易错07 三角形中的几何综合（九大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（上海专用）

易错07 三角形中的几何综合 易错陷阱一:解直角三角形求解错误 一、解直角三角形的基本概念与工具 (一)三角函数定义 在直角三角形中，设为锐角，则为的对边，为斜边)，,。 (二)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即. (三)直角三角形内角关系： 二、常见错误情形及原因 (一)三角函数概念理解错误 1.函数值对应错误：对三角函数定义记忆模糊，将正弦、余弦、正切对应的边记错。比如在计算时，误将邻边比斜边当作其值。 2.特殊角三角函数值记错：对等特殊角的三角函数值记忆有误。例如，将记成（实际为)。 (二)勾股定理运用错误 1.边的平方计算错误：在使用勾股定理计算边长时，平方运算出现错误。比如计算得到6（实际为9)。 2.边的对应关系错误：不能正确区分直角边和斜边，导致在代入勾股定理公式时，将边的位置代错。例如，在已知两直角边求斜边时，错误地将斜边代入直角边位置计算。 (三)综合求解错误 1.条件运用不全：在已知部分边和角求解其他元素时，遗漏直角三角形内角和为(两锐角和为这一条件，不能完整求解三角形。 2.多解情况遗漏：当题目条件未明确直角三角形的形状或边的位置关系时，没有考虑到多解情况。比如已知两边求第三边，未判断这两边是直角边还是一边为斜边，遗漏可能的解。 易错提醒 （1）牢记三角函数的定义和特殊角的三角函数值，准确对应边与函数关系。 （2）进行勾股定理计算时，仔细检查平方运算，明确边的对应关系。 （3）综合运用直角三角形的各种条件求解，注意挖掘隐含条件，考虑多解情况。 例1．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 易错警示： 1.等腰三角形性质及角关系推理错误：在利用推导角的关系，以及结合和三角形外角性质推导时出错，对等腰三角形性质和角之间的等量代换理解有误。 2.垂线段相关计算错误：过作垂线后，计算长度出错，或者在中利用勾股定理求出错，进而导致求时出现计算错误。 变式1-1．（2024·上海浦东新·二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，连接，求的值． 变式1-2．（2024·上海徐汇·三模）已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求：(1)的长；(2)的长． 易错陷阱二:解直角三角形及其应用的计算错误 一、基本概念与工具 解直角三角形主要运用三角函数（正弦余弦, 正切定义、勾股定理为直角边，为斜边)以及直角三角形两锐角互余等知识。在实际应用中，常将实际问题转化为解直角三角形问题。 二、常见错误情形及原因 1.三角函数值计算错误：对特殊角的三角函数值记忆混淆，如将记成(实际为或者在计算非特殊角三角函数值时，使用计算器出错。 2.勾股定理运算错误：计算直角边或斜边长度时，平方和开方运算失误，比如计算得到7（实际为5 );或者对勾股定理中边的对应关系理解错误，代错数值。 3.实际问题转化错误：在将实际问题（如测量高度、距离等）转化为解直角三角形模型时，不能正确找出直角三角形的边和角，导致列式错误。 易错提醒 (1)牢记特殊角三角函数值，使用计算器计算时仔细核对。 (2)运用勾股定理时认真检查运算过程，明确边的对应关系。 (3)解决实际问题时，准确分析题意，建立正确的直角三角形模型。 例2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 易错警示： 1.勾股定理逆定理判断错误：计算与并判断是否满足时出错，导致不能正确判断是否为直角三角形。 2三角形面积公式应用错误：根据计算时，代入数值错误，或者计算出现运算失误。 变式2-1．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 变式2-2．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 易错陷阱三:全等三角形的判定错误 一、基本概念 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其对应边相等，对应角相等。判定定理有 “SSS（边边边 ）”、“SAS（边角边 ）”、“ASA（角边角 ）”、“AAS（角角边 ）”、“HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形 ）” 。 二、常见错误情形及原因 条件罗列错误：在罗列判定全等的条件时，顺序混乱，不满足判定定理的规范格式。例如，写 “SAS” 时，将边与角的顺序写错。 条件缺失或误判：遗漏必要条件，如只找到两组边相等，就判定用 “SSS” 定理；或者误判条件，把 “SSA” 当作可以判定全等的依据（实际上 “SSA” 不能判定一般三角形全等 ）。 对应关系错误：不能正确找出两个三角形的对应边和对应角，导致用错判定定理，比如把非对应边相等当作判定依据。 易错提醒 （1）严格按照判定定理的格式和要求罗列条件。 （2）仔细检查条件是否完整且符合判定定理，避免使用错误的判定方法。 （3）通过图形特征和已知信息，准确确定对应边和对应角。 例3．（2024·上海宝山·一模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 易错警示： 1.全等三角形判定条件运用错误：在证明时，对全等三角形判定定理的条件理解有误，如找错对应角或对应边，导致不能正确证明全等。 2相似三角形比例关系计算错误：由得到后，代入,计算时出错，如计算的值错误或后续解方程错误。 变式3-1．如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． (1)求证：． (2)若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 变式3-2（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 易错陷阱四:三角形中的相似证明及应用错误 一、基本概念 相似三角形是对应角相等，对应边成比例的三角形。判定方法有 “两角分别相等的两个三角形相似”、“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”、“三边成比例的两个三角形相似” 。相似三角形的性质包括对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等。 二、常见错误情形及原因 相似判定错误：在证明三角形相似时，找错相等的角，或者边的比例关系计算错误。例如，误认为两个三角形有两个角相等就相似，但实际相等的角并非对应角；计算边的比例时，数值算错。 性质应用错误：利用相似三角形性质计算边长、周长、面积等时，比例关系用错。比如计算面积比时，误将相似比当作面积比，而不是相似比的平方；或者在计算边长时，对应边比例关系写错。 图形识别错误：对于复杂图形中隐藏的相似三角形，不能准确识别，导致无法利用相似关系解题。 易错提醒 （1）证明相似时，仔细核对角是否对应相等，边的比例是否正确。 （2）应用性质时，牢记各种性质对应的比例关系，认真检查计算过程。 （3）多观察图形，通过角的关系和边的比例尝试找出相似三角形。 例4-1．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 易错警示： (1)问易错分析 平行线性质运用错误：由推导时出错，对平行线性质中内错角相等的概念理解有误。 全等三角形判定条件罗列错误：在证明时，罗列条件不符合判定定理格式，或者找错对应角和对应边。 (2)问易错分析 全等三角形性质应用错误：由推导后， 在通过得到时出错，角度转换逻辑混乱。 相似三角形判定与性质运用错误：在证明时，对相似三角形判定条件理解有误，不能正确判定相似；在根据相似三角形性质得到后，结合(1)中结论进行变形推导时出错，比例变形逻辑错误。 例4-2．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 易错警示： (1)问易错分析 等腰三角形性质运用错误：由推导时出错，对等腰三角形等边对等角性质理解不深。 全等三角形判定条件错误：在证明时，条件罗列不符合判定定理要求，或对应边、对应角找错。 (2)问易错分析 相似三角形判定与性质应用错误：由和推导时，对相似三角形判定条件（两边对应成比例且夹角相等）理解有误；在后续利用相似三角形性质推导角相等以及再次证明时，逻辑混乱，比例关系运用错误。 变式4-1．（2024·上海·模拟预测）在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则 ． 变式4-2．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 变式4-3．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式4-4．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 变式4-5．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 变式4-6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 易错陷阱五:角平分线的证明及其应用错误 一、基本概念 角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。角平分线的性质定理为：角平分线上的点到角两边的距离相等；其逆定理为：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 二、常见错误情形及原因 性质定理误用：在应用角平分线性质定理时，没有明确点在角平分线上，就直接使用 “点到角两边距离相等” 这一结论；或者对 “距离” 概念理解错误，误将斜线段长度当作距离。 逆定理应用错误：使用逆定理证明角平分线时，条件不充分，比如只知道一点到角两边距离相等，但没有说明是垂线段距离，就得出该点在角平分线上的结论。 证明过程逻辑错误：在证明角平分线相关问题时，逻辑混乱，推理步骤不连贯，不能正确运用已知条件和定理进行推导。 易错提醒 （1）应用角平分线性质定理和逆定理时，严格满足定理条件，明确 “距离” 是垂线段长度。 （2）证明角平分线问题时，梳理好逻辑关系，按步骤规范推导。 例5．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．    易错警示： 1.旋转及角平分线性质运用错误：根据旋转性质得到和后，利用角平分线定义推导时出错，对相关性质理解不准确。 2.三角形内角和定理计算错误：在中，根据 列方程, 解方程时出现计算失误，如合并同类项或求解的值错误。 变式5-1．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 变式5-2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E (1)尺规规范作图，写出已知 (2)求证：平分 (3)求证： 变式5-3．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 易错陷阱六:三角形中的垂线及垂直平分线问题应用错误 一、基本概念 三角形的垂线是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；其逆定理为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 二、常见错误情形及原因 垂线性质应用错误：在利用三角形垂线的性质解题时，对高与边的关系理解有误，比如在计算三角形面积时，高的长度找错或与边的对应关系错误。 垂直平分线性质误用：应用垂直平分线性质时，没有确定点在线段垂直平分线上，就使用 “点到线段两端点距离相等” 的结论；或者在使用逆定理时，条件不完整，比如只知道一点到线段两端点距离相等，但没有说明该点与线段的位置关系等。 图形结合错误：在复杂图形中，不能准确识别垂线和垂直平分线，或者混淆两者性质，导致解题错误。 易错提醒 （1）明确垂线和垂直平分线的性质及区别，应用时严格对照条件。 （2）仔细观察图形，准确判断垂线和垂直平分线，避免混淆。 例6．（2024·上海·模拟预测）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 易错警示： 1.菱形及等边三角形性质运用错误：由菱形性质推导是等边三角形时出错，对菱形内角与边的关系理解不足；利用等边三角形性质求长度或角度（如时出现错误。 2.勾股定理计算错误：在中，运用勾股定理计算长度时出错，如平方运算或开方运算失误。 3.三角形形状判定及周长计算错误：证明是等边三角形时逻辑不清晰，条件不充分；计算其周长时， 边长取值或乘法运算出现错误。 变式6-1．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是等边边上点，，作的垂线交、分别于点E、F，那么 ． 变式6-2．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 易错陷阱七:重心问题应用错误 一、基本概念 三角形的重心是三角形三条中线的交点。重心的性质有：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是 二、常见错误情形及原因 1.概念理解错误：对重心是中线交点这一概念理解不深，在图形中不能准确找出重心位置，或者混淆重心与垂心、内心等其他心的概念。 2.性质应用错误：运用重心性质重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是时，比例关系颠倒，或者在计算线段长度时，没有正确使用该比例关系。 3.综合应用错误：在结合其他三角形知识（如相似、全等）与重心性质解题时，逻辑混乱，不能正确整合条件进行求解。 易错提醒 (1)牢记重心的定义和性质，通过图形练习准确找出重心。 (2)应用性质时，明确比例关系，认真计算线段长度。 (3)综合解题时，梳理好各种知识之间的关系，逐步推导。 例7．（2024·上海徐汇·三模）在中，，点是重心，如果，，那么 ． 易错警示： 1.重心性质运用错误：根据重心性质计算和时出错，对重心到顶点与到对边中点距离关系理解有误。 2.勾股定理计算错误：在利用勾股定理列方程并化简求解时，出现平方运算、方程相加化简等计算失误。 3.直角三角形中线与重心性质综合应用错误：利用直角三角形斜边中线性质和重心性质(计 算时，概念混淆或计算错误。 变式7-1．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（2024·上海奉贤·二模）如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 ． 易错陷阱八:旋转问题综合应用错误 一、基本概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 二、常见错误情形及原因 旋转要素确定错误：不能准确找出旋转中心、旋转方向和旋转角，导致对旋转后的图形位置和形状判断错误。例如，找错旋转中心，或者将顺时针和逆时针方向混淆。 性质应用错误：应用旋转性质时，对应点距离、夹角关系用错。比如在计算线段长度或角度大小时，没有利用 “对应点到旋转中心的距离相等” 或 “对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角” 这些性质。 综合几何问题处理错误：在与三角形、四边形等几何图形结合的旋转问题中，不能将旋转性质与其他图形性质有效结合，导致解题思路混乱，无法正确求解。 易错提醒 （1）仔细观察图形，准确确定旋转的三要素。 （2）牢记旋转性质，在计算和推理时正确运用对应关系。 （3）遇到综合问题时，分别梳理旋转性质和其他图形性质，寻找解题突破口。 例8-1．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，如果点A、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 易错警示： 1.旋转性质运用错误：对旋转前后图形全等及对应角、对应边相等的性质理解有误，导致在推导角度关系时出错，比如不能正确得出。 2等边三角形判定与性质应用错误：根据已知条件判定为等边三角形时，条件分析不充分；在运用等边三角形性质（如计算其他角度时，出现逻辑错误或计算失误。 3.角度关系推理错误：在分析各个选项的角度关系时，逻辑混乱，不能正确利用已有的角度结论进行推导，比如在判断与关系时，出现推理矛盾。 例8-2．（2024·上海闵行·二模）在中，，D为边上一动点，将绕点D旋转，使点A落在边上的点E处，过点E作交边于点F，连接，当是等腰三角形时，线段的长为 ． 易错警示： 1.直角三角形基本计算错误：根据计 算和长度时出错，如在利用求或用勾股定理求时出现运算失误。 2.等腰三角形情况分析错误：对为等腰三角形的情况分析不全面，没有正确判断出只有这一种符合条件的情况，或者错误认为其他边相等也成立。 3.方程建立与求解错误：根据线段关系建立方程时，线段长度关系梳理错误；解方程时出现计算错误，如展开平方项、合并同类项或求解的值出错。 变式8-1．（2024·上海长宁·二模）在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在的延长线上，且，那么的余弦值为 ． 变式8-2．（2024·上海·模拟预测）已知在中，，将绕点A旋转，使点B落在原的点C处，此时点C落在点D处，延长线段交原的边的延长线于E，则 ． 变式8-3．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 变式8-4．（2024·上海·模拟预测）已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 易错陷阱九:翻折问题应用错误 一、基本概念 翻折是将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。翻折的性质有：翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点的连线被对称轴垂直平分。 二、常见错误情形及原因 对称轴确定错误：在图形中不能准确找出对称轴，导致对翻折后图形的位置和形状判断失误。比如对于不规则图形的翻折，找错对称轴位置。 性质应用错误：应用翻折性质时，对应边和对应角的关系用错。例如，在计算线段长度或角度时，没有利用 “翻折前后对应边相等、对应角相等” 的性质；或者在处理对应点连线与对称轴关系时出错。 方程思想应用错误：在利用翻折性质结合方程求解问题（如求边长 ）时，设未知数不合理，或者根据性质列方程时出现错误，导致无法正确求解。 易错提醒 （1）认真分析图形特征，准确确定对称轴。 （2）熟练运用翻折性质，在解题中准确对应边和角的关系。 （3）使用方程思想时，合理设未知数，根据性质正确列方程并求解。 例9．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，，，．是边的中点，是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，如果与与的一边平行，那么 ． 易错警示： 1.情况分类遗漏或错误：没有全面考虑与三边平行的所有情况，比如遗漏某种可能；或者错误判断某些情况不符合题意，如对时的分析出错。 2.图形性质运用错误：在时，利用翻折性质判断四边形为正方形出错，对正方形判定条件理解不透彻；在时，运用三角形中位线定理及勾股定理计算等线段长度出错。 3. 方程建立与求解错误：在设建立方程时，线段关系梳理错误；解方程过程中出现计算失误，如展开平方项、移项合并同类项或求解的值错误。 变式9-1．（2024·上海金山·二模）如图，在中，，D是的中点，把沿所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么 ． 变式9-2．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 变式9-3．（2024·上海长宁·三模）如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为 ． 变式9-4．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 变式9-5．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 一、填空题 1．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 2．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 3．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 4．（2025·上海闵行·一模）如图，点、分别是线段和的中点，、交于点，且，，，那么长是 ． 5．（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 6．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 7．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 8．（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 9．（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 二、解答题 10．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 11．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 12．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 13．（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 14．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 15．（2025·上海宝山·一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 16．（2025·上海·二模）如图，在等边三角形中，点D在上，点E在边上，和的两条平分线交于点F，F在下方，上方，且． (1)如图1，求证：三角形是等边三角形． (2)如图2，在上找一点G，使．连接，连接交于点H，求证：四边形是平行四边形． 17．（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 18．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 19．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 20．（2025·上海浦东新·模拟预测）在中，，，点是射线上一点（点不与点、重合），连接，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，直线交直线于点．． (1)如图1，当点在边上时，，求：此时半径的长 (2)当点在边上时，如图，设，，求：与之间的函数解析式，并写出其定义域； (3)连接，若是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错07 三角形中的几何综合 易错陷阱一:解直角三角形求解错误 一、解直角三角形的基本概念与工具 (一)三角函数定义 在直角三角形中，设为锐角，则为的对边，为斜边)，,。 (二)勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即. (三)直角三角形内角关系 二、常见错误情形及原因 (一)三角函数概念理解错误 1.函数值对应错误：对三角函数定义记忆模糊，将正弦、余弦、正切对应的边记错。比如在计算时，误将邻边比斜边当作其值。 2.特殊角三角函数值记错：对等特殊角的三角函数值记忆有误。例如，将记成（实际为)。 (二)勾股定理运用错误 1.边的平方计算错误：在使用勾股定理计算边长时，平方运算出现错误。比如计算得到6（实际为9)。 2.边的对应关系错误：不能正确区分直角边和斜边，导致在代入勾股定理公式时，将边的位置代错。例如，在已知两直角边求斜边时，错误地将斜边代入直角边位置计算。 (三)综合求解错误 1.条件运用不全：在已知部分边和角求解其他元素时，遗漏直角三角形内角和为(两锐角和为这一条件，不能完整求解三角形。 2.多解情况遗漏：当题目条件未明确直角三角形的形状或边的位置关系时，没有考虑到多解情况。比如已知两边求第三边，未判断这两边是直角边还是一边为斜边，遗漏可能的解。 易错提醒 （1）牢记三角函数的定义和特殊角的三角函数值，准确对应边与函数关系。 （2）进行勾股定理计算时，仔细检查平方运算，明确边的对应关系。 （3）综合运用直角三角形的各种条件求解，注意挖掘隐含条件，考虑多解情况。 例1．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，点在边上，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）利用三角形外角的性质，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：， ，又， ．又，，． ，，． （2）过点作的垂线，垂足为，     ， ， ． 在中，， ． 易错警示： 1.等腰三角形性质及角关系推理错误：在利用推导角的关系，以及结合和三角形外角性质推导时出错，对等腰三角形性质和角之间的等量代换理解有误。 2.垂线段相关计算错误：过作垂线后，计算长度出错，或者在中利用勾股定理求出错，进而导致求时出现计算错误。 变式1-1．（2024·上海浦东新·二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键； （1）由可设，则，则，，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，过作于，由（1）得：，，，利用等面积法求解，可得，可得，再结合余切的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是边上的高， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴； （2）如图，过作于， ∵由（1）得：，，， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 变式1-2．（2024·上海徐汇·三模）已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于E，交于F．则，由勾股定理得，．由，，可得，，则，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由题意知，，证明，则，由，可求． 【详解】（1）解：过点A作于E，交于F． ∵，， ∴， 由勾股定理得，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：由题意知，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 易错陷阱二:解直角三角形及其应用的计算错误 一、基本概念与工具 解直角三角形主要运用三角函数（正弦余弦, 正切定义、勾股定理为直角边，为斜边)以及直角三角形两锐角互余等知识。在实际应用中，常将实际问题转化为解直角三角形问题。 二、常见错误情形及原因 1.三角函数值计算错误：对特殊角的三角函数值记忆混淆，如将记成(实际为或者在计算非特殊角三角函数值时，使用计算器出错。 2.勾股定理运算错误：计算直角边或斜边长度时，平方和开方运算失误，比如计算得到7（实际为5 );或者对勾股定理中边的对应关系理解错误，代错数值。 3.实际问题转化错误：在将实际问题（如测量高度、距离等）转化为解直角三角形模型时，不能正确找出直角三角形的边和角，导致列式错误。 易错提醒 (1)牢记特殊角三角函数值，使用计算器计算时仔细核对。 (2)运用勾股定理时认真检查运算过程，明确边的对应关系。 (3)解决实际问题时，准确分析题意，建立正确的直角三角形模型。 例2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 易错警示： 1.勾股定理逆定理判断错误：计算与并判断是否满足时出错，导致不能正确判断是否为直角三角形。 2三角形面积公式应用错误：根据计算时，代入数值错误，或者计算出现运算失误。 变式2-1．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 变式2-2．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）连接, 过点作于.首先证明利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得； （2）设 利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出即可. 【详解】（1）连接, 过点作于. 由题意， , ， ， ， ， ， ， ，即 ， ； （2） 设 ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中, 则有， 解得 ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 易错陷阱三:全等三角形的判定错误 一、基本概念 全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其对应边相等，对应角相等。判定定理有 “SSS（边边边 ）”、“SAS（边角边 ）”、“ASA（角边角 ）”、“AAS（角角边 ）”、“HL（直角、斜边、直角边，适用于直角三角形 ）” 。 二、常见错误情形及原因 条件罗列错误：在罗列判定全等的条件时，顺序混乱，不满足判定定理的规范格式。例如，写 “SAS” 时，将边与角的顺序写错。 条件缺失或误判：遗漏必要条件，如只找到两组边相等，就判定用 “SSS” 定理；或者误判条件，把 “SSA” 当作可以判定全等的依据（实际上 “SSA” 不能判定一般三角形全等 ）。 对应关系错误：不能正确找出两个三角形的对应边和对应角，导致用错判定定理，比如把非对应边相等当作判定依据。 易错提醒 （1）严格按照判定定理的格式和要求罗列条件。 （2）仔细检查条件是否完整且符合判定定理，避免使用错误的判定方法。 （3）通过图形特征和已知信息，准确确定对应边和对应角。 例3．（2024·上海宝山·一模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解答的关键是运用相关知识得到线段之间的比例关系．证，得到，再由可得，求得的长度，从而求得的长度． 【详解】解：， ，， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ∴ ， ，，， ， 解得：， ， ． 易错警示： 1.全等三角形判定条件运用错误：在证明时，对全等三角形判定定理的条件理解有误，如找错对应角或对应边，导致不能正确证明全等。 2相似三角形比例关系计算错误：由得到后，代入,计算时出错，如计算的值错误或后续解方程错误。 变式3-1．如图，在中，∠C＝90°，D是边BC上一点，连接AD并延长至点E，AD＝DE，过点E作EF⊥BC于点F，连接BE． (1)求证：． (2)若BE＝DE，AC＝8，CD＝4，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． 变式3-2（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 易错陷阱四:三角形中的相似证明及应用错误 一、基本概念 相似三角形是对应角相等，对应边成比例的三角形。判定方法有 “两角分别相等的两个三角形相似”、“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”、“三边成比例的两个三角形相似” 。相似三角形的性质包括对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等。 二、常见错误情形及原因 相似判定错误：在证明三角形相似时，找错相等的角，或者边的比例关系计算错误。例如，误认为两个三角形有两个角相等就相似，但实际相等的角并非对应角；计算边的比例时，数值算错。 性质应用错误：利用相似三角形性质计算边长、周长、面积等时，比例关系用错。比如计算面积比时，误将相似比当作面积比，而不是相似比的平方；或者在计算边长时，对应边比例关系写错。 图形识别错误：对于复杂图形中隐藏的相似三角形，不能准确识别，导致无法利用相似关系解题。 易错提醒 （1）证明相似时，仔细核对角是否对应相等，边的比例是否正确。 （2）应用性质时，牢记各种性质对应的比例关系，认真检查计算过程。 （3）多观察图形，通过角的关系和边的比例尝试找出相似三角形。 例4-1．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 易错警示： (1)问易错分析 平行线性质运用错误：由推导时出错，对平行线性质中内错角相等的概念理解有误。 全等三角形判定条件罗列错误：在证明时，罗列条件不符合判定定理格式，或者找错对应角和对应边。 (2)问易错分析 全等三角形性质应用错误：由推导后， 在通过得到时出错，角度转换逻辑混乱。 相似三角形判定与性质运用错误：在证明时，对相似三角形判定条件理解有误，不能正确判定相似；在根据相似三角形性质得到后，结合(1)中结论进行变形推导时出错，比例变形逻辑错误。 例4-2．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 易错警示： (1)问易错分析 等腰三角形性质运用错误：由推导时出错，对等腰三角形等边对等角性质理解不深。 全等三角形判定条件错误：在证明时，条件罗列不符合判定定理要求，或对应边、对应角找错。 (2)问易错分析 相似三角形判定与性质应用错误：由和推导时，对相似三角形判定条件（两边对应成比例且夹角相等）理解有误；在后续利用相似三角形性质推导角相等以及再次证明时，逻辑混乱，比例关系运用错误。 变式4-1．（2024·上海·模拟预测）在和中，，点M，N分别在边和边上，使得，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键． 由勾股定理可得，设，则，由全等三角形的性质可得，再证，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴, 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即，解得：， 经检验，是方程的解． ∴． 故答案为． 变式4-2．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点． （1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可． （2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 变式4-3．（2024·上海·模拟预测）在中，点，分别在边，上，与交于，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)26 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，交于点，结合，可设，，证明，由相似三角的性质可得，再证明，结合相似三角的性质即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作于点，交于点， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式4-4．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边上，，与相交于点F，． (1)尺规作图：作交于H（保留作图痕迹即可）； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法得出，即可得出答案； （3）根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵，     ∴， ∵=， ∴， 即 =． ∵， ∴． ∴． （3）∵≌， ∴，． ∵ ，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 变式4-5．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得，，即可解答； （3）过点作，交于点，与交于点，通过得到，设，，，即有，证明，可表示出，从而表示出和，进而表示出和，易证，可得，进而得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，与交于点， 平分， ， ， ，， 又， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ． 【点睛】本题是相似的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 变式4-6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）①根据等边对等角得到，，然后根据四边形的内角和是计算解题； ②先根据得到，然后推导，得到，可以求出长，过点A作于点G，然后求出值即可； （2）设交于点H，设，则，然后证明，得到，然后根据平行线分线段成比例得到，，再根据，就可得到，代入数值即可解题． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，解得：或（舍）； 过点A作于点G， 则， ∴； （2）解：设交于点H，设， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴，即， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 易错陷阱五:角平分线的证明及其应用错误 一、基本概念 角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。角平分线的性质定理为：角平分线上的点到角两边的距离相等；其逆定理为：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 二、常见错误情形及原因 性质定理误用：在应用角平分线性质定理时，没有明确点在角平分线上，就直接使用 “点到角两边距离相等” 这一结论；或者对 “距离” 概念理解错误，误将斜线段长度当作距离。 逆定理应用错误：使用逆定理证明角平分线时，条件不充分，比如只知道一点到角两边距离相等，但没有说明是垂线段距离，就得出该点在角平分线上的结论。 证明过程逻辑错误：在证明角平分线相关问题时，逻辑混乱，推理步骤不连贯，不能正确运用已知条件和定理进行推导。 易错提醒 （1）应用角平分线性质定理和逆定理时，严格满足定理条件，明确 “距离” 是垂线段长度。 （2）证明角平分线问题时，梳理好逻辑关系，按步骤规范推导。 例5．（2023·上海·中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则 ．    【答案】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴，∵，，∴， 则在中，∵，∴，解得：； 故答案为：    【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 易错警示： 1.旋转及角平分线性质运用错误：根据旋转性质得到和后，利用角平分线定义推导时出错，对相关性质理解不准确。 2.三角形内角和定理计算错误：在中，根据 列方程, 解方程时出现计算失误，如合并同类项或求解的值错误。 变式5-1．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，求一个角的余弦，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 过点D作，根据角平分线可得，然后得到，证明出，得到，即可求得，然后设，则，利用代入求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作， 平分， ， 又， ， ，， ， 即， 又 ， ， ∴，负值舍去， 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴． 故答案为：． 变式5-2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E (1)尺规规范作图，写出已知 (2)求证：平分 (3)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理、三角形面积公式、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法结合题意画出图形即可； （2）作于，于，于，由角平分线的性质定理得出，即可判定出平分； （3）由和等高，得出，作于，于，由角平分线的性质定理可得：，得出，从而推出，同理可得：，，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示： 已知：为锐角三角形，平分，平分，与交于O，连接并延长交于E； （2）证明：如图，作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴平分； （3）证明：∵和等高， ∴， 如图：作于，于， 由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴，即， 同理可得：，， ∴． 变式5-3．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴ ． ∵，， ∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； (4) 【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可； （2）过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．仿照第一问的解答求解即可； （3）利用（1）的结论，求得，设，则，利用勾股定理列式计算即可； （4）先算，后两次运用（1）的结论，依次计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，， ∴， 故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴； （3）解：∵中，，是的平分线，且交于D， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∵将先沿的平分线折叠， ∴，，，， ∴，由（1）可得， ∴，， ∴， 同理可求：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 易错陷阱六:三角形中的垂线及垂直平分线问题应用错误 一、基本概念 三角形的垂线是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；其逆定理为：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 二、常见错误情形及原因 垂线性质应用错误：在利用三角形垂线的性质解题时，对高与边的关系理解有误，比如在计算三角形面积时，高的长度找错或与边的对应关系错误。 垂直平分线性质误用：应用垂直平分线性质时，没有确定点在线段垂直平分线上，就使用 “点到线段两端点距离相等” 的结论；或者在使用逆定理时，条件不完整，比如只知道一点到线段两端点距离相等，但没有说明该点与线段的位置关系等。 图形结合错误：在复杂图形中，不能准确识别垂线和垂直平分线，或者混淆两者性质，导致解题错误。 易错提醒 （1）明确垂线和垂直平分线的性质及区别，应用时严格对照条件。 （2）仔细观察图形，准确判断垂线和垂直平分线，避免混淆。 例6．（2024·上海·模拟预测）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 【答案】9 【分析】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明是等边三角形． 过点A作，根据菱形的性质，易证是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得到，，利用勾股定理求出，同理可证，，即可证明是等边三角形，求出周长． 【详解】解：过点A作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 再中，， 同理可证，，， ∴，， ∴是等边三角形，边长为3 ∴的周长是9． 易错警示： 1.菱形及等边三角形性质运用错误：由菱形性质推导是等边三角形时出错，对菱形内角与边的关系理解不足；利用等边三角形性质求长度或角度（如时出现错误。 2.勾股定理计算错误：在中，运用勾股定理计算长度时出错，如平方运算或开方运算失误。 3.三角形形状判定及周长计算错误：证明是等边三角形时逻辑不清晰，条件不充分；计算其周长时， 边长取值或乘法运算出现错误。 变式6-1．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是等边边上点，，作的垂线交、分别于点E、F，那么 ． 【答案】/ 【分析】如图，过作交于，延长交于，过作于，作于，设，则，可得，，，证明，，同理可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，延长交于，过作于，作于， ∵为等边三角形，， ∴，， 设，则， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键． 变式6-2．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质，作于，作的垂直平分线交于E，交于，解直角三角形得出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：作于，作的垂直平分线交于E，交于， ， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 易错陷阱七:重心问题应用错误 一、基本概念 三角形的重心是三角形三条中线的交点。重心的性质有：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是 二、常见错误情形及原因 1.概念理解错误：对重心是中线交点这一概念理解不深，在图形中不能准确找出重心位置，或者混淆重心与垂心、内心等其他心的概念。 2.性质应用错误：运用重心性质重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是时，比例关系颠倒，或者在计算线段长度时，没有正确使用该比例关系。 3.综合应用错误：在结合其他三角形知识（如相似、全等）与重心性质解题时，逻辑混乱，不能正确整合条件进行求解。 易错提醒 (1)牢记重心的定义和性质，通过图形练习准确找出重心。 (2)应用性质时，明确比例关系，认真计算线段长度。 (3)综合解题时，梳理好各种知识之间的关系，逐步推导。 例7．（2024·上海徐汇·三模）在中，，点是重心，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的定义与性质，结合勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握重心性质并运用勾股定理列式求解是解题关键．本题先利用重心求出和，再利用勾股定理列式整体法求出，最后利用直角三角形斜边中线性质和重心性质求出． 【详解】解：如图，设延长线交于点，延长线交于点，延长线交于点， ∵点是重心，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ①+②得：， 化简得：， ∴，∴， ∵点是重心，，∴，∴， 故答案为：． 易错警示： 1.重心性质运用错误：根据重心性质计算和时出错，对重心到顶点与到对边中点距离关系理解有误。 2.勾股定理计算错误：在利用勾股定理列方程并化简求解时，出现平方运算、方程相加化简等计算失误。 3.直角三角形中线与重心性质综合应用错误：利用直角三角形斜边中线性质和重心性质(计 算时，概念混淆或计算错误。 变式7-1．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义； 根据题意得出，设，则，进而根据得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接交于点， ∵是的重心，点在边上， ∴， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴， 故选：D． 变式7-2．（2024·上海奉贤·二模）如图，是等腰直角三角形，，，点分别在边上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，由点是的重心，可得分别为的中点，进而由是等边三角形可得，，，设，则，解得，又证明得是等腰直角三角形，得到，点四点共线，即得平分，平分，延长交于，则垂直平分，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，得到，根据点在形内，，可得，得到，又根据可得，由，，即可求出线段的取值范围，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接，连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴分别为的中点， ∵是等边三角形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点四点共线， ∴平分，平分， 延长交于，则垂直平分， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∵点在形内， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 易错陷阱八:旋转问题综合应用错误 一、基本概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转的性质有：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 二、常见错误情形及原因 旋转要素确定错误：不能准确找出旋转中心、旋转方向和旋转角，导致对旋转后的图形位置和形状判断错误。例如，找错旋转中心，或者将顺时针和逆时针方向混淆。 性质应用错误：应用旋转性质时，对应点距离、夹角关系用错。比如在计算线段长度或角度大小时，没有利用 “对应点到旋转中心的距离相等” 或 “对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角” 这些性质。 综合几何问题处理错误：在与三角形、四边形等几何图形结合的旋转问题中，不能将旋转性质与其他图形性质有效结合，导致解题思路混乱，无法正确求解。 易错提醒 （1）仔细观察图形，准确确定旋转的三要素。 （2）牢记旋转性质，在计算和推理时正确运用对应关系。 （3）遇到综合问题时，分别梳理旋转性质和其他图形性质，寻找解题突破口。 例8-1．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转，点A、B分别落在点D、E处，如果点A、D、E在同一直线上，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解题关键是熟练运用旋转的性质．由旋转的性质可得，，再结合已知条件逐一分析判断即可． 【详解】解：A．由旋转的性质可知，， ∴当点A、、在同一条直线上时，， 故选项A不符合题意； B．由旋转的性质可知，， ∴，， 由∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选项B不符合题意； C、∵，， ∴由旋转的性质可得：， 当时， ∴，与题干条件矛盾， ∴选项C符合题意 D． ∵为等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选项D不符合题意；故选：C． 易错警示： 1.旋转性质运用错误：对旋转前后图形全等及对应角、对应边相等的性质理解有误，导致在推导角度关系时出错，比如不能正确得出。 2等边三角形判定与性质应用错误：根据已知条件判定为等边三角形时，条件分析不充分；在运用等边三角形性质（如计算其他角度时，出现逻辑错误或计算失误。 3.角度关系推理错误：在分析各个选项的角度关系时，逻辑混乱，不能正确利用已有的角度结论进行推导，比如在判断与关系时，出现推理矛盾。 例8-2．（2024·上海闵行·二模）在中，，D为边上一动点，将绕点D旋转，使点A落在边上的点E处，过点E作交边于点F，连接，当是等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，先求解，，再判断为等腰三角形时，只有，再证明，再利用勾股定理建立方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵为直角三角形， ∴当为等腰三角形时，只有， 如图，设时，而， ∴，， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，即； 故答案为：． 易错警示： 1.直角三角形基本计算错误：根据计 算和长度时出错，如在利用求或用勾股定理求时出现运算失误。 2.等腰三角形情况分析错误：对为等腰三角形的情况分析不全面，没有正确判断出只有这一种符合条件的情况，或者错误认为其他边相等也成立。 3.方程建立与求解错误：根据线段关系建立方程时，线段长度关系梳理错误；解方程时出现计算错误，如展开平方项、合并同类项或求解的值出错。 变式8-1．（2024·上海长宁·二模）在中，，将绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在的延长线上，且，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由旋转，平行线的性质以及等腰三角形的性质证明，再对运用内角和定理可求，即可求解的余弦值． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，由内角和定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质以及特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式8-2．（2024·上海·模拟预测）已知在中，，将绕点A旋转，使点B落在原的点C处，此时点C落在点D处，延长线段交原的边的延长线于E，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．作于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得，，则利用三角形外角性质可计算出，接着在中利用含30度的直角三角形三边的关系得，，所以，然后在中利用得到，于是可得． 【详解】解：作于H，如图， ∵， ∴， ∵绕点A旋转，使点B落在原的点C处，此时点C落在点D处， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为． 变式8-3．（2024·上海黄浦·三模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以，然后利用相似比得到的值，从而得到的值，熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∵点为的重心， ∴为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式8-4．（2024·上海·模拟预测）已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，分绕点A顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 当绕点A逆时针旋转至时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，作，交于点， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 当绕点A顺时针旋转至时，如图， 同理可知：为等边三角形， ∴， 过点作，作，则：，， ∴，， 设，同法可得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 易错陷阱九:翻折问题应用错误 一、基本概念 翻折是将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。翻折的性质有：翻折前后的图形全等，对应边相等，对应角相等；对应点的连线被对称轴垂直平分。 二、常见错误情形及原因 对称轴确定错误：在图形中不能准确找出对称轴，导致对翻折后图形的位置和形状判断失误。比如对于不规则图形的翻折，找错对称轴位置。 性质应用错误：应用翻折性质时，对应边和对应角的关系用错。例如，在计算线段长度或角度时，没有利用 “翻折前后对应边相等、对应角相等” 的性质；或者在处理对应点连线与对称轴关系时出错。 方程思想应用错误：在利用翻折性质结合方程求解问题（如求边长 ）时，设未知数不合理，或者根据性质列方程时出现错误，导致无法正确求解。 易错提醒 （1）认真分析图形特征，准确确定对称轴。 （2）熟练运用翻折性质，在解题中准确对应边和角的关系。 （3）使用方程思想时，合理设未知数，根据性质正确列方程并求解。 例9．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，，，．是边的中点，是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，如果与与的一边平行，那么 ． 【答案】5或 【分析】根据与三边分别平行分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出的长，从而求得的长即可．本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键． 【详解】解：①当时，与重合， ，，不构成三角形，不符合题意； ②当，如图： ， ， 由翻折的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ； ③当，延长交于，如图： ，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 综上所述，或6.5． 故答案为：5或6.5． 易错警示： 1.情况分类遗漏或错误：没有全面考虑与三边平行的所有情况，比如遗漏某种可能；或者错误判断某些情况不符合题意，如对时的分析出错。 2.图形性质运用错误：在时，利用翻折性质判断四边形为正方形出错，对正方形判定条件理解不透彻；在时，运用三角形中位线定理及勾股定理计算等线段长度出错。 3. 方程建立与求解错误：在设建立方程时，线段关系梳理错误；解方程过程中出现计算失误，如展开平方项、移项合并同类项或求解的值错误。 变式9-1．（2024·上海金山·二模）如图，在中，，D是的中点，把沿所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】由D为中点，，则得，则；由，得；由折叠的性质得，则，最后得，由此三角的和为直角，从而得每个角为，则，是等边三角形，由正切三角函数即可求得结果． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角三角函数． 变式9-2．（2024·上海徐汇·二模）如图，在中，，． 已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，再由，得，结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结， ∴， ∵点是边的中点，即， ∴，则为的中点，即， ∴，， ∵为点关于的对称点， ∴，且，， 则， ∴，则， ∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 变式9-3．（2024·上海长宁·三模）如图，在中，，，点D 在边上，，连接，如果将沿直线翻折后，点 C的对应点为点E，那么点E到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，解直角三角形等等，过点E作于H，，证明是等边三角形，进而求得，再由折叠得到，进而求出，最后在中使用三角函数即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴点E到直线的距离为， 故答案为：． 变式9-4．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式9-5．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 【答案】 【分析】作，，根据余弦的定义，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，在中，得到，的长，，由折叠的性质得到，，由与外切，得到，在中得到， 当在内部时， ，，由此即可求解 【详解】解：过点作交于点，连接，过点作，交于点， ∵，， 在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵与外切， ∴，， 在中，，， 如图所示，与边相交， 与外切， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，等腰三角形三线合一，勾股定理，折叠的性质，圆与圆的位置关系，理解题意作图分析，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 一、填空题 1．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，，，中线与高交于点，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定义，熟知等腰三角形的性质及三角形中位线定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质及为的中线，得出为的中位线，进而可求出的长，进一步可求出的长，再过点作的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，且为高线，， ． 又是的中线， 是的中位线． ， ． 在中， ． 过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 又为中点， ． 在中， ． 故答案为：． 4．（2025·上海闵行·一模）如图，点、分别是线段和的中点，、交于点，且，，，那么长是 ． 【答案】3 【分析】连接，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，设，，由勾股定理得到，，求出，得到． 【详解】解：连接， ∵D、E分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴（舍去负值）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，二元二次方程组，关键是由勾股定理得到关于x、y的方程组． 5．（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意， 只能， 设， ， 根据相似求出即可得出结论． 【详解】解：由题意得：只能过点作 于点， 交于点， 设则， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故答案为： ． 6．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 8．（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 9．（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形判定方法是解题关键，分两种情况讨论分别根据相似三角形性质分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， 当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，则有， ∴，即， 又， ∴； 同理，当分的两个三角形相似存在 当时，有， ∴， 同理，当时，， ∴， 又， ∴， ∴； 综上，的长是4或． 二、解答题 10．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由面积法求得，进而解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为，由（）得，解直角三角形得，证是等边三角形，得，，，从而求得，，，利用正切定义即可得解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，． （2）解：过点作，垂足为 由（）得， ∴，， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 12．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【详解】（1）解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； （2）解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 13．（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明即可得到 （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 14．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，   ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 15．（2025·上海宝山·一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 16．（2025·上海·二模）如图，在等边三角形中，点D在上，点E在边上，和的两条平分线交于点F，F在下方，上方，且． (1)如图1，求证：三角形是等边三角形． (2)如图2，在上找一点G，使．连接，连接交于点H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边三角形得和，结合题意得，则为等边三角形，有，由角平分线得和，即可判定为等边三角形； （2）由等边三角形得和，且，则．进一步判定，有，则，同理，利用平行线的性质可得，即可判定为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 同理，， ∴ 为等边三角形； （2）证明：∵为等边三角形， ∴ ，， 同理：， 故 ． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，以及平行四边形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和平行四边形的判定． 17．（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)ⅰ）；ⅱ）的正切值为或． 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）i）延长至G，使，连接，证明，得出，证出，则可得出答案； ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：i）延长至G，使，连接， ∵直线经过的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ii）当时显然不成立． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接， ∵， ∴D，B，，C四点共圆， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 18．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 19．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 20．（2025·上海浦东新·模拟预测）在中，，，点是射线上一点（点不与点、重合），连接，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，直线交直线于点．． (1)如图1，当点在边上时，，求：此时半径的长 (2)当点在边上时，如图，设，，求：与之间的函数解析式，并写出其定义域； (3)连接，若是以为腰的等腰三角形时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先通过证明得出，则，然后利用三角函数和勾股定理求出； （2）设，然后用表示线段与，再利用，得到所求的函数关系式； （3）分两种情况进行讨论：①当；②当；然后利用三角形相似的性质求解． 【详解】（1）解：如图1，分别过点、作，垂足分别为、． ， ，， ， ， ， ， 又， ，又， ， ， 即， ， ， ， ． （2）解：设，则， ， ， ，， ， 即， 与之间的函数解析式为：． （3）解：如图3，连接， 是以为腰的等腰三角有形，分两种情况： ①当时，， 故点与点重合，点与点重合， 故不符合题意； ②当时， ∴， ∴， ， ， ， 又由（1）知：， ， （负值舍去）， ． 【点睛】此题是一道几何与函数的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并运用三角形相似的判定与性质是解此题的关键． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$