内容正文:
2025年文山市第二学区学业水平考试
数学仿真卷(一)
(全卷三个大题,共27小题;满分:100分,考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分)
1. 中国是世界上最早使用负数的国家,战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数.如果公元前500年记作年,那么公元后2025年记作( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相反意义的量,掌握正负数表示相反意义的量成为解题的关键.
根据正负数表示相反意义的量即可解答.
【详解】解:∵公元前500年记作年,
∴公元前为“”,
∴公元后为“”,
∴公元后2025年,记作2025年或年.
故选C.
2. 如图所示,直线与直线分别相交,且,,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质等知识点,熟练掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键.
如图:先根据平行线的性质可得,再根据邻补角性质即可解答.
【详解】解:如图:∵,,
∴,
∴.
故选B.
3. 2024年12月29日,2024上合昆明马拉松在昆明滇池之畔云南海埂会堂前鸣枪开跑,来自全球34个国家和地区的26000名跑者在高原赛道展开角逐.将数据26000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法,将数据表示成形式为的形式,其中,n为整数,正确确定a、n的值是解题的关键.
将26000写成其中,n为整数的形式即可.
【详解】解:.
故选D.
4. 下面运动标识图案中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别.根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解:选项B能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形,符合题意,
选项A、C、D均不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,不符合题意,
故选:B.
5. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则这个不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集,牢固掌握以上知识点是解题关键.空心圆圈向右表示大于,实心圆圈向左表示小于等于,结合数轴可得出答案.
【详解】解:由数轴可知,这个不等式组的解集为,
故选:B.
6. 下列计结果为 a10的是( )
A. a6+ a4 B. a11- a C. a5·a2 D. a12÷a2
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂相乘及同底数幂相乘的法则即可解答.
【详解】A. a6+ a4不是同类项,不能合并同类项,故A不符合题意..
B. a11-a不是同类项,不能合并同类项,故B不符合题意..
C. a5·a2= ,故C不符合题意.
D. a12÷a2= ,故D符合题意.
故选D
【点睛】本题考查的是合并同类项,同底数幂相乘及同底数幂相乘,熟练掌握各种运算的法则是关键.
7. 数学课上,老师制作了一个数学模型,让同学们从前面、左面、上面观察该模型,小红同学观察之后得到的三视图如图所示,则该模型是( )
A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体,由主视图和左视图可得此几何体为锥体,根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥.首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.
【详解】解:主视图和左视图都是三角形,
此几何体为锥体,
俯视图是一个圆,
此几何体为圆锥.
故选:D.
8. 要使二次根式有意义,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式计算即可得到答案.
【详解】由题意得,
解得,
故选:D.
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件,熟练掌握被开方数为非负数是解题的关键.
9. 一个边形的内角和等于,则的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的内角和、一元一次方程的应用等知识点,根据多边形内角和公式列出一元一次方程成为解题的关键.
根据n边形的内角和为得到,据此列方程求解即可.
【详解】解:设这个多边形的边数为n,
则,解得:.
故答案为:A.
10. 按照一定规律排列的多项式:.则第个多项式是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式规律探究,理解题意、发现相关规律是解题的关键.
根据所给的多项式的项数、次数即可找到规律,然后运用规律求解即可.
【详解】解:由题意可知:所给的多项式为二项式,第一项a的系数都为连续奇数,指数为1;第二项b的系数为1,b的指数为连续正整数,
故在第个多项式中:a的为,指数为1,b的系数为1,指数为,即.
故选:A.
11. 如图所示,四边形内接于,连接,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理,根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,进行求解即可.
【详解】解:∵四边形内接于,,
∴;
故选B.
12. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况,计算一元二次方程根的判别式,进而即可求解,熟练掌握一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴方程有两个不相等的实数根,
故选:.
13. 如图所示,电线杆的高度为5米,两根拉线与交于点在同一条直线上,,则拉线的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用,掌握锐角三角函数定义成为解题的关键.根据锐角三角函数的定义解直角三角形即可解答.
【详解】解:由题意可知,,,,
∴,即,
解得:米.
故选:C.
14. 某校计划举行一场体育比赛,为了解学生对不同体育项目的喜爱情况,学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查,规定每人只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一个,并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).下列说法正确的是( )
A. 本次调查采用的是全面调查
B. 在这次调查中,该校一共调查了180名学生
C. “跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是
D. 在这次调查中,选择足球项目的学生有50名
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体等知识点,灵活运用相关知识成为解题的关键.根据调查方式以及统计图数据计算对选项逐一判断即可.
【详解】解:A.由题可知:学校随机抽取了部分学生进行调查,本次调查采用的是抽样调查,故选项A说法错误,不符合题意;
B.该校一共调查了(人),故选项B说法错误,不符合题意;
C.“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是,故选项C说法错误,不符合题意;
D.在这次调查中,选择足球项目的学生有(人),故选项D说法错误,不符合题意.
故选:D.
15. 若两个相似三角形的相似比为,则这两个三角形面积的比是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可.
【详解】解:∵两个相似三角形的相似比为,
∴这两个三角形面积的比是,
故选:D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
16. 因式分解:x2-36= _________.
【答案】(x+6)(x-6)
【解析】
【分析】根据平方差公式解答即可.
【详解】解:x2-36=(x+6)(x-6);
故答案为:(x+6)(x-6).
【点睛】本题考查了多项式的因式分解,属于基础题目,掌握平方差公式是解答的关键.
17. 若点在反比例函数的图象上,则m的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质,根据点在反比例函数的图象上,代入计算即可.
【详解】解:由题意得:,
故答案为:.
18. 已知某校53名学生“希望杯排球比赛”成员的年龄与人数情况如表所示,那么“希望杯排球比赛”成员年龄的中位数是___________岁.
年龄(岁)
11
12
13
14
15
人数
5
5
16
15
12
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查中位数的定义,掌握中位数的求法是解题的关键.
根据中位数的定义求解即可.
【详解】解:将这53人的年龄从小到大排列后,处在中间位置的是第27个数为14岁,因此中位数是14岁.
故答案为:14.
19. 小昆为参加学校组织的元旦晚会,准备制作一顶圆锥形彩色纸帽,如图所示,如果纸帽的底面直径为,母线长为,那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为___________(结果保留).
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥的表面积,掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键.
先利用圆的周长公式求出底面周长,再根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可.
【详解】解:∵纸帽的底面直径为,母线长为,
∴底面周长,
∴侧面面积.
故答案为:.
三、解答题(本大题共8小题,共62分)
20. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂等知识点,掌握相关运算法则成为解题的关键.
先运用乘方、负整数次幂、零次幂、绝对值、特殊角的三角函数值化简,然后再计算即可.
【详解】解:
.
21. 如图,是的平分线,.试说明:.
【答案】
证明: 是的平分线,
.
在和中,
,
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义,解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件.
根据角平分线的定义得到,再结合已知的相等线段,利用全等三角形的判定定理证明,最后根据全等三角形的性质得出结论.
【详解】略
22. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措.某小区计划近期更换小区内照明灯,经过市场调研发现,种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元,且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同,求两种型号节能灯的单价.
【答案】A种型号节能灯的单价为25元,则甲型号节能灯的单价为15元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用,审清题意、正确列出分式方程是解题的关键.
设A种型号节能灯的单价为x元,则B型号节能灯的单价为元,根据“用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同”列分式方程求解即可.
【详解】解:设A种型号节能灯的单价为x元,则B型号节能灯的单价为元,
由题意可得:,
解得:,
经检验,是分式方程的解.
所以.
答:A种型号节能灯的单价为25元,则甲型号节能灯的单价为15元.
23. 在一个不透明的口袋里装有四小球分别标有汉字“我”表示为A,“爱”表示为,“中”表示为,“国”表示为.小球除汉字不同之外,没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.小颖从中任取一球,记下汉字后放回袋中,然后再从中任取一球,小颖取出的两个球上汉字分别记为和.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法,求所有可能出现的结果总数;
(2)求小颖两次摸球结果恰好能组合成“中国”的概率.
【答案】(1)
根据题画树状图如下:
由树状图可知:所有可能出现的结果总数为16.
16 (2)
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图求概率,正确画出树状图是解题的关键.
(1)直接根据题意画树状图即可解答;
(2)根据(1)画出的树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数,再用概率公式计算即可.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:由(1)的树状图可知:小颖两次摸球共有16中等可能结果,其中能组成中国的有2种,故小颖两次摸球结果恰好能组合成“中国”的概率为.
24. 如图所示,在中,是斜边上的中线,且,过点作交的延长线于点,交于点,连接.
(1)求证:四边形为菱形;
(2)若,且的周长为,求的面积.
【答案】(1)见解析;
(2)
【解析】
【分析】根据,,可证四边形是平行四边形,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明结论成立;
连接,可证四边形是平行四边形,设,,则有,,,整理可得:,从而可求菱形的面积是,根据菱形的性质可得的面积是,根据同底等高的三角形的面积相等,可得:的面积是.
【小问1详解】
证明:,,
四边形是平行四边形,
中,是斜边上的中线,
,
四边形是菱形;
【小问2详解】
解:如下图所示,连接,
四边形是菱形,
,
,
,
,
又,
四边形是平行四边形,
,
设,,
的周长为,
,,
,
两边同时平方可得:,
展开得:,
,
整理得:,
,
,
.
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式、完全平方公式,解决本题的关键是作辅助线构造平行四边形,利用平行四边形的性质得到菱形的对角线之间的关系,利用菱形的面积公式求出结果.
25. 某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器,其中甲型空气净化器进货价格为每台650元,乙型空气净化器进货价格为每台800元.该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器,共可获利1250元;销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器,共可获利370元.
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元?
(2)为满足大众需求,该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台,且资金不超过21000元,如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大?
【答案】(1)该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元,一台乙型空气净化器的利润是170元.
(2)该公司购买20台甲型空气净化器,10台乙型空气净化器时,才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大.
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,审清题意、正确列出二元一次方程组和函数关系式是解题的关键.
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元,根据“该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器,共可获利1250元,销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器,共可获利370元”列出关于x,y的二元一次方程组求解即可;
(2)设该公司购买甲型空气净化器m台,则购买乙型空气净化器台,然后利用总进价、进货单价、进货数量的关系并结合总进价不超过21000元,可列出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围;设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元,进而列出w关于m的函数关系式,最后利用一次函数的性质求最值即可解答.
【小问1详解】
解:(1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元,,
根据题意得:,解得:
答:该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元,一台乙型空气净化器的利润是170元.
【小问2详解】
解:设该公司购买甲型空气净化器m台,则购买乙型空气净化器台,
根据题意得:,解得:.
设购买的这30台自行车全部售出后总利润为w元,则,
即,
∵,
∴w随m的增大而减小,
∴当时,w取得最大值,此时(台).
答:该公司购买20台甲型空气净化器,10台乙型空气净化器时,才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大.
26. 已知抛物线,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大.设是抛物线与轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,.
(1)求的值.
(2)以下结论:,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
【答案】(1)
(2)
,证明如下:
∵设是抛物线与轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,
∴t是方程的解,
∴,则,,或
∴,
,
,
∴
,
,
∴,
当时,,即;
当时,
,即.
综上,.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质、二次函数与x轴的交点、解一元二次方程、分式的混合运算法则等知识点,灵活运用相关知识成为解题的关键.
(1)根据二次函数的增减性得到对称轴,即可求得b的值;
(2)是抛物线与轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,可得t是方程的解,则,,或,据此化简,然后代入化简并判断正负即可解答.最后根据不等式的性质即可解答.
【小问1详解】
解:∵抛物线,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大,
∴直线是抛物线的对称轴,
∴,解得:.
【小问2详解】
略
27. 如图所示,在中,,,,线段是边上的中线,点,分别在边上,且,连接,交于点.点三点所在圆记作.
(1)求的长;
(2)若,求证:是的切线;
(3)在(2)的条件下,求的值.
【答案】(1)10 (2)
证明:连接,
∵三点所在圆记作,且,
∴是的直径,
∵,
∴,
∴点在上,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵点在上,
∴是的切线;
(3)
【解析】
【分析】(1)直接利用勾股定理求解即可;
(2)先证明点在上,再证明,推出,利用等角的余角相等证明,推出,即可证明结论成立;
(3)过点D作于点H,勾股定理求出,根据是边上的中线,得到,由,求出,,根据勾股定理得到,设,则,求出,,解直角三角形求出,进而求出,证明,得到,同理证明,得到,求出,即可求解.
【小问1详解】
解:∵在中,,,,
∴;
【小问2详解】
略.
【小问3详解】
解:过点D作于点H,
∵在中,,,,
∴,
∵是边上的中线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
设,则,
∴,整理得:,
解得:,即,
∴,
∴,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,解直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
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2025年文山市第二学区学业水平考试
数学仿真卷(一)
(全卷三个大题,共27小题;满分:100分,考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共15小题,每小题只有一个正确选项,每小题2分,共30分)
1. 中国是世界上最早使用负数的国家,战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数.如果公元前500年记作年,那么公元后2025年记作( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
2. 如图所示,直线与直线分别相交,且,,则的度数为( )
A. B. C. D.
3. 2024年12月29日,2024上合昆明马拉松在昆明滇池之畔云南海埂会堂前鸣枪开跑,来自全球34个国家和地区的26000名跑者在高原赛道展开角逐.将数据26000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下面运动标识图案中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则这个不等式组的解集为( )
A. B. C. D.
6. 下列计结果为 a10的是( )
A. a6+ a4 B. a11- a C. a5·a2 D. a12÷a2
7. 数学课上,老师制作了一个数学模型,让同学们从前面、左面、上面观察该模型,小红同学观察之后得到的三视图如图所示,则该模型是( )
A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 圆锥
8. 要使二次根式有意义,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 一个边形的内角和等于,则的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 按照一定规律排列的多项式:.则第个多项式是( )
A. B. C. D.
11. 如图所示,四边形内接于,连接,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
12. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
13. 如图所示,电线杆的高度为5米,两根拉线与交于点在同一条直线上,,则拉线的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
14. 某校计划举行一场体育比赛,为了解学生对不同体育项目的喜爱情况,学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查,规定每人只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一个,并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).下列说法正确的是( )
A. 本次调查采用的是全面调查
B. 在这次调查中,该校一共调查了180名学生
C. “跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是
D. 在这次调查中,选择足球项目的学生有50名
15. 若两个相似三角形的相似比为,则这两个三角形面积的比是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题2分,共8分)
16. 因式分解:x2-36= _________.
17. 若点在反比例函数的图象上,则m的值为______.
18. 已知某校53名学生“希望杯排球比赛”成员的年龄与人数情况如表所示,那么“希望杯排球比赛”成员年龄的中位数是___________岁.
年龄(岁)
11
12
13
14
15
人数
5
5
16
15
12
19. 小昆为参加学校组织的元旦晚会,准备制作一顶圆锥形彩色纸帽,如图所示,如果纸帽的底面直径为,母线长为,那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为___________(结果保留).
三、解答题(本大题共8小题,共62分)
20. 计算:.
21. 如图,是的平分线,.试说明:.
22. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措.某小区计划近期更换小区内照明灯,经过市场调研发现,种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元,且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同,求两种型号节能灯的单价.
23. 在一个不透明的口袋里装有四小球分别标有汉字“我”表示为A,“爱”表示为,“中”表示为,“国”表示为.小球除汉字不同之外,没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.小颖从中任取一球,记下汉字后放回袋中,然后再从中任取一球,小颖取出的两个球上汉字分别记为和.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法,求所有可能出现的结果总数;
(2)求小颖两次摸球结果恰好能组合成“中国”的概率.
24. 如图所示,在中,是斜边上的中线,且,过点作交的延长线于点,交于点,连接.
(1)求证:四边形为菱形;
(2)若,且的周长为,求的面积.
25. 某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器,其中甲型空气净化器进货价格为每台650元,乙型空气净化器进货价格为每台800元.该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器,共可获利1250元;销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器,共可获利370元.
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元?
(2)为满足大众需求,该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台,且资金不超过21000元,如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大?
26. 已知抛物线,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大.设是抛物线与轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,.
(1)求的值.
(2)以下结论:,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
27. 如图所示,在中,,,,线段是边上的中线,点,分别在边上,且,连接,交于点.点三点所在圆记作.
(1)求的长;
(2)若,求证:是的切线;
(3)在(2)的条件下,求的值.
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