专题05 相似三角形模型（A字模型、8字模型、一线三等角相似模型、母子模型、手拉手旋转模型）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（山东专用）

专题05 相似三角形模型 （A字模型、8字模型、一线三等角相似模型、 母子模型、手拉手旋转模型） 目录 模型解读 1 模型一：“A”字模型 3 模型二：“8”字模型 3 拓展：“A8”模型 4 模型三：一线三等角相似模型 5 模型四.“母子”模型(共边角模型) 5 模型五：“手拉手”旋转模型 6 真题导航 7 模型一：“A”字模型 7 模型二：“8”字模型 18 模型三：一线三等角相似模型 28 模型四.“母子”模型(共边角模型) 31 模型五：“手拉手”旋转模型 39 模考精练 45 1. “A 字” 模型 模型构成：一个大三角形中包含一个小三角形，整体形状如同字母 “A”。通常由一组平行线分割大三角形形成，小三角形的一边与大三角形的一边平行 。 核心原理：根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等。当小三角形的一边与大三角形的一边平行时，会产生相等的同位角，从而使得这两个三角形的三个角分别相等。依据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ），可判定这两个三角形相似，相似三角形对应边成比例 。 应用场景：在求解线段长度比例问题中应用广泛，例如已知大三角形的边长和小三角形与大三角形的位置关系（平行关系 ），求小三角形的边长；或者证明线段成比例关系，通过 “A 字” 模型找到相似三角形，进而利用相似三角形对应边成比例的性质来证明。 2. “8 字” 模型 模型构成：由两个三角形通过一组对顶角组合而成，其形状类似数字 “8” 。这两个三角形的一组对顶角相等，另外两组角分别是由相交线所形成的内错角等关系。 核心原理：利用三角形内角和为 以及对顶角相等的性质。因为对顶角相等，且两个三角形内角和都为 ，所以可以得出两个三角形中不相邻角的和相等，即除对顶角外的另外两组角之和相等，从而可推出这两个三角形的三个角分别相等，满足相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似 ）。 应用场景：在复杂的几何图形中，当出现对顶角相关的两个三角形时，可用于推导角之间的等量关系，辅助证明角相等或者计算角度大小。也可在一些线段比例问题中，通过证明三角形相似，利用相似性质求解线段长度比例。 3. “一线三等角” 相似模型 模型构成：在一条直线上有三个相等的角，一般是在一条直线上的三个顶点处分别存在一个相等的角。常见于三角形或四边形等图形中，比如在一条直线上的三个点分别在三角形的三条边上，且这三个点处的角相等 。 核心原理：根据三角形内角和定理以及等角的性质。当一条直线上有三个相等的角时，通过三角形内角和为，可以推出其他角之间的关系，进而证明相关三角形的角分别相等，满足相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似 ）。 应用场景：常用于证明三角形相似，进而求解线段长度、线段比例等问题。在一些几何综合题中，通过识别 “一线三等角” 模型，构建相似三角形，是解决问题的关键步骤，例如在矩形、梯形等图形中利用该模型解决与线段和角相关的问题。 4. “母子” 模型 模型构成：一个直角三角形被斜边上的高分割成两个小直角三角形，这两个小直角三角形与原直角三角形相似，整体构成类似母子关系。即大直角三角形为 “母”，分割出的两个小直角三角形为 “子” 。 核心原理：依据直角三角形的性质以及相似三角形的判定定理。因为直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成的两个小直角三角形，与原直角三角形都有一个直角相等，并且还有一个公共角（原直角三角形的一个锐角 ），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得出这三个三角形两两相似。 应用场景：在涉及直角三角形的问题中，如求直角三角形的边长、面积，或者证明线段的比例关系等。利用 “母子” 模型中相似三角形的对应边成比例性质，可以建立起不同线段之间的数量关系，从而解决问题。例如在求斜边上的高、直角边在斜边上的射影等问题时，“母子” 模型非常实用。 5. 手拉手相似模型 模型构成：两个顶角相等且共顶点的等腰三角形（如和为公共顶点)，经旋转形成特定结构，腰长未必相等。 核心原理：利用等腰三角形性质，由推得, 且, 依两边成比例且夹角相等”判定. 应用场景：证角相等（如; 求线段长度及比例（根据相似对应边成比例计算）；解决复杂几何图形中角度、线段相关问题。 模型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 模型二：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4. 拓展：“A8”模型 图1 图2 图3 （1）一“A”一“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ （2）两“A”一“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：. （3）四“A”一“8”模型 条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG 模型三：一线三等角相似模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． （1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED. （2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. （3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型四.“母子”模型(共边角模型) “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 模型五：“手拉手”旋转模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 （1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. （2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. （3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 模型一：“A”字模型 【典例】1．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 【典例】2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【答案】 【分析】设交与点E，过点作轴于点H．利用矩形的性质、折叠的性质和勾股定理等可求出，，，，，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，证明，利用相似三角形的性质可求出，，则可出求的坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设交与点E，过点作轴于点H． 四边形是矩形，，， ，，， 点是的中点， ． 在中， ，， ， 矩形沿直线折叠， ，，， ，， ，即， 解得， ， ， ， ， ． ， ． 又， ， ，即， 解得，， ， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，反比例函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 【典例】3．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    【答案】14 【分析】由平行四边形的性质推出，，得到，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，四边形是平行四边形，    ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形平行四边形， ∴平行四边形纸片的周长是， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【典例】4．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【典例】5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 【典例】6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 【典例】7．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 模型二：“8”字模型 【典例】1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    【答案】 【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明，进而证明，则，然后代值计算求出，则． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，证明是解题的关键． 【典例】2．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 【典例】3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 【典例】4．（2022·山东德州·中考真题）教材呈现 以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 概念理解 (1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______； (2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可） 应用拓展 (3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)垂直平分线段； (2)四边形（答案不唯一） (3)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论； （2）根据“筝形”的定义判断即可； （3）①利用同角的余角相等证明即可； ②利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴垂直平分线段． 故答案为：垂直平分线段； （2）解：由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“筝形”， 故答案为：四边形（答案不唯一）； （3）①证明：如图1中， 由翻折变换的性质可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图2中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【典例】5．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，与相似，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出； （3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示： 四边形为矩形， ， ， ， ， 又平分， ， ， 又与互余， 与互余， ； （2）解：，与相似． 理由如下： ，， ， 又，   ， ，， ； （3）解：， ， ， ， 在矩形中对角线相互平分，图中， ①， ， ， ， 在矩形中， ②， 由①②，得（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 模型三：一线三等角相似模型 【典例】1．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【典例】2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 模型四.“母子”模型(共边角模型) 【典例】1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 【典例】2．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 【典例】3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【典例】4．（2020·甘肃酒泉·二模）如图，已知是的直径，切于点，交于点，为的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，，，然后利用等量代换即可得出，从而证明结论； （2）首先根据勾股定理求出BC的长度，然后证明，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵切于点， ∴． ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：在中， ∵，， ∴ ∵，． ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 模型五：“手拉手”旋转模型 【典例】1．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【典例】2．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 【典例】3．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 【答案】证明见解析；垂直； 【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 迁移应用：， 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 拓展延伸：， 证明：在中，， 在中，， ， 由上一问题可知，， ， ， ． 【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质． 一、单选题 1．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 4．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． 【详解】，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是函数图象上一点，的延长线交函数（，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点，点C关于x轴的对称点为，连结交x轴于点B，连结，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于 ． 【答案】或17 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．过A作轴于D，连接，由题意设A，C；可证，推出；根据，得到；结合，解得：；由题意推出在同一条直线上，得，根据由线段所围成的图形的面积即可求解； 【详解】解：过A作轴于D，连接， 由题意设A，C； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即； 解得：或． 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴在同一条直线上， ∴或8， ∵ ∴由线段所围成的图形的面积或17． 故答案为：或17． 6．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 【答案】2 【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案． 【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴在等腰直角三角形中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 7．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点若，则 ．    【答案】 【分析】本题是一道综合性较强的一道几何题，结合矩形和平行四边形的判定和性质，再加构造全等三角形，一线三直角模型，题目中给出的是一个非常关键的数据，先是构造矩形，过点A作的平行线，在过点作的垂线，构造等腰直角三角形，再利用全等，可以求出长度，最后利用，求出长． 【详解】解：过点，分别作，的平行线交于点，则四边形为矩形，    过点作交于点，过点作交的延长线于点， 过点作的平行线分别交，的延长线于点，， 则四边形为矩形， ∵，； ∴， 为等腰直角三角形， ， ； ； ； ∴； ∴，； 为的中点，； ∴； ∵四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∴； ∴； ∵； ； ； 即； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查构造平行四边形，矩形，构造一线三直角模型证全等，相似三角形的判定好性质，遇到角，优先想到构造等腰直角三角形证全等，这样可以转化线段长度，掌握矩形性质和全等条件的高度融合，在平行线中利用相似求线段长度是解题的关键． 三、解答题 8．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 9．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 11．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 12．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 13．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由题意：，证明即可解决问题． （2）延长交于点．证明，可得，，由，可得． （3）因为与相似，，所以中必有一个内角为因为是锐角，推出．接下来分两种情形分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中， ， ，， 平分， ，同理， ，， ， ． （2）解：延长交于点． ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． （3）与相似，， 中必有一个内角为 是锐角， ． ①当时， ， ， ， ，此时． ②当时，， ， 与相似， ，此时． 综上所述，，．，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 14．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 15．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 16．在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．    (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用边角条件证明，得到与的关系，再利用直角三角形三边勾股定理得到； （2）通过和点M为的中点得到，再通过计算角度和边长关系得到，得到，然后计算角度得到，得到，最后转换边长得到； （3）利用四点共圆找到最大位置，求出点P位置，构造相似找出Q、R的位置及关系，找到的线段，利用动点Q得到的最值位置，最后利用特殊角构造直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 又∵， ， ，， 又， ， ， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接，   ，， ， 设， ， ，， 又，， ，， 又，， ， ，， ∵， ， ， ， ，， ， ， ，， ； （3）解：由沿翻折至， 可知，， ∴A、P、C、B四点共圆，圆心为外心，   最大时为直径， 又，，， 得为等边三角形， ，，， 在上取，作，连接，使，   ，得， 在、射线上取，连接， 由得， ，， ，， 即点为条件中的点， ， ， 又， ， ， ， ， 当H、Q、P三点共线时，的最小值为， ，，， 作交延长线于点，   ，，， 中，， 最小时平方的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，涉及内容较多，难度非常大，且题中的三个小问没有任何关联，在解题时按照常规思路寻找全等和角度关系能够解决大部分问题，构造相似时须找准特殊位置进行构造，对全等和相似的灵活综合应用是解题的关键． 17．1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键． 18．在等边中，为边上一点，于． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边三角形性质，可得，在中，求出，，进而在中求出． （2）延长至H，使，连接，，易得，再证明，可得是等边三角形，从而可得，即可得出结论； （3）延长到，使，连接、，，由旋转相似模型可以证明，从而可得，即点M直线上运动，根据将军饮马模型可得当、M、C三点共线，点N与C点重合时，此时最小，最小值为，根据最小值的图形解三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴， 在中，， 则； （2）证明：延长至H，使，连接，，如图， ∵点G为的中点， ∴．， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ，， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴，， ∴； （3）如图3-1，延长到，使，连接、，， ∴， 又∵在等边中，， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ ∴， ∴， ∴点M直线上运动， 作点B关于MG的对称点，连接、、、， 由对称性质可知：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴当、M、C三点共线，点N与C点重合时， 如图3-2，此时最小，最小值为， 设边长为，作，垂足为K，作，垂足为H， ∴， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了解三角形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形性质和判定等，解题（2）关键倍长中线构造全等三角形证明是等边三角形，解题（3）关键利用旋转相似模型构造，证明，即点M直线上运动，由将军饮马模型得出最小值时M、N的位置上． 19．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 20．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，当时，，当时，， (3) 【分析】（1）根据角平分线+平行模型证明，由勾股定理求出，即可得点； （2）由点，点求出，根据运动速度即可得出的表达式； （3）设点P横坐标为，则点P，得，，，根据相似和角平分线+平行模型得，在中，由求出，继而得出各点坐标值，求出直线、解析式，进而求出交点坐标. 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴点, ∴点, （2）∵，点， ∴， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， （3）解：延长、交于点，    ∵点、，设的解析式为 ∴ ∴直线的解析式为， 设点P横坐标为，则点P， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴, ∴ ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故，点， 故，点， 同理：直线的解析式为， ∵，点， 同理：直线的解析式为， 联立直线、解析式得： ， 解得：， ∴点坐标为 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线，转换线段比是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形模型 （A字模型、8字模型、一线三等角相似模型、 母子模型、手拉手旋转模型） 目录 模型解读 1 模型一：“A”字模型 3 模型二：“8”字模型 3 拓展：“A8”模型 4 模型三：一线三等角相似模型 5 模型四.“母子”模型(共边角模型) 5 模型五：“手拉手”旋转模型 6 真题导航 7 模型一：“A”字模型 7 模型二：“8”字模型 9 模型三：一线三等角相似模型 12 模型四.“母子”模型(共边角模型) 12 模型五：“手拉手”旋转模型 15 模考精练 16 1. “A 字” 模型 模型构成：一个大三角形中包含一个小三角形，整体形状如同字母 “A”。通常由一组平行线分割大三角形形成，小三角形的一边与大三角形的一边平行 。 核心原理：根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等。当小三角形的一边与大三角形的一边平行时，会产生相等的同位角，从而使得这两个三角形的三个角分别相等。依据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ），可判定这两个三角形相似，相似三角形对应边成比例 。 应用场景：在求解线段长度比例问题中应用广泛，例如已知大三角形的边长和小三角形与大三角形的位置关系（平行关系 ），求小三角形的边长；或者证明线段成比例关系，通过 “A 字” 模型找到相似三角形，进而利用相似三角形对应边成比例的性质来证明。 2. “8 字” 模型 模型构成：由两个三角形通过一组对顶角组合而成，其形状类似数字 “8” 。这两个三角形的一组对顶角相等，另外两组角分别是由相交线所形成的内错角等关系。 核心原理：利用三角形内角和为 以及对顶角相等的性质。因为对顶角相等，且两个三角形内角和都为 ，所以可以得出两个三角形中不相邻角的和相等，即除对顶角外的另外两组角之和相等，从而可推出这两个三角形的三个角分别相等，满足相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似 ）。 应用场景：在复杂的几何图形中，当出现对顶角相关的两个三角形时，可用于推导角之间的等量关系，辅助证明角相等或者计算角度大小。也可在一些线段比例问题中，通过证明三角形相似，利用相似性质求解线段长度比例。 3. “一线三等角” 相似模型 模型构成：在一条直线上有三个相等的角，一般是在一条直线上的三个顶点处分别存在一个相等的角。常见于三角形或四边形等图形中，比如在一条直线上的三个点分别在三角形的三条边上，且这三个点处的角相等 。 核心原理：根据三角形内角和定理以及等角的性质。当一条直线上有三个相等的角时，通过三角形内角和为，可以推出其他角之间的关系，进而证明相关三角形的角分别相等，满足相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似 ）。 应用场景：常用于证明三角形相似，进而求解线段长度、线段比例等问题。在一些几何综合题中，通过识别 “一线三等角” 模型，构建相似三角形，是解决问题的关键步骤，例如在矩形、梯形等图形中利用该模型解决与线段和角相关的问题。 4. “母子” 模型 模型构成：一个直角三角形被斜边上的高分割成两个小直角三角形，这两个小直角三角形与原直角三角形相似，整体构成类似母子关系。即大直角三角形为 “母”，分割出的两个小直角三角形为 “子” 。 核心原理：依据直角三角形的性质以及相似三角形的判定定理。因为直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成的两个小直角三角形，与原直角三角形都有一个直角相等，并且还有一个公共角（原直角三角形的一个锐角 ），根据两角分别相等的两个三角形相似，可得出这三个三角形两两相似。 应用场景：在涉及直角三角形的问题中，如求直角三角形的边长、面积，或者证明线段的比例关系等。利用 “母子” 模型中相似三角形的对应边成比例性质，可以建立起不同线段之间的数量关系，从而解决问题。例如在求斜边上的高、直角边在斜边上的射影等问题时，“母子” 模型非常实用。 5. 手拉手相似模型 模型构成：两个顶角相等且共顶点的等腰三角形（如和为公共顶点)，经旋转形成特定结构，腰长未必相等。 核心原理：利用等腰三角形性质，由推得, 且, 依两边成比例且夹角相等”判定. 应用场景：证角相等（如; 求线段长度及比例（根据相似对应边成比例计算）；解决复杂几何图形中角度、线段相关问题。 模型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 模型二：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4. 拓展：“A8”模型 图1 图2 图3 （1）一“A”一“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ （2）两“A”一“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：. （3）四“A”一“8”模型 条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG 模型三：一线三等角相似模型 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． （1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED. （2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. （3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型四.“母子”模型(共边角模型) “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 （1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型） 条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形） 条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 4）共边模型 条件:如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 模型五：“手拉手”旋转模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 （1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. （2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，（即△COD∽△AOB）； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. （3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE. 模型一：“A”字模型 【典例】1．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【典例】2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，点分别为边上的点，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点在边的中点处，点C的对应点在反比例函数的图象上，则 【典例】3．（2023·山东临沂·中考真题）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 ．    【典例】4．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【典例】5．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【典例】6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（    ） A．5 B．1 C．3 D．2 【典例】7．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模型二：“8”字模型 【典例】1．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．    【典例】2．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【典例】3．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【典例】4．（2022·山东德州·中考真题）教材呈现 以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 概念理解 (1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______； (2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可） 应用拓展 (3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接． ①求证：； ②求证：． 【典例】5．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)找出图中与相似的三角形，并说明理由; (3)若，，求的长度． 模型三：一线三等角相似模型 【典例】1．（2023·山东东营·中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【典例】2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 模型四.“母子”模型(共边角模型) 【典例】1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【典例】3．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【典例】4．（2020·甘肃酒泉·二模）如图，已知是的直径，切于点，交于点，为的中点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 模型五：“手拉手”旋转模型 【典例】1．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【典例】2．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【典例】3．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】 甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得． 请你证明：． 【迁移应用】 延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系． 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系． 一、单选题 1．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 5．如图，已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是函数图象上一点，的延长线交函数（，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点，点C关于x轴的对称点为，连结交x轴于点B，连结，，，若的面积等于6，则由线段，，，所围成的图形的面积等于 ． 6．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 7．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点若，则 ．    三、解答题 8．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 9．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 10．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 11．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 12．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 13．如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，如果，且，求的值； (3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值． 14．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 15．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 16．在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．    (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． 17．1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 18．在等边中，为边上一点，于． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：； (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接、，当取得最小值时，直接写出的值． 19．如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 20．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的顶点在轴上，、在轴上，，，的角平分线交边于点．        (1)求点坐标； (2)如图2，一动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，设的长为，试用含的代数式表示，不需要写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，连接交于点，连接并延长交于点，若平分，，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$