易错04 二次函数（三大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战2025年中考数学考试易错题（上海专用）

易错04 二次函数 易错陷阱一:二次函数解析式求解错误 一、二次函数的基本形式 二次函数常见表达式有一般式（，顶点式为顶点坐标，和交点式是函数与轴交点的横坐标，. 二、求解二次函数解析式的常见方法-待定系数法 1.形式选择错误：根据已知条件不能正确选择合适的解析式形式。例如，已知顶点坐标和另一点坐标，应优先选顶点式，但误选一般式，导致计算复杂且易出错。 2.代入计算错误：将点的坐标代入所选解析式求系数时，出现计算失误。如在一般式中，把点代入计算出错；在顶点式或交点式中同样可能出现代入计算错误。 3.方程组求解错误：当用多个点坐标代入得到方程组求解系数时，在消元、计算等过程中出现错误。比如解关于的三元一次方程组，计算过程中出现符号、数值运算等问题。 易错提醒 （1）熟练掌握不同形式二次函数解析式的特点，根据题目所给条件准确选择合适形式。 （2）代入点坐标计算时要仔细，求解方程组要认真检查每一步运算。 （3）清晰理解二次函数对称轴、顶点、增减性等性质与系数的关系，避免因概念混淆导致解析式求解错误。 例1-1．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 易错警示： 1.增减性与值关系误解：对二次函数增减性与正负关系理解错误，不能由对称轴左侧上升正确推出。 2.顶点位置与系数关系错用：根据顶点在轴正半轴，不能正确得出和,出现对顶点坐标与系数关系的理解偏差。 3.解析式构造错误：在确定取值范围后，构造解析式时出现错误，如取值不符合要求。 例1-2．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2，3） 【分析】（1）把，代入，求解即可； （2）①由，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据，求得m=2，在的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入，得n=，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2=，PQ2=，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°=，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得：， ∴函数解析式为：； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入，得n=， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2=， PQ2=， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°=， 解得：m=±2（舍去负数）， ∴n==3， 故P的坐标为（2，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 易错警示： 代入计算错误：将点和代入得到方程组在求解方程组过程中，出现计算失误，比如代入消元时数值计算错误、移项变号错误等。 变式1-1．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 变式1-2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 【答案】(1)，； (2)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点代入解析式， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得或， ∴； （2）解∶当时，， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向左平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位再向下平移得点， ∴向右平移个单位再向下平移也得点， ∵， ∴即； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线的对称轴，平行四边形的性质及平移的性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用平移的性质，分类确定点的位置是解题的关键． 变式1-3．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 变式1-4．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 变式1-5．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 易错陷阱二:二次函数中的平移错误 一、二次函数平移的基本规律 二次函数图象的平移是其顶点的移动，对于二次函数 左右平移改变的值，遵循左加右减”原则，即图象向左平移个单位时，函数变为; 向 右平移个单位时，函数变为。 上下平移改变的值，遵循上加下减”原则，即图象向上平移个单位时，函数变为; 向 下平移个单位时，函数变为. 易错提醒 （1）牢记二次函数平移的 “左加右减，上加下减” 原则，仔细分析平移方向和单位，正确改变h和k的值。 （2）明确先平移再变形或先变形再平移的顺序，每一步计算都要认真检查，避免混淆步骤。 （3）在分析平移后二次函数的其他性质时，要以平移后的函数表达式为基础，准确运用相关知识进行计算和判断。 例2-1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 易错警示： 代入列方程组错误：将点和代入时，可能出现数据代错位置等情况导致方程组列错。 解方程组错误：求解方程组时 ，在计算直的过程中，如移项、通分、系数化为1等环节出现失误。 例2-2．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， （2）设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； （3）如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N的函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 易错警示： 平移性质运用错误：对平移性质理解有误，不能根据点B、点向下平移距离相同列出正确等式导致值求解错误。 参数计算错误：由和计算值时出错，或者将代入求值时出现计算失误。 变式2-1．（2024·上海普陀·一模）将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是， 故选：C． 变式2-2．（2024·上海嘉定·二模）如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令，通过解解方程求解． 【详解】解：把抛物线的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为， 令，则． 所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为． 故选B． 变式2-3．（2024·上海普陀·三模）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，掌握平移的规律是解题的关键．将条件中“沿着方向平移3个单位”转化为“向左平移个单位，再向上平移个单位”或者“向右平移个单位，再向下平移个单位”两种情况． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点沿着方向平移3个单位， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 故答案为：或． 变式2-4．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 变式2-5．（2024·上海·三模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为． (1)求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）： (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角的正切值为，求a的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴ ∴ ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴抛物线解析式为 ∴ （2）解：如图所示，过点作于点， 设向下平移个单位，平移后的抛物线为 ∵，锐角的正切值为， ∴，则，， 当时，， ∴① 将点代入 ② 联立①②得； 易错陷阱三:二次函数的图像及性质理解错误 一、二次函数图像的基本特征 二次函数的 图像是一条抛物线。决定抛物线的开口方向开口向上，开口向下)和开口大小；对称轴为; 顶点坐标是 二、常见错误情形及原因 (一)开口方向与值关系错误 1.对的正负与开口方向对应关系记忆混淆，比如误认为时抛物线开口向下。 2.当二次函数表达式中的形式较为复杂（如含参数）时，不能正确判断的正负，进而无法确定开口方向。 (二)对称轴与顶点坐标计算错误 1.计算对称轴时，值代入错误，或者对公式记忆不准确，遗漏负号等。 2.求顶点坐标时，计算出现错误，比如在代入值进行运算时，出现数值计算、符号处理等方面的失误。 (三)函数增减性理解错误 1.没有正确理解二次函数在对称轴两侧的增减性。例如，不清楚当时，在对称轴左侧随增大而减小在对称轴右侧随增大而增大；当时则相反。 2.对于含参数的二次函数，不能根据对称轴和的取值范围准确判断函数在某区间内的增减性。 易错提醒 （1）牢记a的正负与抛物线开口方向的关系，遇到含参数的a时仔细分析其正负性。 （2）准确记忆对称轴和顶点坐标公式，认真代入计算，仔细检查运算过程。 （3）清晰把握二次函数在对称轴两侧的增减性规律，对于含参数情况要全面分析。 （4）在求与坐标轴交点时，正确运用方程求解方法，注意x取值的准确性。 例3．（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解： ， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，故A，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大， ∴该抛物线与轴没有交点，，故C选项错误，符合题意；D选项正确，不符合题意； 故选：C 易错警示： 1.对称轴与顶点坐标计算错：对抛物线配方求对称轴和顶点坐标时，出现计算错误，不能正确得出对称轴为和顶点坐标为. 2.抛物线与轴交点判断错：计算判别式时出错，或者对 与0的大小关系判断错误，不能正确判断抛物线与轴交点个数。 3.增减性判断错：对时 抛物线在对称轴左侧的增减性理解有误，错误判断随的变化情况。 变式3-1．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解． 【详解】解：，又抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升； 二次函数的图像的一部分是下降的， ， 故答案为：． 变式3-2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3-3．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由图像可知，，对称轴为直线，，则，进而可判断①的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，由图像可知，，可得，进而可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可知的解，即为交点的横坐标，当时，，如图，可知，有两个不同的交点，即有两个不相等的实数根，进而可判断④的正误． 【详解】解：由图像可知，，， ∵其顶点坐标为， ∴对称轴为，， ∴，则， ∴，故①正确； 由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为， 由图像可知，， ∴，故②错误； ∵，， ∴为任意实数时，，故③正确； ∵， ∴的解，即为交点的横坐标， 当时，， ∵，图像向右下方倾斜，如图， ∴，有两个不同的交点， 即有两个不相等的实数根，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 变式3-4．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 变式3-5．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的性质和代数式的运算， 结合题意可求得a的值，再结合系数即可求得代数式的值； 根据抛物线与x正半轴交点可将m和n用p和q表示，再将m和n作差，进行异分母的通分化简，结合，求得对应的各单项式的正负即可判断其关系． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，解得， 则； （2）解：∵当时，抛物线与x正半轴交点， ∴，则， 同理，， 则 ∵， ∴，，， 则， 那么，． 一、单选题 1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为．据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：D． 2．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 3．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 二、填空题 4．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 5．（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线开口向下可得出，再结合二次函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得：， 故答案为： 6．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线在对称轴左侧的部分是下降的可得出抛物线开口向上，进而即可得出，此题得解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 7．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 10．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为，即可得出，解得，从而求顶点的横坐标为2． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新抛物线的解析式为， ∵所得到的新抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点的横坐标为2． 故答案为：2． 11．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 12．（2025·上海·模拟预测）约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据约定得到点的坐标，将点的坐标代入二次函数，求出的值，从而得到二次函数图象的对称轴，再分当时和当时两种情况讨论即可，理解约定，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：，两点为一对“点”， ，且点，都在二次函数图象上． 将点的坐标代入二次函数， 得， 解得． 二次函数的表达式为． 二次函数图象的对称轴为直线， 当时， ， 顶点纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， ， ． 当时， ， 点的纵坐标为点纵坐标的最大值， 即， 解得， 此时不成立，含去． 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题 13．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 14．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 15．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 16．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或2 (3)，， 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； （3）解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 17．（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴； （2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解； ②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 19．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 20．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； （2）解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； （3）解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错04 二次函数 易错陷阱一:二次函数解析式求解错误 一、二次函数的基本形式 二次函数常见表达式有一般式（，顶点式为顶点坐标，和交点式是函数与轴交点的横坐标，. 二、求解二次函数解析式的常见方法-待定系数法 1.形式选择错误：根据已知条件不能正确选择合适的解析式形式。例如，已知顶点坐标和另一点坐标，应优先选顶点式，但误选一般式，导致计算复杂且易出错。 2.代入计算错误：将点的坐标代入所选解析式求系数时，出现计算失误。如在一般式中，把点代入计算出错；在顶点式或交点式中同样可能出现代入计算错误。 3.方程组求解错误：当用多个点坐标代入得到方程组求解系数时，在消元、计算等过程中出现错误。比如解关于的三元一次方程组，计算过程中出现符号、数值运算等问题。 易错提醒 （1）熟练掌握不同形式二次函数解析式的特点，根据题目所给条件准确选择合适形式。 （2）代入点坐标计算时要仔细，求解方程组要认真检查每一步运算。 （3）清晰理解二次函数对称轴、顶点、增减性等性质与系数的关系，避免因概念混淆导致解析式求解错误。 例1-1．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 易错警示： 1.增减性与值关系误解：对二次函数增减性与正负关系理解错误，不能由对称轴左侧上升正确推出。 2.顶点位置与系数关系错用：根据顶点在轴正半轴，不能正确得出和,出现对顶点坐标与系数关系的理解偏差。 3.解析式构造错误：在确定取值范围后，构造解析式时出现错误，如取值不符合要求。 例1-2．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 易错警示： 代入计算错误：将点和代入得到方程组在求解方程组过程中，出现计算失误，比如代入消元时数值计算错误、移项变号错误等。 变式1-1．（2024·上海·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 变式1-3．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 变式1-4．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 变式1-5．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 易错陷阱二:二次函数中的平移错误 一、二次函数平移的基本规律 二次函数图象的平移是其顶点的移动，对于二次函数 左右平移改变的值，遵循左加右减”原则，即图象向左平移个单位时，函数变为; 向 右平移个单位时，函数变为。 上下平移改变的值，遵循上加下减”原则，即图象向上平移个单位时，函数变为; 向 下平移个单位时，函数变为. 易错提醒 （1）牢记二次函数平移的 “左加右减，上加下减” 原则，仔细分析平移方向和单位，正确改变h和k的值。 （2）明确先平移再变形或先变形再平移的顺序，每一步计算都要认真检查，避免混淆步骤。 （3）在分析平移后二次函数的其他性质时，要以平移后的函数表达式为基础，准确运用相关知识进行计算和判断。 例2-1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 易错警示： 代入列方程组错误：将点和代入时，可能出现数据代错位置等情况导致方程组列错。 解方程组错误：求解方程组时 ，在计算直的过程中，如移项、通分、系数化为1等环节出现失误。 例2-2．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 易错警示： 平移性质运用错误：对平移性质理解有误，不能根据点B、点向下平移距离相同列出正确等式导致值求解错误。 参数计算错误：由和计算值时出错，或者将代入求值时出现计算失误。 变式2-1．（2024·上海普陀·一模）将抛物线沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是(   ) A． B． C． D． 变式2-2．（2024·上海嘉定·二模）如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（2024·上海普陀·三模）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 变式2-4．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 变式2-5．（2024·上海·三模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为． (1)求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）： (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角的正切值为，求a的值． 易错陷阱三:二次函数的图像及性质理解错误 一、二次函数图像的基本特征 二次函数的 图像是一条抛物线。决定抛物线的开口方向开口向上，开口向下)和开口大小；对称轴为; 顶点坐标是 二、常见错误情形及原因 (一)开口方向与值关系错误 1.对的正负与开口方向对应关系记忆混淆，比如误认为时抛物线开口向下。 2.当二次函数表达式中的形式较为复杂（如含参数）时，不能正确判断的正负，进而无法确定开口方向。 (二)对称轴与顶点坐标计算错误 1.计算对称轴时，值代入错误，或者对公式记忆不准确，遗漏负号等。 2.求顶点坐标时，计算出现错误，比如在代入值进行运算时，出现数值计算、符号处理等方面的失误。 (三)函数增减性理解错误 1.没有正确理解二次函数在对称轴两侧的增减性。例如，不清楚当时，在对称轴左侧随增大而减小在对称轴右侧随增大而增大；当时则相反。 2.对于含参数的二次函数，不能根据对称轴和的取值范围准确判断函数在某区间内的增减性。 易错提醒 （1）牢记a的正负与抛物线开口方向的关系，遇到含参数的a时仔细分析其正负性。 （2）准确记忆对称轴和顶点坐标公式，认真代入计算，仔细检查运算过程。 （3）清晰把握二次函数在对称轴两侧的增减性规律，对于含参数情况要全面分析。 （4）在求与坐标轴交点时，正确运用方程求解方法，注意x取值的准确性。 例3．（2024·上海杨浦·三模）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线的顶点坐标是 C．该抛物线与轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，随的增大而增大 易错警示： 1.对称轴与顶点坐标计算错：对抛物线配方求对称轴和顶点坐标时，出现计算错误，不能正确得出对称轴为和顶点坐标为. 2.抛物线与轴交点判断错：计算判别式时出错，或者对 与0的大小关系判断错误，不能正确判断抛物线与轴交点个数。 3.增减性判断错：对时 抛物线在对称轴左侧的增减性理解有误，错误判断随的变化情况。 变式3-1．（2024·上海闵行·三模）如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是 ． 变式3-2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 变式3-3．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-4．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 变式3-5．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 一、单选题 1．（2025·上海闵行·一模）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 4．（2025·上海松江·一模）将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ． 5．（2025·上海嘉定·一模）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 ． 6．（2025·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么 0．（填“>”或“<”） 7．（2025·上海闵行·一模）已知点和是抛物线上的两点，那么的值是 ． 8．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 10．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ． 11．（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 12．（2025·上海·模拟预测）约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的不同的两点叫做一对“点”．已知关于的二次函数是“函数”，其中，两点为一对“点”，点是该二次函数图象上，两点之间的一个动点（含端点，．若点的纵坐标的最大值为，则 ． 三、解答题 13．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 14．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 15．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 16．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 17．（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 18．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 19．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 20．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． (1)求点C的坐标； (2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； (3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$