易错05 向量的运算（二大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（上海专用）

易错05 向量的运算 易错陷阱一:向量的线性运算计算错误 一、向量线性运算的基本概念 向量的线性运算包括向量的加法、减法以及数乘运算。 加法：求两个向量和的运算，满足三角形法则和平行四边形法则。 减法：, 可看作加法的逆运算，同样遵循三角形法则，差向量是从的终点指向的终点。 数乘：实数与向量的乘积, 当时与方向相同，长度是的倍；当时，方向相反。 易错提醒 （1）牢记向量加法、减法和数乘运算的法则，在运算时准确运用相应法则，注意向量的首尾连接顺序和方向。 （2）在数乘运算中，正确计算系数与向量长度的关系，准确判断数乘向量的方向。 （3）进行向量线性混合运算时，严格遵循运算顺序，正确合并同类向量。 例1．（2024·上海静安·三模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可 【详解】解： ， 故答案为：． 易错警示： 1.数乘运算错误：计算时，出现乘法分配错误，比如或计算失误。 2.向量加减运算错误：在进行的 加减运算时，合并同类向量出现错误，如对或的系数计算有误。 变式1-1．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式1-2．（2024·上海普陀·一模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式1-3．（2024·上海·一模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量的加减运算，理解和掌握向量的加减运算方法是解题的关键．先去括号，然后结合向量的加减运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 易错陷阱二:用向量表示向量求解错误 易错提醒 （1）熟练掌握向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，准确判断向量的方向和运算顺序。 （2）在几何图形中，深入理解图形性质与向量关系的联系，按照正确的逻辑推导向量的表示。 例2-1．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，．是上一点，，， ，，故答案为：． 易错警示： 1.线段比例与向量关系错用：由推导时出错，对线段比例转化为向量关系理解有误。 2.向量加减法法则运用错：在计算(变形为时，对向量方向判断错误，导致后续用表示向量出错。 3.平行四边形性质应用错：利用平行四边形中这一性质时，出现逻辑错误，不能正确将的表达式应用到上。 例2-2．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 易错警示： 1.向量减法计算错：计算时，出现向量相减的计算错误，如对向量的运算失误。 2.相似三角形性质运用错：由推导错误，或在利用相似三角形性质时出错， 导致与的数量关系错误。 3.用已知向量表示目标向量错：将代入时，出现计算错误，不能正确得出 例2-3．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 【答案】 【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O， 又，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则． 易错警示： 1.平行四边形性质错用：对平行四边形中对角线互相平分这一性质理解有误，由推导时出错，比如遗漏系数2。 2.向量减法法则运用错：在计算时，对向量相减的平行四边形法则理解不到位，出现向量方向判断错误或计算错误，导致不能正确得出。 变式1-1．（2024·上海·三模）如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，向量以及垂径定理，先过点和分别作、，证明四边形是矩形，再运用垂径定理得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点和分别作、， ∵过点A作的平行线交两圆于C、D， ∴， ∵、， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， 则． 故答案为：． 变式1-2．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出和的长． 连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后结合图形及向量，即可得出结果． 【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形和菱形大小相同， ∴， ∴， ∴，   ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵与方向相反， ∴ 故答案为：． 变式1-3．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性运算及平行四边形的性质得到，即可得到，根据平行四边形的性质得到，结合点E是的中点推出，得到，所以，进而得到结论． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 变式1-4．（2024·上海金山·三模）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形、向量的线性运，掌握向量的线性运算成为解题的关键． 先说明、，即，进而得到，再利用平行四边形的性质、相似三角形可得，进而得到，则，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴, ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 变式1-5．（2024·上海浦东新·三模）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，，，， ， 又∵， ∴ 故答案为∶． 变式1-6．（2024·上海嘉定·二模）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量 （结果用、表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键． 先用的线性组合表示，再表示即可． 【详解】解：∵，线段是边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 变式1-7．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式1-8．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可． 【详解】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】 变式1-9．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么 ．（用向量、表示） 【答案】/ 【分析】本题考查平面向量，在中，利用三角形法则求得；然后结合求得；最后在中，再次利用三角形法则求得答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 变式1-10．（2024·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， , 点、分别是边、的中点， ， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·上海杨浦·一模）如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（    ） A．与是平行向量 B．的方向与的方向相同 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】设，m，n都是正数，，c,d都是负数，根据向量运算法则计算判断即可． 【详解】设，m，n都是正数，，c,d都是负数， 则， 故A正确，不符合题意； 的方向与的方向相反， 故B错误，符合题意； 若，则正确，不符合题意； 若，则正确，不符合题意， 故选B． 二、填空题 2．（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键． 根据向量的表示方法进行解答即可． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量， ∴， 又∵向量与的方向相反， ∴， 故答案为：． 3．（2024·上海浦东新·二模）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得结果． 【详解】解：∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：． 4．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定以及平面向量，先证明，再利用比例关系结合平面向量的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 5．（2024·上海杨浦·一模）如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查平面向量的知识，结合平行四边形性质，相似三角形的性质解题是关键．利用平行四边形的性质可先证明，然后用三角形法则表示出，即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 6．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先根据，，，得出，然后利用三角形法则，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（2024·上海·三模）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设，，那么 ．（用，表示） 【答案】 【分析】连接，，根据题意，由大正方形的面积是小正方形面积的25倍，得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 依题意，小正方形的对角线与重合， ∵，， ∴ ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， 根据题意可得， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，平面向量的线性运算，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 8．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据可得，得出根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论； （2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的性质可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ， ∵与高相同， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． ∴ （2）∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，则， ∴ ∴， ∴ 9．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 【答案】(1)； (2)平行 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键． （1），； （2）根据，，得出与是平行向量； （3）根据，得出，从而得到，根据，求出，从而得到． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴与是平行向量， 故答案为：平行； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G． (1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值； (2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据已知条件设，则，，，证明，，根据相似三角形的性质得出，，，，过点作于点，设，则，在，中，根据勾股定理可得，由此建立方程求出，然后根据余弦的定义可得，于是得解； （2）取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 即：， ，， ，， ，， 如图，过点作于点， 设，则， 在，中， ， ， 解得：， ； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作， 理由如下： 如图，设交于点， 是的中点，是的中点， ， 又， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在与方向上的分向量分别为，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求角的余弦值，向量的线性运算，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行公理的推论等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错05 向量的运算 易错陷阱一:向量的线性运算计算错误 向量线性运算的基本概念 向量的线性运算包括向量的加法、减法以及数乘运算。 加法：求两个向量和的运算，满足三角形法则和平行四边形法则。 减法：, 可看作加法的逆运算，同样遵循三角形法则，差向量是从的终点指向的终点。 数乘：实数与向量的乘积, 当时与方向相同，长度是的倍；当时，方向相反。 易错提醒 （1）牢记向量加法、减法和数乘运算的法则，在运算时准确运用相应法则，注意向量的首尾连接顺序和方向。 （2）在数乘运算中，正确计算系数与向量长度的关系，准确判断数乘向量的方向。 （3）进行向量线性混合运算时，严格遵循运算顺序，正确合并同类向量。 例1． （2024·上海静安·三模）化简： ． 易错警示： 1.数乘运算错误：计算时，出现乘法分配错误，比如或计算失误。 2.向量加减运算错误：在进行的 加减运算时，合并同类向量出现错误，如对或的系数计算有误。 变式1-1．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 变式1-2．（2024·上海普陀·一模）化简： ． 变式1-3．（2024·上海·一模）化简： ． 易错陷阱二:用向量表示向量求解错误 用已知向量表示未知向量 易错提醒 （1）熟练掌握向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，准确判断向量的方向和运算顺序。 （2）在几何图形中，深入理解图形性质与向量关系的联系，按照正确的逻辑推导向量的表示。 例2-1．（2024·上海·中考真题）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则 （结果用含，的式子表示）． 易错警示： 1.线段比例与向量关系错用：由推导时出错，对线段比例转化为向量关系理解有误。 2.向量加减法法则运用错：在计算(变形为时，对向量方向判断错误，导致后续用表示向量出错。 3.平行四边形性质应用错：利用平行四边形中这一性质时，出现逻辑错误，不能正确将的表达式应用到上。 例2-2．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    易错警示： 1.向量减法计算错：计算时，出现向量相减的计算错误，如对向量的运算失误。 2.相似三角形性质运用错：由推导错误，或在利用相似三角形性质时出错， 导致与的数量关系错误。 3.用已知向量表示目标向量错：将代入时，出现计算错误，不能正确得出 例2-3．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则= ． 易错警示： 1.平行四边形性质错用：对平行四边形中对角线互相平分这一性质理解有误，由推导时出错，比如遗漏系数2。 2.向量减法法则运用错：在计算时，对向量相减的平行四边形法则理解不到位，出现向量方向判断错误或计算错误，导致不能正确得出。 变式1-1．（2024·上海·三模）如图，和相交于A和B，过点A作的平行线交两圆于C、D，设，则 （用含代数式表示） 变式1-2．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，在菱形中，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点E，F，G，H分别在边上，点M，N在对角线上．若，则= ． 变式1-3．（2024·上海虹口·模拟预测）如图，已知在平行四边形中，点E是边的中点，和交于点F，设．用向量表示向量，即= ． 变式1-4．（2024·上海金山·三模）如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 变式1-5．（2024·上海浦东新·三模）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，，那么向量 （用含的式子表示） 变式1-6．（2024·上海嘉定·二模）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量 （结果用、表示）． 变式1-7．（2024·上海徐汇·二模）如图，梯形中， ，，平分，如果，，，那么是 （用向量、表示）． 变式1-8．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 变式1-9．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么 ．（用向量、表示） 变式1-10．（2024·上海虹口·二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量 ． 一、单选题 1．（2024·上海杨浦·一模）如果两个非零向量与的方向相反，且，那么下列说法错误的是（    ） A．与是平行向量 B．的方向与的方向相同 C．若，则 D．若，则 二、填空题 2．（2025·上海奉贤·一模）已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是 ． 3．（2024·上海浦东新·二模）如图，已知中，中线、相交于点G，设，，那么向量用向量、表示为 ．    4．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、，如果，，，，用、表示 ． 5．（2024·上海杨浦·一模）如图，在平行四边形中，E是边的中点，与对角线相交于点F，设向量，向量，那么向量 ．（用含、的式子表示） 6．（2025·上海松江·一模）如图，梯形中，，，设，，那么可以用、表示为 ． 7．（2024·上海·三模）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设，，那么 ．（用，表示） 三、解答题 8．（2025·上海奉贤·一模）如图，，与相交于点，点F在上，． (1)求的长； (2)设，用含的式子表示． 9．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 10．（2025·上海宝山·模拟预测）在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G． (1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值； (2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可） 19 学科网（北京）股份有限公司 $$