AF=BE+EF. （3） 连接DM，AM，延长AD交CF于N ∵M是等腰直角三角形DEF和ABC斜边的中点 ∴△DMF，△AMC均为等腰直角三角形 ∴DM=MF，AM=CM，∠AMD=∠CMF ∴△ADM≌△CFM ∴∠MAD=∠MCF ∴∠AMC=∠CND=90° 故N点轨迹为以AC为直径圆（圆O，半径为）的一部分， ∵P为BN中点， 故P的轨迹是以BO中点O'为圆心的圆的一部分，半径为圆O半径的一半，即为 如图所示， 则AP的最大值位置为：连接AO'交圆O'于P'，P'为所求，最大值为AP'的长度 ∴AP'=AO'+O'P'=+=+=+. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、手拉手全等、平行线性质来证明几何命题，并确定动点轨迹，以及三角函数、勾股定理求解线段长度，综合性较强，难度较大,证明∠ANC=90度是关键. 10．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，． (1)若，求的长度； (2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，； (3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可； （2）延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证； （3）取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果． 【详解】（1）解：在等腰中，，，， ，， 点为的中点， ， 在等腰中，，，， ， 在中，，，， ； （2）证明：如图， 延长至，使，连接，，， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，； （3）如图， 取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ≌， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接并延长交于，当在点时，最大， 作于， 在中，，， ，， ， ． 即的最大值． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何最值之隐圆最值模型 隐圆最值模型并非直观呈现出圆的形态，而是在特定几何条件下，动点的运动轨迹实际符合圆的特征，但未明确给出圆的相关信息，需要我们通过分析条件去挖掘出 “隐藏” 的圆，进而解决最值问题。 常见的隐圆最值模型出现场景有以下几种： 定点定长型、定弦定角型、对角互补型 针对隐圆最值模型的解题策略： （1）确定隐圆：通过对已知条件的分析，依据上述常见类型的特征，判断出动点的轨迹是圆或圆弧，确定圆心位置和半径大小（或相关参数）。 （2）转化问题：将所求的最值问题，如线段和、差的最值等，转化为圆的相关性质问题。比如求圆上一点到某定点距离的最值，可利用圆心与该定点的连线，结合圆的半径进行求解。若求两线段和的最值，可能通过构造辅助线，利用三角形三边关系等在圆的情境下解决。 （3）计算最值：根据圆的性质（如直径是圆中最长的弦、点与圆心的距离和半径的关系等）进行计算，得出最值结果。 隐圆最值模型与其他几何最值模型的区别在于其 “隐” 的特性。不像一些常规几何图形（如直线、三角形等）构成的最值模型那样直观，它需要我们具备敏锐的观察力和对几何性质的深刻理解，从复杂的条件中挖掘出隐藏的圆，进而运用圆的性质解题。 掌握隐圆最值模型，对于解决复杂多变的几何最值问题有着极大的帮助。它能让我们在面对看似毫无头绪的几何问题时，找到隐藏的线索，将问题转化为熟悉的圆相关问题进行求解，提升我们解决几何综合问题的能力和思维水平。 几何最值之隐圆最值模型讲解 隐圆模型是指在一些几何问题中，通过分析条件可以发现存在一个隐藏的圆，利用圆的性质来解决问题。常见的隐圆模型有以下几种类型： （1）定点定长型：当题目中出现一个定点和一个动点，且动点到定点的距离始终保持不变时，那么这个动点的轨迹就是一个以定点为圆心，定长为半径的圆。例如，在平面直角坐标系中，点, 点满足, 根据两点间距离公式, 可 知点的轨迹是以为圆心，5为半径的圆。 （2）定弦定角型：如果一条线段（定弦）所对的角始终为一个固定的角度（定角），那么这个角的顶点的轨迹是一个圆。特别地，当定角为时 ，定弦就是圆的直径。例如，在中，, 那么点的 轨迹是一段圆弧。因为同弧所对的圆周角相等，所以满足条件的点都在以为弦，圆周角为的圆上。 （3）对角互补型：若四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。例如，在四边形ABCD中，, 根据圆内接四边形的性质，可知ABCD四点共圆。此时，四边形的外接圆直径与四边形的边或对角线存在一定的关系，可通过正弦定理等知识来求解相关线段的长度。 【典例】1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【典例】2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【典例】3．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【典例】4．（2025·山东济南·一模）如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ． 【典例】5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，菱形中，，点P是直线上一动点，点E在直线上，若，则的最小值是 ． 【典例】6．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例】7．如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（   ） A． B．        B．       D． 【典例】8．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例】9．问题提出 （1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值； 问题解决 （3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【典例】10．问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 1．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 4．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 5．如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 6．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、． (1)如图1，求证：； (2)若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值． 7．已知等腰直角与有公共顶点，，，．现将绕点旋转． (1)如图①，当点，，在同一直线上时，点为的中点，求的长； (2)如图②，连接，．点为的中点，连接交于点，求证：； (3)如图③，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积． 8．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、． (1)观察猜想 线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”． (2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由． (3)拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值． 9．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转． (1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长； (2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：； (3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值． 10．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，． (1)若，求的长度； (2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，； (3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$