专题07 几何最值之胡不归模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题07 几何最值之胡不归模型 在几何最值问题中，胡不归模型是一类重要且独特的模型。 当动点在直线上运动，且存在不同路径速度差异导致的线段和最值问题时，就构建起了胡不归模型。它区别于常见的线段和最值问题，重点在于处理带有速度系数的线段组合最值。 胡不归模型常见于一个动点在直线上移动，连接该动点与两个定点形成的线段，因速度不同而求特定表达式的最小值情境。例如，已知动点在直线上和直线外运动速度不同，求形如为速度相关系数)的最小值。 其解题策略关键在于通过构造特定角度，将系数转化为三角函数值。具体做法是构造一个角，使动点到某条射线的垂线段与含系数的线段建立联系（如通过sin值），从而把转化为为垂线段)的形式。再依据垂线段最短”原理，确定使线段和最小的动点位置。 胡不归模型与其他几何最值模型（如将军饮马模型单纯基于线段最短原理，阿氏圆模型基于圆上动点到定点距离与定长线段的比例关系)存在明显区别。它聚焦于速度差异带来的线段系数处理，是对常规几何最值问题的拓展。 掌握胡不归模型，对于解决复杂的几何最值问题至关重要。它拓宽了我们的解题思路，能将看似棘手的带系数线段和最值问题转化为常规可解的几何问题，提升我们分析和解决几何综合问题的能力。 胡不归模型讲解 模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…” 早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的． 这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间． 过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴ 归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题 条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动） 两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1） 更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n） 思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上） 我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB） 一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型． ，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可． 【典例】1．（2024·山东济南·模拟预测）在矩形中，为上一点，以为边，在其右侧作矩形．    (1)若，则______；______． (2)在（1）的条件下，证明点是的中点． (3)如图2，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的最小值为； 【分析】（1）如图，连接，的交点记为，证明，再证明，再结合相似三角形的性质可得答案； （2）证明，再证明，可得，可得，再进一步可得结论； （3）如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系；求解，作于，作于，证明，可得，设，则，求解，表示，如图，，，，，可得的最小值是线段的长，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：如图，连接，的交点记为， ∵四边形是矩形， ∴，而，    ∴， ∴， ∵，， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系； ∵，， ∴， 作于，作于，    ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 如图，，，，，    ∴的最小值是线段的长， 此时：， ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，利用轴对称的性质求解线段之和的最小值，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【典例】2．（2024·山东·模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）过作，垂足是，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度； （2）延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，构造全等三角形，设，利用中位线定理，解直角三角形，用的代数式表示和，即可得与的数量关系； （3）取的中点，连接，连接，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定的位置，继而求得相关三角形的面积． 【详解】（1）解：过作，垂足是，如图1： 将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， 在中有，， ， 在中，， ， ； （2）线段与线段的数量关系为：， 证明：延长，过作垂直于的延长线，垂足是，连接，，过作于，如图2： ， 由旋转可知，， ， ， ，，，四点共圆， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 在等腰中，由三线合一可知是的中线， ， ， 是的中点， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ； （3）设，则，取的中点，连接，连接，如图3， 由旋转可知， ，， ， 又， ， ， ， 根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是最小，此时、、共线，即在线段上， 设此时落在处，过作于，连接，如图， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 又， 设， 在直角三角形中， ， ，解得， 此时 ． 【点睛】此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题． 【典例】3．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则 ， （2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值． （3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值． 　　　 【答案】（1），；（2）的值没有发生变化，证明见解析；（3） 【分析】（1）由题意得，得到，又由得到，令，则可以表示出的长，再再求出，，的长，在进行计算即可得到答案； （2）令，由（1）得出，，，再由勾股定理计算出的长，从而得到，由旋转可知，从而得到，即可得到的值； （3）连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于，通过，可求出，作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于，从而得到，再通过，即可求得，从而可得到的长，再由勾股定理求出的长，最终可求出的最小值． 【详解】解：（1）， ， ∴， ， ， 设，则，，，， ， ， ∵， ∴， ∵ ， 故答案为：，； （2）的值没有发生变化， 证明：由（1）得：，， 令，则由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， 的值没有发生变化； （3）解：， ， ， 如图4，连接，作，连接，延长交的延长线于，过作，交的延长线于， ， ， ， ， ， 作平行四边形，是关于的对称点，连接、，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定与勾股定理解三角形，熟练掌握并运用三角形相似的性质与判定，正确地作出辅助线是解题的关键，此题难度较大，属于压轴题． 【典例】4．（2024·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】 （1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】 （2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】 （3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）2；（3） 【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性质即可得解；②延长交于，令交于，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）延长，相交于点，连接．由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质得出点为中点，由直角三角形的性质得出，当，三点共线时取得最小值，证明出为等边三角形，即可得解； （3）分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，证明，得出，再证明出四点共圆，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：（1）①， ， ， 故答案为：； ②如图，延长交于，令交于， 由①可得， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 所在直线较小夹角的度数为， 故答案为：； （2）延长，相交于点，连接． 四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ， ∵于点， ∴在中，， ∵在中，，且为定值， ∴当，三点共线时取得最小值， ∵， ∴，此时为等边三角形， ． （3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则， ，，，，为中点， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ，， 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【典例】5．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，点是线段上一点（不与重合），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最短，请直接写出最短时间和点的坐标． 【答案】(1) (2)直角三角形；理由见解析 (3)秒， 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再将点代入即可得解； （2）说明，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交于点，则此时运动过程中用时最短，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴把点代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与轴分别交于两点， ∴当时，可得， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）由（2）可知，，，，且， ∴，， 过点作交轴于点，过点作交于点，则此时运动过程中用时最短，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间为：，此时运动时间最短， 过点作于点， 设直线的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， ∵，，， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入， 可得， ∴直线的表达式为， 当时，可有，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时运动过程中用时最短为秒， ∵在中，点是线段的中点，，， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 设点， ∴， 解得（舍去）或， ∴，即点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最短，最短时间为秒． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标问题、两点间的距离、勾股定理及其逆定理、锐角三角函数、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合是解题的关键． 【典例】6．（2024·山东济南·一模）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立； （2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 则， 那么，， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得 ， ∴， ∴， ∴的最小值为的最小值，即， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 2．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键． 4．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 6．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为 ． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°， ∴MH＝BM， ∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥4， ∴AM+BM≥4， ∴AM+BM的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键． 7．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，， ， ， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值， 此时， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换． 8．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，， ∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 11．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由； (3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)有，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解； （3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解． 【详解】（1）把点，代入抛物线中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， 理由是：如图1， 令，则，即， ∵，， ∴，，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下： 由（2）知：， ∴，即， ∴， ∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2， 抛物线解析式为：； ∴对称轴是：，即， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴在M，N移动的过程中，有最小值是． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 12．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF． (1)求证：△ABE≌△CBF． (2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积） (3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 【答案】(1)见解析 (2)2或6 (3) 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF； （2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解； （3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵∠EBF＝90°＝∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBF， 又∵BE＝BF，AB＝BC， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H， ∵△ABE≌△CBF， ∴S△ABE＝S△CBF， ∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE， ∴△ADE≌△ABE（SSS）， ∴∠DAE＝∠BAE＝45°， ∵EH⊥AB， ∴∠EAB＝∠AEH＝45°， ∴AH＝EH， ∵BE2＝BH2+EH2， ∴10＝EH2+（4﹣EH）2， ∴EH＝1或3， 当EH＝1时 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2， 当EH＝3时 ∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6， ∴S△BCF的值是2或6； （3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K， 由（1）同理可得△ABE≌△CBF， ∴∠EAB＝∠BCF， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°， ∴∠AGC＝90°， ∵∠AGC＝∠ADC＝90°， ∴点A，点G，点C，点D四点共圆， ∴∠ACD＝∠AGD＝45°， ∵PK⊥AG， ∴∠PGK＝∠GPK＝45°， ∴PK＝GK＝PG， ∴MP+PG＝MP+PK， ∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小， 如图4，过点B作BQ⊥CF于Q， ∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF， ∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝， ∵CQ＝， ∴CE＝CQ﹣EQ＝， ∵MK⊥AE，CE⊥AE， ∴MK∥CE， ∴， 又∵M是CD的中点， ∴DC＝2DM， ∴MP＝CE＝． 【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E． ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点E在抛物线上；②P（0，−） 【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上； ②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题． 【详解】（1）解：当x=0时，y=-4， 当y=0时，， ∴x=-3， ∴A（-3，0），B（0，-4）， 把A、B代入抛物线， 得， ∴， ∴抛物线解析式为． （2）解：①∵A（-3，0），C（0，6）， ∴AO=3，CO=6， 由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90° ∴E到x轴的距离为6-3=3， ∴点E的坐标为（6，3）， 当x=3时，， ∴点E在抛物线上； ②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， ∵A（−3，0），B（0，−4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5， ∵， ∴， ∴， ∴HP＋PE的最小值为EH的长， 作EG⊥y轴于G， ∵∠GEP＝∠ABO， ∴tan∠GEP＝tan∠ABO， ∴， ∴， ∴， ∴OP＝−3＝， ∴P（0，−）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键． 14．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH， (1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，设正方形的边长为，，可得，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证； （3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， H为CF的中点，， ， 设正方形的边长为，，可得， 在中，， 即， 解得， ； （2）如图，过点作于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即； （3）如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， 将沿BC翻折得， 是直角三角形， ， 当时，的面积最大， 是的中点， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图乙所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值， ， ，， 则四边形是矩形， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 15．在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值． 【答案】 【分析】先求出点坐标；过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为；直线与轴的交点，，，则可求，则，，求出的长即可． 【详解】解：经过， ， ， ， 过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为； 直线与轴的交点，， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，值最小， ， ， 值最小为． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质,点到直线垂线段最短；能够利用三角形函数将转化为长是解题的关键． 16．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可； （2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， ∵， ∴点的坐标为， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线， ∴将代入，得：， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵，， ∴直线的解析式为：， ∵点在抛物线上，且位于直线下方， ∴设，其中，， 如图所示，作轴，交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 整理可得：，其中， ∵， ∴当时，取得最大值， 将代入，得：， ∴此时点的坐标为；    （3）解：存在最小值，理由如下： 如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为， 分别连接，，，则，，    ∴在中，， ∴随着点的运动，总有， ∴， 要使得取得最小值，即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，    此时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键． 17．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式； （2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，或， ∴，， 将点代入，得： ∴， 则直线的解析式为：， 当时，， ∴， 将点代入，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）由题意得：点的运动时间为， 过点作轴于点，    ∵，， ∴，，， ∴， 过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，此时， ∴与直线的交点即为所求点， ∵， ∴当时，， ∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标． 18．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①12；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（﹣3，0），C (2)最大值，， (3)存在，此时或或，见解析 【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标； （2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数的性质求出最值； （3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）在中， 令x＝0，． ∴C）， 令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1， ∵xA＜xB， ∴A（﹣3，0），B（1，0）． （2）∵PE⊥x轴，y⊥x轴， ∴PE∥y轴， ∴∠PED＝∠ACO， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴△PED∽△ACO， ∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC， 在Rt△AOC中，∠AOC＝90°， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当PE最大时，PD+DE最大， 设直线AC的解析式为：y＝kx+b， ∵A（﹣3，0），， ∴， ∴直线． 设，﹣3＜m＜0， ∴， ∴， ∵，﹣3＜m＜0， ∴时，， ∴， ∴． （3）存在，此时或或． 在射线CB上取一点Q，使CQ＝，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图， ∵B（1，0），C（0，）， ∴OB＝1，OC＝， ∵∠BOC＝90°， ∴BC＝， ∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO， ∴△QGC∽△BOC， ∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即， ∴QG＝3，CG＝， ∴沿射线CB方向平移个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移个单位， ∵， 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移个单位得到新抛物线y′， ∴， ∴新抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵点M为新抛物线y′对称轴上一点， ∴点M的横坐标为2， 当四边形ACMN为平行四边形时，如图， 根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM， 由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M， ∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N， ∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1， 当x＝﹣1时，， ∴此时点N的坐标为； ∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移个单位得到点N（﹣1，﹣）； ∴将点C（0，）先向右平移2个单位，再向下平移个单位得到点M（2，﹣）； 当四边形ACNM为平行四边形时，如图， 根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM， 由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M， ∴将点C（0，）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N， ∴点N的横坐标为：0+5＝5， 当x＝5时，， ∴此时点N的坐标为（5，﹣）； ∴点C（0，）先向右平移5个单位，再向下平移个单位得到点N（5，﹣）； 将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移个单位得到点M（2，﹣）； 当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0，）的中点为：， ∵点M在对称轴x＝2上， ∴点M的横坐标为x＝2， ∴点N的横坐标为x＝﹣5， 当x＝﹣5时，， ∴N（﹣5，）， ∴点M的纵坐标为， ∴． 综上所述，符合题意的点M的坐标为：. 或 或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）令，解方程求得，得出，进而根据二次函数的性质，得出求得的值，即可求解； （2）先得出过点，根据题意画出图象，观察函数图象可得当过点时，与抛物线有3个交点，当与抛物线只有一个交点时，与图形有3个交点，进而得出的范围； （3）根据题意得出的最大值为，则，解方程得出或，进而分类讨论，根据胡不归问题作出辅助线，进而即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，当时，， ∴过点 如图所示， 当过点时，与抛物线有3个交点， 将代入， 即 解得：， 依题意，当时的抛物线解析式为， 当与抛物线只有一个交点时， ∴ 消去得， ∴ 解得：或（舍去） 结合函数图象可得：当函数的图象与图形的公共点的个数大于时， ； （3）∵ ∴的最大值为 ∴ ∵ ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，，则 当时，， 解得：， ∴或， 当时，如图所示，则， 令，代入，则 ∴，则， ∴， 如图所示，作关于的对称点，则，过点作于点， . ∴ ∴， 依题意，点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒． ∵， 当在上时，取得最小值，即点运动的时间最短时， 此时如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，二次函数的几何变换，一次函数与二次函数交点问题，解直角三角形，胡不归问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 几何最值之胡不归模型 在几何最值问题中，胡不归模型是一类重要且独特的模型。 当动点在直线上运动，且存在不同路径速度差异导致的线段和最值问题时，就构建起了胡不归模型。它区别于常见的线段和最值问题，重点在于处理带有速度系数的线段组合最值。 胡不归模型常见于一个动点在直线上移动，连接该动点与两个定点形成的线段，因速度不同而求特定表达式的最小值情境。例如，已知动点在直线上和直线外运动速度不同，求形如为速度相关系数)的最小值。 其解题策略关键在于通过构造特定角度，将系数转化为三角函数值。具体做法是构造一个角，使动点到某条射线的垂线段与含系数的线段建立联系（如通过sin值），从而把转化为为垂线段)的形式。再依据垂线段最短”原理，确定使线段和最小的动点位置。 胡不归模型与其他几何最值模型（如将军饮马模型单纯基于线段最短原理，阿氏圆模型基于圆上动点到定点距离与定长线段的比例关系)存在明显区别。它聚焦于速度差异带来的线段系数处理，是对常规几何最值问题的拓展。 掌握胡不归模型，对于解决复杂的几何最值问题至关重要。它拓宽了我们的解题思路，能将看似棘手的带系数线段和最值问题转化为常规可解的几何问题，提升我们分析和解决几何综合问题的能力。 胡不归模型讲解 模型来源：有一则古老的历史故事：从前有一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是砂砾地带的直线路径A——B （如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道）．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念： “胡不归？胡不…” 早期的科学家曾为这则传说中的小伙子设想了一条路线：在驿道上选一点C．小伙子先从A到C，然后再从C折往B，然后到达驿道目的地B（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快）．他是可以提早抵达家门的． 这两种路面的状况和行走速度值不同，已知在驿道上行走的速度为v1，在砂砾地上行走的速度为V2 （v1＞v2）． 可以在驿道上选一点C，小伙子先从A到C，然后再从C折往目的地B，求他行走的时间． 过定点A在直线AC的下方构造∠CAF，使其满足 ，过点C作CE⊥AF于点E，则，∴CE＝kAC，∴ 归纳：胡不归问题就是一个“两动一定”求最值问题 条件：两定一动（动点一般在某确定的直线上运动） 两定：点A、B两点为定点；一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P，使mPA＋PB最短（0＜m＜1） 更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n） 思路：设所求P点在直线AN上，我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM，使得sin∠NAM＝m（相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边上） 我们作BF⊥AM交AN于P点，毫无疑问P点即为所求！mPA＝PF， mPA＋PB＝BF，BF即为mPA＋PB的最小值（而mPA＋PB＜AB） 一般的：更一般地：使mPA ＋nPB最短（不妨设m＞n），我们只须在上式中提取m、n中的较大者，即可化归到上述类型． ，在类似的位置构造一个正弦等于 的角即可． 【典例】1．（2024·山东济南·模拟预测）在矩形中，为上一点，以为边，在其右侧作矩形．    (1)若，则______；______． (2)在（1）的条件下，证明点是的中点． (3)如图2，若，连接，求的最小值． 【典例】2．（2024·山东·模拟）在中，，．若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，点为的中点，连接交于点．若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，若，为的中点，将绕点旋转得，连接，，当最小时，求． 【典例】3．（2024·山东济南·三模）（1）如图1，与，点D在上，点E在上，，，则 ， （2）如图2，在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否发生改变?若不变请给出证明，若改变请求出新的比值． （3）拓展：如图3，矩形，E为线段上一点，以为边，在其右侧作矩形，且，，连接，，直接写出的最小值． 　　　 【典例】4．（2024·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】 （1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】 （2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】 （3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 【典例】5．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，点是线段上一点（不与重合），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最短，请直接写出最短时间和点的坐标． 【典例】6．（2024·山东济南·一模）【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接． 判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 4．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为 ． 7．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为 ． 8．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ．       9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 11．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由； (3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由． 12．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF． (1)求证：△ABE≌△CBF． (2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积） (3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E． ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标． 14．已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH， (1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长； (2)如图2，若，过点B作于点I，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值． 15．在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值． 16．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 18．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 20．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若，函数的最小值为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果将该抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．当函数的图象与图形的公共点的个数大于时，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当取最大值时，函数的图象与图形的对称轴交于点，若过作平行于轴的直线交图形于点，过点作轴的平行线交函数的图象于点，为线段上的一点，动点从点出发，沿运动到点停止，已知点在上运动的速度为单位长度每秒，在上运动的速度为单位长度每秒．求当点运动的时间最短时，对应的点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$