信息必刷卷04（浙江专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：基于去年的统考真题以及现在各个学校的模拟卷考情分析，25年作为全省统考的第二年，整体会延续 24年中考数学的风格并加以一些创新，以及加重视探究性、开放性、应用性与综合性。试题也会重视对考生的数学思维，创新思维以及解决实际问题的能力进行考查，以本套模拟试卷为例，第 23 题以项目式学习的形式呈现，给定关于小路、水池和栅栏的素材，要求学生解决不同设计方案下花圃面积相关的问题。这不仅考查了学生对矩形、正方形等几何图形面积计算的基础知识点，还需要学生从实际情境中抽象出数学模型，自主分析不同条件下的数量关系，进而探究解题思路，充分体现了对学生数学思维、创新思维以及解决实际问题能力的考查。这种题型的出现，反映出中考命题不再局限于传统的知识记忆与简单应用，而是鼓励学生在复杂情境中深入思考、大胆创新，灵活运用所学知识解决各类实际问题，预计在 2025 年中考中，此类具有探究性、开放性的题目占比将进一步提升。 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对结合实际情况的考点进行探究性出题。 中考·新情境：在命题情景方面，2025 年中考数学极有可能紧密围绕当下社会热点关注话题进行创设。虽然本卷未直接涉及如 deepseek 大火、哪吒电影破票房纪录这类具体热点，但从整体趋势来看，诸如科技前沿成果、文化艺术领域的重大事件、社会民生热点等都可能成为命题素材。例如，随着环保理念的深入人心，以垃圾分类统计为背景考查概率与统计知识；或是结合电商购物节的促销活动，考查方程与不等式在实际消费场景中的应用。通过将这些热点话题融入题目，能使考试内容更贴近学生生活实际，激发学生的解题兴趣，同时也考查了学生运用数学知识分析和解决现实问题的能力，体现了数学学科的实用性与时代性。 命题·大预测：知识板块：2025 年中考仍将以 “数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“函数”“概率与统计” 为核心进行命题考查，这在本套模拟试卷中体现得十分明显。“数与代数” 板块涵盖有理数大小比较（第 1 题）、科学记数法（第 2 题）、整式运算（第 4 题）、一次函数性质（第 7 题）等基础内容；“方程与不等式” 板块通过实际运煤问题考查方程的应用（第 6 题），以及根据不等式正整数解确定参数范围（第 12 题）；“图形与几何” 板块涉及几何体视图（第 3 题）、相似三角形性质（第 8 题）、圆的相关知识（第 10 题、第 24 题）等众多几何重点知识；“概率与统计” 板块则借助转盘问题考查概率计算（第 5 题），以及通过竞赛成绩统计考查数据分析（第 18 题）。这表明考生在备考过程中，需要对各个知识板块进行系统梳理，构建完整的知识体系，确保对基础知识的扎实掌握。 难度分布：整体试题难度预计继续保持基础题、中档难度和高难度试题 6:3:1 的分布格局。基础题注重考查考生对基础知识点的理解与掌握，部分题目可能结合社会热点，以增加题目的趣味性与实用性，如以环保活动参与人数统计考查科学记数法等。本卷中的第 1 - 5 题、第 11 - 13 题等都属于此类，考生只要熟练掌握基础知识，就能顺利得分。中档难度题目侧重于知识的应用与推理，需要考生具备一定的分析问题和解决问题的能力。例如第 22 题，将正方形与一次函数相结合，要求学生根据已知条件求出四边形面积的函数关系式，并确定直线将正方形面积平分时的函数表达式，以及探究等腰三角形存在性问题，这需要考生灵活运用几何图形性质与函数知识，建立不同知识之间的联系来解题。高难度试题主要集中在几何图形与函数的综合部分，对学生的综合能力要求极高。如第 10 题，在圆的背景下，通过翻折问题考查三角函数、勾股定理等知识，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力；第 24 题以圆为载体，综合考查圆周角定理、垂径定理、角平分线的判定以及相似三角形等知识，需要学生对初中阶段重点几何知识有深入理解，并能在复杂图形中准确找到解题思路。这就要求考生在备考时，针对不同难度层次的题目进行有针对性的训练，提升自己的综合解题能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有理数中比﹣1小的是（　　） A．2 B．0 C．﹣3 D．1 2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（　　） A．45×108 B．4.5×109 C．4.5×108 D．4.5×1010 3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 6．某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下14吨，设一共运煤x吨，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是（　　） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜3 D．x＞3 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 9．直线y＝ax+b经过点（﹣4，0），对于函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的描述正确的是（　　） A．直线y＝ax+b从左到右上升 B．抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2 C．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx一定有交点 D．当x≥2时，抛物线y＝ax2+bx从左到右上升 10．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在实数范围内分解因式：4x2﹣12＝　 　． 12．若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　 　． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　 　． 14．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD（AD和BC的圆心为点O），A为OB的中点，BC＝OB＝8dm，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为 　 　dm2． 15．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　 　；BM的长为　 　． 16．如图，已知三角形的顶点C在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在反比例函数位于第四象限的图象上，BC边与x轴交于点D，CD＝2BD，AC边与y轴交于点E，AE＝CE，若△ABD面积为，则k＝　 　． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y，其中x＝﹣2，y＝1． 18．（6分）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　，七年级活动成绩的众数为 　 　分． （2）a＝　 　，b＝　 　． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 19．（8分）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线AM交CD于点N．经测量，点A距地面1.8m，到旗杆PQ的距离AE＝5m． （1）若点N于点C重合，则旗杆PQ的高度为 　 　m； （2）若DN＝20cm，求旗杆PQ的高度．（结果精确到0.1m） 20．（8分）如图，已知一次函数y1＝mx+n的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为（﹣4，1），A是线段BC的中点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出当y1≥y2时，自变量x的取值范围． 21．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD•CD． （2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长． 22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上，且AE＝1．点F为边CD上一动点，且DF＝m，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）连接EF，求四边形AEFD的面积s关于m的函数关系式； （2）若直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分：求此时直线EF对应的函数关系式； （3）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使△PCE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）项目式学习：根据素材回答问题． 素材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4m，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10m，AD与OP的距离为8m． 素材2 现利用两条小路，再购置30m长的栅栏（图中用细实线表示）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图②的设计，若EF＝16m，则花圃的面积为 　 　．（不包含水池的面积） 任务2 若按如图③设计方案，点C，D，H三点共线，点G在BC上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为269m2时，求EF的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③设计方案，当EF的长是 　 　m时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，是 　 　m2． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷04（浙江专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B A B C C C 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 4（x+）（x﹣） 12．14 13．3 14． 8π 15．， 16．﹣3.5 三、解答题:本大题有8个小题,共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分） 【解析】解：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y ＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+4y2）÷2y ＝（﹣4xy+8y2）÷2y ＝﹣4xy÷2y+8y2÷2y ＝﹣2x+4y， 当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣2×（﹣2）+4×1＝8． 18．（6分） 【解析】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分人数为10×50%＝5 （人）， 成绩为9分的人数为10×20%＝2（人）， 成绩为10分的人数为10×20%＝2（人）， 则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人） ∵出现次数最多的为8分， ∴七年级活动成绩的众数为8分 故答案为：1；8． （2）将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数， ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9， ∴第5个和第6个数据分别为8分，9分， ∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人）， ∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人）， 成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人） 即a＝2，b＝3， 故答案为：2；3； （3）不是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率， 七年级的平均成绩为（分） 八年级的平均成绩为（分） ∵40%＜50%，8.5＞8.3， ∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 19．（8分） 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝45°， ∵∠CAE＝90°， ∴∠PAE＝45°， ∵∠AEP＝90°，AE＝5m， ∴PE＝AE＝5m， ∴PQ＝PE+EQ＝5+1.8＝6.8（m）， 答：旗杆PQ的高度为6.8m； 故答案为：6.8； （2）由题意可知，∠DAP＝∠MAE＝∠BAD＝90°，EQ＝1.8m， 则∠PAE+∠DAE＝∠DAE+∠DAN＝90°， ∴∠PAE＝∠DAN， ∵AB＝AD＝30cm，DN＝20cm， 则tan∠PAE＝＝， ∴tan∠PAE＝＝tan∠DAN＝， ∵AE＝5m， 则， ∴PE＝， ∴PQ＝PE+EQ＝≈5.1m． 答：旗杆PQ的高度5.1m． 20．（8分） 【解析】解：（1）将点C坐标（﹣4，1）代入， 得：＝1， 解得k＝﹣4， 即反比例函数解析式为：y2＝﹣； ∵点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点C的坐标（﹣4，1）， ∴B点坐标为（0，﹣1），A点坐标为（﹣2，0）， 将B（0，﹣1）、C（﹣4，1）代入一次函数y1＝mx+n， 得：， 解得：， 即一次函数解析式为：y1＝﹣x﹣1； （2）∵B（0，﹣1）， ∴OB＝1， 联立， 解得或， 即D的坐标（2，﹣2）． 又∵C（﹣4，1）， 则△COD的面积是S＝＝×1×（2+4）＝3； （3）观察图象，当y1≥y2时，自变量x的取值范围是：x≤﹣4或0＜x≤2． 21．（10分） 【解析】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴BD：CD＝AD：BD， ∴BD2＝AD•CD； （2）解：∵BM∥CD， ∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC， 而∠MDB＝∠CDB， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴MB＝MD， ∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°， ∴∠A＝∠ABM， ∴MA＝MB， ∴MA＝MB＝MD＝AD＝4， ∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝8×6＝48，BD＝4， ∵BM∥CD， ∴＝＝， ∴ ∴ ∴DN＝． 22．（10分） 【解析】解：（1）如图所示： 连接EF，根据梯形面积的求法s＝0.5×（AE+DF）×AD， 可得：s＝2m+2； （2）正方形的面积为16，因为直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分， 所以梯形面积为s＝8，所以m＝3， 所以F的坐标为（3，4），又因为E的坐标（1，0）， 设EF的解析式为y＝kx+b，将E和F的坐标代入可得 y＝2x﹣2； （3）CE长为5， 当C为顶点时，CP长为5，P在AD上，根据勾股定理可知AP＝1， 所以P的坐标为（0，1）， 当E为顶点时，PE＝5，不存在点P， 当P为顶点时，P在CB上，CP＝PE， 设BP＝x，根据勾股定理列出等量关系式：（4﹣x）2＝9+x2， 解得x＝0.875，所以P的坐标（4，0.875）， P在AD上，同理可以求的AP＝3.875， 所以P的坐标为（0，3.875）， 所以P的坐标为（0，1），（4，0.875），（0，3.875）． 23．（12分） 【解析】解：任务1：如图2，根据矩形面积公式和正方形面积公式求解如下： ∵EF＝16m，则FG＝30﹣16＝14（m）， 矩形OEFG面积为16×14＝224（m2）， 224﹣16＝208（m2）， 答：面积为208m2； 任务2：由图3，延长CB交OQ于点M， 设CG＝x， ∵MC＝AM+BC＝14，DH＝8 ∴EF＝AG＝MC﹣CG＝14﹣x，GF＝30﹣（14﹣x）﹣8＝8+x， 花圃面积（x+8）（14﹣x）+12×14﹣4×4＝﹣x2+6x+264＝269， 即x2﹣6x+5＝0， 解得：x＝1或x＝5（舍去）， ∴EF＝14﹣1＝13； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得y＝﹣x2+6x+264，即y＝﹣（x﹣3）2+273， ∵﹣1＜0， ∴当x＝3时，y有最大值为273， 答：当EF的长是3m，花圃最大面积是273m2． 24．（12分） 【解析】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H． ∵CD⊥AB， ∴＝， ∴∠BAC＝∠BAD＝20°， ∵AB⊥CD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°， ∴∠AFC＝∠ADH＝70°． （2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴＝ ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD， ∴∠AFC＝∠AFE， 即AF平分∠CFE． （3）解：如图2中，设AB交CD于H． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝2， ∵OC＝，∠OHC＝90°， ∴OH＝＝＝， ∴AH＝OH+OA＝4， ∴AC＝＝＝2， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝∠AHC＝90°， ∴AH∥DE， ∵CH＝HD， ∴AC＝AE， ∴CE＝2AC＝4． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷04 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：基于去年的统考真题以及现在各个学校的模拟卷考情分析，25年作为全省统考的第二年，整体会延续 24年中考数学的风格并加以一些创新，以及加重视探究性、开放性、应用性与综合性。试题也会重视对考生的数学思维，创新思维以及解决实际问题的能力进行考查，以本套模拟试卷为例，第 23 题以项目式学习的形式呈现，给定关于小路、水池和栅栏的素材，要求学生解决不同设计方案下花圃面积相关的问题。这不仅考查了学生对矩形、正方形等几何图形面积计算的基础知识点，还需要学生从实际情境中抽象出数学模型，自主分析不同条件下的数量关系，进而探究解题思路，充分体现了对学生数学思维、创新思维以及解决实际问题能力的考查。这种题型的出现，反映出中考命题不再局限于传统的知识记忆与简单应用，而是鼓励学生在复杂情境中深入思考、大胆创新，灵活运用所学知识解决各类实际问题，预计在 2025 年中考中，此类具有探究性、开放性的题目占比将进一步提升。 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对结合实际情况的考点进行探究性出题。 中考·新情境：在命题情景方面，2025 年中考数学极有可能紧密围绕当下社会热点关注话题进行创设。虽然本卷未直接涉及如 deepseek 大火、哪吒电影破票房纪录这类具体热点，但从整体趋势来看，诸如科技前沿成果、文化艺术领域的重大事件、社会民生热点等都可能成为命题素材。例如，随着环保理念的深入人心，以垃圾分类统计为背景考查概率与统计知识；或是结合电商购物节的促销活动，考查方程与不等式在实际消费场景中的应用。通过将这些热点话题融入题目，能使考试内容更贴近学生生活实际，激发学生的解题兴趣，同时也考查了学生运用数学知识分析和解决现实问题的能力，体现了数学学科的实用性与时代性。 命题·大预测：知识板块：2025 年中考仍将以 “数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“函数”“概率与统计” 为核心进行命题考查，这在本套模拟试卷中体现得十分明显。“数与代数” 板块涵盖有理数大小比较（第 1 题）、科学记数法（第 2 题）、整式运算（第 4 题）、一次函数性质（第 7 题）等基础内容；“方程与不等式” 板块通过实际运煤问题考查方程的应用（第 6 题），以及根据不等式正整数解确定参数范围（第 12 题）；“图形与几何” 板块涉及几何体视图（第 3 题）、相似三角形性质（第 8 题）、圆的相关知识（第 10 题、第 24 题）等众多几何重点知识；“概率与统计” 板块则借助转盘问题考查概率计算（第 5 题），以及通过竞赛成绩统计考查数据分析（第 18 题）。这表明考生在备考过程中，需要对各个知识板块进行系统梳理，构建完整的知识体系，确保对基础知识的扎实掌握。 难度分布：整体试题难度预计继续保持基础题、中档难度和高难度试题 6:3:1 的分布格局。基础题注重考查考生对基础知识点的理解与掌握，部分题目可能结合社会热点，以增加题目的趣味性与实用性，如以环保活动参与人数统计考查科学记数法等。本卷中的第 1 - 5 题、第 11 - 13 题等都属于此类，考生只要熟练掌握基础知识，就能顺利得分。中档难度题目侧重于知识的应用与推理，需要考生具备一定的分析问题和解决问题的能力。例如第 22 题，将正方形与一次函数相结合，要求学生根据已知条件求出四边形面积的函数关系式，并确定直线将正方形面积平分时的函数表达式，以及探究等腰三角形存在性问题，这需要考生灵活运用几何图形性质与函数知识，建立不同知识之间的联系来解题。高难度试题主要集中在几何图形与函数的综合部分，对学生的综合能力要求极高。如第 10 题，在圆的背景下，通过翻折问题考查三角函数、勾股定理等知识，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑推理能力；第 24 题以圆为载体，综合考查圆周角定理、垂径定理、角平分线的判定以及相似三角形等知识，需要学生对初中阶段重点几何知识有深入理解，并能在复杂图形中准确找到解题思路。这就要求考生在备考时，针对不同难度层次的题目进行有针对性的训练，提升自己的综合解题能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有理数中比﹣1小的是（　　） A．2 B．0 C．﹣3 D．1 【分析】先根据正数大于0，0大于负数的性质，比较选项中数的大小，再根据两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【解答】解：∵正数大于0，0大于负数， ∴﹣3＜0＜1＜2， ∵|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，3＞1， ∴﹣3＜﹣1， ∴﹣3＜﹣1＜0＜1＜2， ∴选项中的有理数比﹣1小的是﹣3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（　　） A．45×108 B．4.5×109 C．4.5×108 D．4.5×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4500000000＝4.5×109． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图． 【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右端是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键． 4．下列各式中，计算正确的是（　　） A．a2+a4＝a6 B．a3•a3＝2a3 C．（a3）2＝a6 D．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 【分析】利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a2与a4不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； B、a3•a3＝a3+3＝a6，原选项计算错误，不符合题意； C、（a3）2＝a6，原选项计算正确，符合题意； D、（﹣2xy）3＝﹣8x3y3，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率． 【解答】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份， ∴指针落在灰色区域的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率的求法，熟知首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率是解题的关键． 6．某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下14吨，设一共运煤x吨，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下14吨”可得出相应的一元一次方程． 【解答】解：根据题意得：x+×x＝x﹣14． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题干信息找出等量关系并据此列式是解题的关键． 7．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当y＜5时，x的取值范围是（　　） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜3 D．x＞3 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，当y＜5时，x＞0． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由＝，求得＝，则＝，所以S△BCD＝S△ACD，由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，则＝＝＝，＝＝，可判断A不符合题意，B不符合题意；由＝，得S△ADE＝S△ACD，则＝≠，可判断C符合题意；而S△CDE＝S△ACD﹣S△ADE＝S△ACD，可求得＝，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵＝， ∴＝＝， ∴＝， ∴S△BCD＝S△ACD， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝＝，＝＝， 故A不符合题意，B不符合题意； ∴＝， ∴S△ADE＝S△ACD， ∴＝＝≠， 故C符合题意； ∵S△CDE＝S△ACD﹣S△ADE＝S△ACD﹣S△ACD＝S△ACD， ∴＝＝， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键． 9．直线y＝ax+b经过点（﹣4，0），对于函数y＝ax+b与y＝ax2+bx的描述正确的是（　　） A．直线y＝ax+b从左到右上升 B．抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝2 C．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx一定有交点 D．当x≥2时，抛物线y＝ax2+bx从左到右上升 【分析】根据题目中的函数解析式，可以得到a、b的关系，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣4，0）， ∴0＝﹣4a+b， ∴b＝4a， ∵a、b的正负情况不确定， ∴直线y＝ax+b从左到右的变化趋势不确定，故选项A不符合题意；当x≥2时，抛物线y＝ax2+bx的变化趋势不确定，故选项D不符合题意； 抛物线y＝ax2+bx的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选项B不符合题意； ∵直线y＝ax+b过点（1，a+b），y＝ax2+bx过点（1，a+b）， ∴直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx一定有交点，故选项C符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答． 10．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA＝，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 【分析】连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，根据圆周角定理求出∠EAH＝90°，解直角三角形求出AH＝4，根据勾股定理求出EH＝2，根据垂径定理求出AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB， ∵EH是⊙O的直径， ∴∠EAH＝90°， ∴tan∠AHE＝， ∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA＝， ∴tan∠AHE＝tan∠CBA＝， ∴＝， ∵AE＝2， ∴AH＝4， ∴EH＝＝2， ∴⊙O的半径为， ∴OG＝OB＝， ∵OG⊥AB于F， ∴AB＝2BF， 根据折叠的性质得，OF＝GF， ∴OF＝OG＝， ∴BF＝＝， ∴AB＝， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、垂径定理、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、垂径定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在实数范围内分解因式：4x2﹣12＝　4（x+）（x﹣）　． 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：4x2﹣12 ＝4（x2﹣3） ＝4（x+）（x﹣）． 故答案为：4（x+）（x﹣）． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握3＝（）2是解题的关键． 12．若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　14　． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：不等式的解集是：x≤， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4， ∴4≤＜5， ∴a的取值范围是14≤a＜17． ∴整数a的最小值是14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　3　． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，求出AC，根据S菱形ABCD＝24求出BD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC， ∵OA＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∵S菱形ABCD＝24， ∴×8×BD＝24， 解得：BD＝6， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， ∵DO＝BO， ∴OH＝BD＝×6＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半． 14．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD（AD和BC的圆心为点O），A为OB的中点，BC＝OB＝8dm，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为 　8π　dm2． 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵BC＝OB＝8dm，OB＝OC，A为OB的中点， ∴△BOC为等边三角形，OA＝4dm， ∴∠BOC＝60°， ∴； 故答案为：8π． 【点睛】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式． 15．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF并延长，交BC于点M．若S正方形ABCD＝5，E为AF中点，则DF的长为　　；BM的长为　　． 【分析】根据SAS证明△AED≌△FED得出DF＝AD，根据勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵E为AF中点， ∴EF＝AF＝AE， 又∵∠AED＝∠FED＝90°，DE＝DE， ∴△AED≌△FED（SAS）， ∴DF＝AD， ∵S正方形ABCD＝5， ∴DF＝AD＝， ∵DE∥BG， ∴∠EDF＝∠DFG， ∵∠FBM＝∠EDF，∠DFG＝∠BFM， ∴∠FBM＝∠BFM， ∴BM＝FM， ∵DM2＝CM2+CD2， ∴（DF+BM）2＝CD2+（BC﹣BM）2， ∴， ∴BM＝， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△AED≌△FED是解题的关键． 16．如图，已知三角形的顶点C在反比例函数位于第一象限的图象上，顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在反比例函数位于第四象限的图象上，BC边与x轴交于点D，CD＝2BD，AC边与y轴交于点E，AE＝CE，若△ABD面积为，则k＝　﹣3.5　． 【分析】分别过C、B作x轴的垂线，再证明三角形相似，利用其性质及三角形是面积公式求解． 【解答】解：过C作CF⊥AD于F，过B作BH⊥AD于点H，如图示： 设C（x，）（x＞0），则OF＝x，CF＝， ∴OE∥CF∥BH， ∴△AOE∽△AFC，△CDF∽△BDH， ∵CD＝2BD，AE＝CE， ∴AF＝2x，BH＝， ∴B（﹣，﹣）， ∴OH＝﹣， ∴DF＝FH＝（﹣﹣x）＝﹣﹣x， ∴×AD×BH＝×（2x﹣﹣x）•＝， 解得：k＝﹣3.5， 故答案为：﹣3.5． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算及三角形的面积公式是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y，其中x＝﹣2，y＝1． 【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以将括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷2y ＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+4y2）÷2y ＝（﹣4xy+8y2）÷2y ＝﹣4xy÷2y+8y2÷2y ＝﹣2x+4y， 当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣2×（﹣2）+4×1＝8． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（6分）某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　1　，七年级活动成绩的众数为 　8　分． （2）a＝　2　，b＝　3　． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，则根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【分析】（1）分别求得成绩为（8分），（9分），（10分）的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩头（7分）的学生数，然后根据众数定义即可求得众数； （2）根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，9，再根据表格中数据即可求得答案； （3）结合（1）（2）中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可， 【解答】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分人数为10×50%＝5 （人）， 成绩为9分的人数为10×20%＝2（人）， 成绩为10分的人数为10×20%＝2（人）， 则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人） ∵出现次数最多的为8分， ∴七年级活动成绩的众数为8分 故答案为：1；8． （2）将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数， ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9， ∴第5个和第6个数据分别为8分，9分， ∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人）， ∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人）， 成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人） 即a＝2，b＝3， 故答案为：2；3； （3）不是，理由如下： 结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为， 八年级的优秀率， 七年级的平均成绩为（分） 八年级的平均成绩为（分） ∵40%＜50%，8.5＞8.3， ∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高． 【点睛】本题主要考查扇形统计图相关知识，众数，中位数及平均数的求法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 19．（8分）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线AM交CD于点N．经测量，点A距地面1.8m，到旗杆PQ的距离AE＝5m． （1）若点N于点C重合，则旗杆PQ的高度为 　6.8　m； （2）若DN＝20cm，求旗杆PQ的高度．（结果精确到0.1m） 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，得到∠PAE＝45°，求得PE＝AE＝5m，于是得到结论； （2）由题意可知，∠DAP＝∠MAE＝∠BAD＝90°，EQ＝1.8m，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝45°， ∵∠CAE＝90°， ∴∠PAE＝45°， ∵∠AEP＝90°，AE＝5m， ∴PE＝AE＝5m， ∴PQ＝PE+EQ＝5+1.8＝6.8（m）， 答：旗杆PQ的高度为6.8m； 故答案为：6.8； （2）由题意可知，∠DAP＝∠MAE＝∠BAD＝90°，EQ＝1.8m， 则∠PAE+∠DAE＝∠DAE+∠DAN＝90°， ∴∠PAE＝∠DAN， ∵AB＝AD＝30cm，DN＝20cm， 则tan∠PAE＝＝， ∴tan∠PAE＝＝tan∠DAN＝， ∵AE＝5m， 则， ∴PE＝， ∴PQ＝PE+EQ＝≈5.1m． 答：旗杆PQ的高度5.1m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到∠PAE＝∠DAN是解决问题的关键． 20．（8分）如图，已知一次函数y1＝mx+n的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为（﹣4，1），A是线段BC的中点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△COD的面积； （3）直接写出当y1≥y2时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）将点C坐标（﹣4，1）代入，即可求出反比例函数解析式；根据点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，求出B点坐标为（0，﹣1），A点坐标为（﹣2，0），再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）联立得到，求出D的坐标（2，﹣2）．再利用△COD的面积是S＝即可作答； （3）根据图象，数形结合即可作答． 【解答】解：（1）将点C坐标（﹣4，1）代入， 得：＝1， 解得k＝﹣4， 即反比例函数解析式为：y2＝﹣； ∵点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点C的坐标（﹣4，1）， ∴B点坐标为（0，﹣1），A点坐标为（﹣2，0）， 将B（0，﹣1）、C（﹣4，1）代入一次函数y1＝mx+n， 得：， 解得：， 即一次函数解析式为：y1＝﹣x﹣1； （2）∵B（0，﹣1）， ∴OB＝1， 联立， 解得或， 即D的坐标（2，﹣2）． 又∵C（﹣4，1）， 则△COD的面积是S＝＝×1×（2+4）＝3； （3）观察图象，当y1≥y2时，自变量x的取值范围是：x≤﹣4或0＜x≤2． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． 21．（10分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD•CD． （2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长． 【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论； （2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再根据BM∥CD，得出＝＝， 计算出DN的长． 【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴BD：CD＝AD：BD， ∴BD2＝AD•CD； （2）解：∵BM∥CD， ∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC， 而∠MDB＝∠CDB， ∴∠MBD＝∠MDB， ∴MB＝MD， ∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°， ∴∠A＝∠ABM， ∴MA＝MB， ∴MA＝MB＝MD＝AD＝4， ∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝8×6＝48，BD＝4， ∵BM∥CD， ∴＝＝， ∴ ∴ ∴DN＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了勾股定理． 22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上，且AE＝1．点F为边CD上一动点，且DF＝m，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）连接EF，求四边形AEFD的面积s关于m的函数关系式； （2）若直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分：求此时直线EF对应的函数关系式； （3）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使△PCE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据梯形面积的求法s＝0.5×（AE+DF）×AD，列出s关于m的函数关系式即可； （2）根据题意算出DF的长度，然后即可求出F的坐标，已知E的坐标，即可求出直线EF对应的函数关系式； （3）分别取三个点作为定点，然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的P的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： 连接EF，根据梯形面积的求法s＝0.5×（AE+DF）×AD， 可得：s＝2m+2； （2）正方形的面积为16，因为直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分， 所以梯形面积为s＝8，所以m＝3， 所以F的坐标为（3，4），又因为E的坐标（1，0）， 设EF的解析式为y＝kx+b，将E和F的坐标代入可得 y＝2x﹣2； （3）CE长为5， 当C为顶点时，CP长为5，P在AD上，根据勾股定理可知AP＝1， 所以P的坐标为（0，1）， 当E为顶点时，PE＝5，不存在点P， 当P为顶点时，P在CB上，CP＝PE， 设BP＝x，根据勾股定理列出等量关系式：（4﹣x）2＝9+x2， 解得x＝0.875，所以P的坐标（4，0.875）， P在AD上，同理可以求的AP＝3.875， 所以P的坐标为（0，3.875）， 所以P的坐标为（0，1），（4，0.875），（0，3.875）． 【点睛】本题主要考查对于一次函数的应用，还考查到了对与等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用． 23．（12分）项目式学习：根据素材回答问题． 素材1 如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4m，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10m，AD与OP的距离为8m． 素材2 现利用两条小路，再购置30m长的栅栏（图中用细实线表示）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），小路和水池部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图②的设计，若EF＝16m，则花圃的面积为 　208m2　．（不包含水池的面积） 任务2 若按如图③设计方案，点C，D，H三点共线，点G在BC上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为269m2时，求EF的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图③设计方案，当EF的长是 　3　m时，围成的花圃（不包含水池）的面积最大，是 　273　m2． 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设CG＝x，则EF＝14﹣x，GF＝30﹣（14﹣x）﹣8＝8+x，由题意可得花圃面积（x+8）（14﹣x）+12×14﹣4×4＝﹣x2+6x+264＝269，求解即可； 任务3：设花圃面积为y，由（2）得y＝﹣x2+6x+264，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：任务1：如图2，根据矩形面积公式和正方形面积公式求解如下： ∵EF＝16m，则FG＝30﹣16＝14（m）， 矩形OEFG面积为16×14＝224（m2）， 224﹣16＝208（m2）， 答：面积为208m2； 任务2：由图3，延长CB交OQ于点M， 设CG＝x， ∵MC＝AM+BC＝14，DH＝8 ∴EF＝AG＝MC﹣CG＝14﹣x，GF＝30﹣（14﹣x）﹣8＝8+x， 花圃面积（x+8）（14﹣x）+12×14﹣4×4＝﹣x2+6x+264＝269， 即x2﹣6x+5＝0， 解得：x＝1或x＝5（舍去）， ∴EF＝14﹣1＝13； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得y＝﹣x2+6x+264，即y＝﹣（x﹣3）2+273， ∵﹣1＜0， ∴当x＝3时，y有最大值为273， 答：当EF的长是3m，花圃最大面积是273m2． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE． （1）若∠BAC＝20°，求∠AFC的度数． （2）求证：FA平分∠CFE． （3）若AB＝5，CD＝4，且CF经过圆心O，求CE的长． 【分析】（1）如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．求出∠ADC即可解决问题． （2）想办法证明∠ACD＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC即可解决问题． （3）解直角三角形求出AC，再证明AC＝AE，即可解决问题． 【解答】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H． ∵CD⊥AB， ∴＝， ∴∠BAC＝∠BAD＝20°， ∵AB⊥CD， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°， ∴∠AFC＝∠ADH＝70°． （2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD， ∴＝ ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝∠ACD， ∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD， ∴∠AFC＝∠AFE， 即AF平分∠CFE． （3）解：如图2中，设AB交CD于H． ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝2， ∵OC＝，∠OHC＝90°， ∴OH＝＝＝， ∴AH＝OH+OA＝4， ∴AC＝＝＝2， ∵CF是直径， ∴∠CDF＝∠AHC＝90°， ∴AH∥DE， ∵CH＝HD， ∴AC＝AE， ∴CE＝2AC＝4． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练应用垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考压轴题． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$