信息必刷卷05（浙江专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷05（浙江专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C A B B B A 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11．6；30 12． 13．②③ 14． 14 15．47 16．2﹣或﹣2≤t＜0 三、解答题:本大题有8个小题,共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分） 【解析】解：小明的解法从第一步开始出现错误； 3x2﹣8x（x﹣2）＝0， x[3x﹣8（x﹣2）]＝0， x（﹣5x+16）＝0， 解得：x1＝0，． 18．（6分） 【解析】解：（1）将图中费用重新排列为：570、580、600、600、620， 所以其众数为600元，中位数为600元； （2）将宾馆服务、路线规划、安全措施赋予不同的“权”为：4：3：3， 则金秋旅行社的最终得分为＝88（分）， 万事达旅行社的最终得分为＝87.5（分）， 太平洋旅行社的最终得分为＝87.9（分）， ∵88＞87.9＞87.5， ∴从高到低排名顺序为：金秋、太平洋、万事达（答案不唯一）． 19．（8分） 【解析】（1）证明：由题可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0， 所以无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系得：a+b＝m，ab＝m﹣1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m﹣1）＝1， ∴（m﹣1）2＝0， 解得m＝1． 20．（8分） 【解析】（1）证明：根据四边形的内角和等于360°得：∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴180°+∠ABC+∠ADC＝360°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°； （2）DE与BF的位置关系是：DE⊥BF，证明如下： 如图①所示： ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， 在△ADB和△CDB中， ∠A＝∠C＝90°，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB， ∴△ADB≌△CDB（AAS）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠ABC， ∵BF平分∠CBM， ∴∠CBF＝∠CBM， ∴∠CBD+∠CBF＝（∠ABC+∠CBM）， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠CBD+∠CBF＝90°， ∴BD⊥BF， 即BE⊥BF； （3）BF与DE的位置关系是：DE∥BF，证明如下： 延长BC交DE于点H，如图2所示： ∵∠CBM＝180°﹣∠ABC，∠CDN＝180°﹣∠ADC， ∴∠CBM+∠CDN＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）， 由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝180°， ∴CBM+∠CDN＝180°， ∵BF平分线∠CBM，DE平分∠CDN， ∴∠CBF＝∠CBM，∠CDE＝∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE＝（∠CBM+∠CDN）＝90°， 又∵∠CDE+∠CHD＝∠C＝90°， ∴∠CBF＝∠CHD， ∴DE∥BF． 21．（10分） 【解析】解：（1）描点并连线如图所示： （2）∵各点连线是一条直线， ∴y是x的一次函数． 设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，6）和（2，18）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝6x+6， 当y＝120时，得6x+6＝120， 解得x＝19， ∴0≤x≤19， ∴y与x之间的函数表达式为y＝6x+6（0≤x≤19）． （3）当y＝90时，得6x+6＝90， 解得x＝14， ∵上午8：00经过14小时后是下午10：00， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是下午10：00． 22．（10分） 【解析】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）结论：AD＝AB+DC． 理由：如图②中，延长AE，DC交于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF， ∴DC+AB＝AD； （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC（AAS）， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝GC＝DF+CF， ∵AB＝5，CF＝2， ∴DF＝AB﹣CF＝3． 23．（12分） 【解析】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式， ∴， ∵m＝n， ∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2； ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． 法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为直线x＝， ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， 解得﹣4a＜b＜﹣3a， ∴3a＜﹣b＜4a， ∴＜﹣＜，即＜t＜2． 由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称； ∴t＝； 当t＝时，x0＝2； 当t＝2时，x0＝3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． 综上，t的取值范围为：＜t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3． 24．（12分） 【解析】解：（1）弦AC与直径MN的位置关系是AC∥MN．理由如下： 如图1，根据圆的性质，得∠C＝∠B； 根据折叠的性质，得∠CMN＝∠BMN； ∵OB＝OM， ∴∠B＝∠BMN， ∴∠C＝∠CMN， ∴AC∥MN． （2）根据圆的性质，得∠C＝∠B； 如图2，根据折叠的性质，得∠CMN＝∠BMN，MB＝MC； ∵OB＝OM， ∴∠B＝∠BMN， ∴∠C＝∠CMN， ∴∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN， ∵MC⊥AB， ∴∠ODM＝90°，∠B+∠CMN+∠BMN＝90°，CD＝MD， ∴∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN＝30°， ∵⊙O的直径为8， ∴OM＝4， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA； ∵AC∥MN， ∴∠CAD＝∠MOD， ∵∠MDO＝∠CDA， ∴∠MDO＝∠MOD， ∴MO＝MD＝4； ∵∠CAD＝∠CMB， ∴∠MDB＝∠CMB， ∴MB＝BD＝MC， ∵∠MDB＝∠CMB＝∠CAD＝∠CDA， ∴△CAD∽△BMD， ∴， 设MB＝BD＝MC＝x， 则CD＝x﹣4，AD＝8﹣x， ∴x（8﹣x）＝4（x﹣4）， 解得（舍去）， ∴． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷05 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：在题目呈现方式上，不再局限于传统的直白设问。例如，对于函数这一重要知识点，以往可能直接给出函数表达式让考生求相关值，如今可能通过创设实际生活情境，像本卷第 21 题，以《九章算术》中记载的浮箭漏为背景，将时间与箭尺读数的关系抽象为函数问题，考生需要从实际情境中提取关键信息，构建函数模型来求解，这大大增加了题目的探究性。在几何图形的考查中，也不再是孤立地考查某个图形的性质，而是将多个图形综合起来，如本卷第 10 题，在正方形的框架下，融入全等三角形、相似三角形的知识，要求考生在复杂图形中深入分析各图形间的联系，自主探究解题思路，体现了探究性与综合性。这种呈现方式的转变，要求考生不能死记硬背公式定理，而是要真正理解知识的本质，具备灵活运用知识解决问题的能力，这正是对考生数学思维、创新思维以及解决实际问题能力考查的具体体现 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对结合实际情况的考点进行探究性出题 中考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性，同时命题情景的创新会是 2025 年中考数学的一大亮点。命题人极有可能紧密围绕当下社会热点关注话题来创设题目情境。尽管本套模拟试卷未直接涉及如 deepseek 大火、哪吒电影破票房纪录这类热点，但从趋势看，未来中考可能会将科技前沿成果（如人工智能发展、量子计算突破）、文化艺术领域重大事件（如热门艺术展览、知名音乐盛会）、社会民生热点（如城市交通优化、环保政策成效）等融入数学题目。比如，以电商直播带货销售额统计为背景，考查数据统计与分析、函数关系建立等知识；或者结合新能源汽车续航里程测试，考查方程应用、图形分析等内容。通过这些实时性、开放性强的情境设置，不仅能激发考生解题兴趣，还能促使考生运用数学知识观察、分析现实世界，体现数学学科的实用性与跨学科融合特性，培养学生跨学科知识运用与问题解决能力。 命题·大预测：知识板块：2025 年中考仍将围绕 “数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“函数”“概率与统计” 五大板块展开命题。从本卷来看，各板块考查全面且重点突出。“数与代数” 板块，如第 1 题考查数轴上的移动与有理数运算，第 2 题考查科学记数法，第 7 题考查一次函数的性质等，这些都是基础且核心的知识点。“方程与不等式” 板块，第 19 题通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来命题，体现了该板块知识的重要性。“图形与几何” 板块占比较大，从第 3 题简单的平行线角度关系，到第 10 题复杂的正方形与三角形综合问题，再到最后一题以圆为背景考查多种几何知识，涵盖了初中几何的众多重点内容。“概率与统计” 板块，第 12 题、第 14 题分别从不同情境考查概率相关知识。这表明在备考时，考生需要对各个板块的知识进行系统梳理，不可偏废。 难度分布：整体试题难度依旧保持基础题、中档难度和高难度试题 6:3:1 的分布。基础题注重考查考生对基础知识点的掌握。部分基础题巧妙结合社会热点，如前所述的第 12 题、第 14 题，考生只要掌握好基础知识，就能轻松应对。中档难度题目侧重于知识的应用和推理。如第 22 题，将教材中的例题进行拓展延伸，考查三角形全等、线段关系等知识，需要考生在熟悉基本模型的基础上，灵活运用知识进行推理和计算，这就要求考生平时要注重对典型例题的深入理解和拓展训练。高难度试题主要集中在二次函数和几何图形部分。像第 10 题，需要考生综合运用正方形性质、全等三角形和相似三角形的判定及性质，通过巧妙作辅助线来解决问题；第 23 题将二次函数与二次方程相结合，考查函数的基本性质和方程思想；最后一题更是以圆为载体，融合了圆与直线的位置关系、勾股定理、等腰三角形、解三角形、相似三角形等众多平面几何知识，对考生的综合能力要求极高。这就提醒考生在备考高难度试题时，要注重知识的整合与综合运用能力的提升，多进行针对性的练习和总结归纳。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．把笔尖放在数轴表示﹣2的点上，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度．下列用算式表示上述过程与结果，其中正确的是（　　） A．﹣2﹣（﹣3）+4＝﹣1 B．﹣2+（﹣3）+4＝﹣2 C．﹣2+3+（﹣4）＝﹣3 D．﹣2+（﹣3）+4＝﹣1 2．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（　　） A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103 3．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 4．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，以下线段是△ABE的高的是（　　） A．CD B．DE C．AC D．AD 5．已知a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3 C．am＞bm D．a（c2+1）＞b（c2+1） 6．已知是三元一次方程组的解，那么a+b+c的值为（　　） A． B．6 C．9 D．18 7．在同一平面直角坐标系中，对于函数： ①y＝﹣x﹣1； ②y＝x+1； ③y＝﹣x+1； ④y＝﹣2（x+2）的图象， 下列说法正确的是（　　） A．经过点（﹣1，0）的是①③ B．与y轴交点为（0，1）的是②③ C．y随x的增大而增大的是①③ D．与x轴交点为（1，0）的是②④ 8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知两个数12和﹣18，则这两个数的和的绝对值是 　 　，绝对值的和是 　 　． 12．如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为 　 　． 13．如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P．点P的横坐标为1，下列结论：①b＜0；②ac＜0；③当x＜1时，ax+b＞cx+d正确的结论是 　 　（填序号）． 14．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝7时，则阴影部分的面积为 　 　． 15．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）如下： 原料 时间 工序 原料A 原料B 原料C 上漆 10 16 13 描绘花纹 15 8 12 则完成这三件原料的描金工作最少需要　 　小时． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 　 　． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0． 解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步 ﹣5x﹣2＝0…第二步 ﹣5x＝2…第三步 x＝﹣…第四步 小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程． 18．（6分）某校要组织八年级学生进行两天一晚的红色研学活动，向社会公开招标旅行社．前期收到5家旅行社的报价（如图），经过第一轮筛选后，留下金秋、万事达、太平洋三家旅行社．第二轮要对这三家旅行社从宾馆服务、路线规划、安全措施三方面进行考量，打分如表． 项目 旅行社 宾馆服务 路线规划 安全措施 金秋 85 90 90 万事达 95 85 80 太平洋 90 88 85 （1）求出图中费用的众数和中位数． （2）假如你是负责人，请你根据表中三个项目的重要程度，赋予不同的“权”，并通过计算，得出三家旅行社的排名顺序． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为a和b，且满足a2+b2＝1，求此时实数m的取值． 20．（8分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°； （2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，写出DE与BF的位置关系，并证明； （3）如图②，若BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 21．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）； （3）应用上述得到的规律计算： 如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？ 22．（10分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED． 证明∵CE∥AB（已知）， ∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）． 在△ABD与△ECD中， ∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证）， BD＝CD（已知）， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　 　； （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上，若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围． 24．（12分）【动手操作】如图1是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿异于AB的直径MN对折，点B落在⊙O上的点C处（不与点A重合），将纸片还原后，连接MB、MC、AC．若⊙O的直径为8． （1）【数学思考】试确定弦AC与直径MN的位置关系，并说明你的理由； （2）【问题探究】如图2，上述操作方法、条件不变，当MC⊥AB时，求MB的长； （3）【类比拓展】如图3，上述操作方法、条件不变，当AC＝CD时，求MB的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷05 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：在题目呈现方式上，不再局限于传统的直白设问。例如，对于函数这一重要知识点，以往可能直接给出函数表达式让考生求相关值，如今可能通过创设实际生活情境，像本卷第 21 题，以《九章算术》中记载的浮箭漏为背景，将时间与箭尺读数的关系抽象为函数问题，考生需要从实际情境中提取关键信息，构建函数模型来求解，这大大增加了题目的探究性。在几何图形的考查中，也不再是孤立地考查某个图形的性质，而是将多个图形综合起来，如本卷第 10 题，在正方形的框架下，融入全等三角形、相似三角形的知识，要求考生在复杂图形中深入分析各图形间的联系，自主探究解题思路，体现了探究性与综合性。这种呈现方式的转变，要求考生不能死记硬背公式定理，而是要真正理解知识的本质，具备灵活运用知识解决问题的能力，这正是对考生数学思维、创新思维以及解决实际问题能力考查的具体体现 中考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对结合实际情况的考点进行探究性出题 中考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性，同时命题情景的创新会是 2025 年中考数学的一大亮点。命题人极有可能紧密围绕当下社会热点关注话题来创设题目情境。尽管本套模拟试卷未直接涉及如 deepseek 大火、哪吒电影破票房纪录这类热点，但从趋势看，未来中考可能会将科技前沿成果（如人工智能发展、量子计算突破）、文化艺术领域重大事件（如热门艺术展览、知名音乐盛会）、社会民生热点（如城市交通优化、环保政策成效）等融入数学题目。比如，以电商直播带货销售额统计为背景，考查数据统计与分析、函数关系建立等知识；或者结合新能源汽车续航里程测试，考查方程应用、图形分析等内容。通过这些实时性、开放性强的情境设置，不仅能激发考生解题兴趣，还能促使考生运用数学知识观察、分析现实世界，体现数学学科的实用性与跨学科融合特性，培养学生跨学科知识运用与问题解决能力。 命题·大预测：知识板块：2025 年中考仍将围绕 “数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“函数”“概率与统计” 五大板块展开命题。从本卷来看，各板块考查全面且重点突出。“数与代数” 板块，如第 1 题考查数轴上的移动与有理数运算，第 2 题考查科学记数法，第 7 题考查一次函数的性质等，这些都是基础且核心的知识点。“方程与不等式” 板块，第 19 题通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来命题，体现了该板块知识的重要性。“图形与几何” 板块占比较大，从第 3 题简单的平行线角度关系，到第 10 题复杂的正方形与三角形综合问题，再到最后一题以圆为背景考查多种几何知识，涵盖了初中几何的众多重点内容。“概率与统计” 板块，第 12 题、第 14 题分别从不同情境考查概率相关知识。这表明在备考时，考生需要对各个板块的知识进行系统梳理，不可偏废。 难度分布：整体试题难度依旧保持基础题、中档难度和高难度试题 6:3:1 的分布。基础题注重考查考生对基础知识点的掌握。部分基础题巧妙结合社会热点，如前所述的第 12 题、第 14 题，考生只要掌握好基础知识，就能轻松应对。中档难度题目侧重于知识的应用和推理。如第 22 题，将教材中的例题进行拓展延伸，考查三角形全等、线段关系等知识，需要考生在熟悉基本模型的基础上，灵活运用知识进行推理和计算，这就要求考生平时要注重对典型例题的深入理解和拓展训练。高难度试题主要集中在二次函数和几何图形部分。像第 10 题，需要考生综合运用正方形性质、全等三角形和相似三角形的判定及性质，通过巧妙作辅助线来解决问题；第 23 题将二次函数与二次方程相结合，考查函数的基本性质和方程思想；最后一题更是以圆为载体，融合了圆与直线的位置关系、勾股定理、等腰三角形、解三角形、相似三角形等众多平面几何知识，对考生的综合能力要求极高。这就提醒考生在备考高难度试题时，要注重知识的整合与综合运用能力的提升，多进行针对性的练习和总结归纳。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．把笔尖放在数轴表示﹣2的点上，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度．下列用算式表示上述过程与结果，其中正确的是（　　） A．﹣2﹣（﹣3）+4＝﹣1 B．﹣2+（﹣3）+4＝﹣2 C．﹣2+3+（﹣4）＝﹣3 D．﹣2+（﹣3）+4＝﹣1 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：由题意得﹣2+（﹣3）+4＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 2．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（　　） A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：47000＝4.7×104． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 3．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，以下线段是△ABE的高的是（　　） A．CD B．DE C．AC D．AD 【分析】由三角形的高的定义容易得出结论． 【解答】解：由三角形的高的定义可知， 在△ABE中，AC⊥BC于C， ∴AC是△ABE中BE边上的高， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的高的定义是关键． 5．已知a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3 C．am＞bm D．a（c2+1）＞b（c2+1） 【分析】根据不等式的性质即可判断出A、B、D的等式关系都成立，从而求出这道题的答案． 【解答】解：∵a＞b，∴根据不等式的加法性质，不等式两边同时加相同的数，不等号的方向不变，故A成立． 根据不等式的乘法性质可知2a＞2b，在根据不等式的减法性质可知2a﹣3＞2b﹣3，故B成立． 又∵c2+1为正数，根据不等式的乘法性质，∴a（c2+1）＞b（c2+1），故D成立． 在C选项中，由于m是正数还是负数或是零不确定，因此也就不确定am是否大于bm，故C不成立． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是不等式的性质．在解题过程中根据不等式的乘法性质，不等式两边同时乘以的是正数还是负数或是0是解这道题的易错点． 6．已知是三元一次方程组的解，那么a+b+c的值为（　　） A． B．6 C．9 D．18 【分析】把代入方程组中得：，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【解答】解：把代入方程组中得：， ①+②+③得：4a+4b+4c＝6+4+8， 解得：a+b+c＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．在同一平面直角坐标系中，对于函数： ①y＝﹣x﹣1； ②y＝x+1； ③y＝﹣x+1； ④y＝﹣2（x+2）的图象， 下列说法正确的是（　　） A．经过点（﹣1，0）的是①③ B．与y轴交点为（0，1）的是②③ C．y随x的增大而增大的是①③ D．与x轴交点为（1，0）的是②④ 【分析】按照选项所述，分别将各解析式代入检验可得答案． 【解答】解：A、分别把点（﹣1，0）代入函数解析式可知，通过点（﹣1，0）的是①②，故说法错误； B、分别把点（0，1）代入函数解析式可知，与y轴交点为（0，1）的是②③，故说法正确； C、由k的值可知，y随x的增大而增大的是②，故说法错误； D、分别把点（1，0）代入函数解析式可知，与x轴交点为（1，0）的是③，故说法错误； 故选：B． 【点睛】主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键． 8．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可． 【解答】解：联立， 解得，， ①如果x≤﹣1，min{﹣x2+3，﹣2x}＝﹣x2+3，最大值是2； ②如果﹣1＜x≤3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣2x，最大值小于2； ③如果x＞3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣x2+3，最大值小于﹣6． 所以min{﹣x2+3，﹣x}的最大值是2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键． 9．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是r，又直角三角形内切圆的半径r＝，则a+b＝2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，进而可得三角形面积与其内切圆的面积之比， 【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有： S＝r， ∵r＝， ∴a+b＝2r+c， 将a+b＝2r+c，代入S＝r，得：S＝r＝r（r+c）． 又∵内切圆的面积是πr2， ∴三角形面积与其内切圆的面积之比是＝． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【分析】根据正方形的性质证明△BCE≌△CDH，可以判断①；然后证明∠BFC＝90°，可以判断②；由△BCE≌△CDH（SAS），CE＝DH，根据正方形对角线上的点到AD，DC边上的距离相等，即可判定③；设正方形ABCD的边长为4a，当E是CD的中点时，EC＝HD＝2a，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出GF，GE，进而可以判断④；设S△GDH＝4x，则S△CGB＝9x，S△DGC＝6x，得S△BCD＝15x，所以S正方形ABCD＝2S△BCD＝30x，当EC＝2DE时，＝，证得S四边形DEGH＝S△GDH+S△DEG＝4x+2x＝6x，进而可以判断⑤． 【解答】解：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵CE＝DH， ∴△BCE≌△CDH（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCH，BE＝CH，故①正确； ∵∠DCH+∠FCB＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF+∠FCB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴CH⊥BE，故②正确； ∵G在正方形对角线BD上， ∴G到AD，CD的距离相等， ∵△BCE≌△CDH（SAS）， ∴CE＝DH， ∴S△GCE＝S△GDH，故③正确； 设正方形ABCD的边长为4a， ∴BC＝CD＝4a， 当E是CD的中点时，EC＝HD＝2a． 由勾股定理得： BE＝＝＝2a＝CH， ∵∠HDG＝∠CBG＝45°，∠HGD＝∠CGB， ∴△HGD∽△CGB， ∴＝＝， ∴GC＝CH， ∵∠BEC＝∠CEF，∠ECB＝∠EFC＝90°， ∴△ECB∽△EFC， ∴＝， ∴＝， ∴EF＝， ∴CF＝＝＝， ∵GC＝CH＝×2a＝， ∴GF＝CG﹣CF＝﹣＝， ∴GE＝＝＝， ∴＝×＝， ∴当E是CD的中点时，，故④正确， 当EC＝2DE时，＝， ∵DH＝CE，DC＝BC， ∴＝＝， ∵△HGD∽△CGB， ∴＝（）2＝， ∵△GDH中DH边上的高与△DGC中CD边上的高相等，＝＝， ∴＝＝， 设S△GDH＝4x，则S△CGB＝9x，S△DGC＝6x， ∴S△BCD＝S△CGB+S△DGC＝9x+6x＝15x， ∴S正方形ABCD＝2S△BCD＝30x， 当EC＝2DE时，＝， ∴＝， ∴S△DEG＝2x， ∴S四边形DEGH＝S△GDH+S△DEG＝4x+2x＝6x， ∴S正方形ABCD＝5S四边形DEGH，故⑤不正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④， 故选：A． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△HGD∽△CGB． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知两个数12和﹣18，则这两个数的和的绝对值是 　6　，绝对值的和是 　30　． 【分析】根据题意列出相应的式子进行计算即可． 【解答】解：根据题意得： |12+（﹣18）|＝|﹣6|＝6； |12|+|﹣18|＝12+18＝30， 故答案为：6；30． 【点睛】此题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．如图，小蚂蚁从洞穴A口进入，遇到岔口时选择每个洞穴的可能性相同（不往回爬），则小蚂蚁获得方糖的概率为 　　． 【分析】直接根据概率公式计算，即可求解． 【解答】解：由图可知一共有4个洞穴，有2个洞穴有方糖， ∴小蚂蚁获得方糖的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求概率，掌握概率公式是解题的关键． 13．如图，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象交于点P．点P的横坐标为1，下列结论：①b＜0；②ac＜0；③当x＜1时，ax+b＞cx+d正确的结论是 　②③　（填序号）． 【分析】根据函数的图象以及一次函数的性质判断即可． 【解答】解：由图象可知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0，故①错误； ∵由图象可知一次函数y＝cx+d的图象经过一、二、三象限， ∴c＞0，d＞0， ∴ac＜0，故②正确； 由图象可知，当x＜1时，ax+bcx+d，故③正确； 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．难度适中． 14．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝7时，则阴影部分的面积为 　14　． 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝7， 由勾股定理得：AB＝＝＝， ∴阴影部分的面积S＝×π×22+×3.52+﹣×π×（）2＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 15．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间（单位：小时）如下： 原料 时间 工序 原料A 原料B 原料C 上漆 10 16 13 描绘花纹 15 8 12 则完成这三件原料的描金工作最少需要　47　小时． 【分析】根据分析，甲按A、C、B的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【解答】解：甲按A、C、B的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要10+13+16+8＝47， 故答案为：47 【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为y＝x+t，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 　2﹣或﹣2≤t＜0　． 【答案】2﹣或﹣2≤t＜0． 【分析】设直线y＝x+t与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B，连接BC，根据等腰直角三角形 的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：设直线y＝x+t与x轴交于E，与y轴交于D，与圆唯一的公共点为C，圆心为B， 连接BC， 则∠BCE＝90°， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∴BC＝OB＝， 在y＝x+t中，令x＝0，则y＝t，令y＝0，则x＝﹣t， ∴E（﹣t，0），D（0，t）， ∴OD＝OE， ∴△ODE是等腰直角三角形， ∴∠DEO＝45°， ∴∠EBC＝45°， ∴BE＝， ∴， ∴， 当直线y＝x+t经过点A时， 则有2+t＝0， 解得t＝﹣2， 故答案为：2﹣或﹣2≤t＜0． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0． 解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步 ﹣5x﹣2＝0…第二步 ﹣5x＝2…第三步 x＝﹣…第四步 小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程． 【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可． 【解答】解：小明的解法从第一步开始出现错误； 3x2﹣8x（x﹣2）＝0， x[3x﹣8（x﹣2）]＝0， x（﹣5x+16）＝0， 解得：x1＝0，． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键． 18．（6分）某校要组织八年级学生进行两天一晚的红色研学活动，向社会公开招标旅行社．前期收到5家旅行社的报价（如图），经过第一轮筛选后，留下金秋、万事达、太平洋三家旅行社．第二轮要对这三家旅行社从宾馆服务、路线规划、安全措施三方面进行考量，打分如表． 项目 旅行社 宾馆服务 路线规划 安全措施 金秋 85 90 90 万事达 95 85 80 太平洋 90 88 85 （1）求出图中费用的众数和中位数． （2）假如你是负责人，请你根据表中三个项目的重要程度，赋予不同的“权”，并通过计算，得出三家旅行社的排名顺序． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）依据加权平均数的定义求解即可． 【解答】解：（1）将图中费用重新排列为：570、580、600、600、620， 所以其众数为600元，中位数为600元； （2）将宾馆服务、路线规划、安全措施赋予不同的“权”为：4：3：3， 则金秋旅行社的最终得分为＝88（分）， 万事达旅行社的最终得分为＝87.5（分）， 太平洋旅行社的最终得分为＝87.9（分）， ∵88＞87.9＞87.5， ∴从高到低排名顺序为：金秋、太平洋、万事达（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数及加权平均数的定义． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根为a和b，且满足a2+b2＝1，求此时实数m的取值． 【分析】（1）先计算Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣2）2≥0，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得a+b＝m，ab＝m﹣1，再代入a2+b2＝1，建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：由题可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0， 所以无论m为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系得：a+b＝m，ab＝m﹣1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝m2﹣2（m﹣1）＝1， ∴（m﹣1）2＝0， 解得m＝1． 【点睛】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根的判别式的含义是解本题的关键． 20．（8分）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°； （2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，写出DE与BF的位置关系，并证明； （3）如图②，若BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°得∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，再根据∠A＝∠C＝90°即可得出结论； （2）先依据“AAS”判定△ADB和△CDB全等得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，再根据BF平分∠CBM得∠CBF＝∠CBM，则∠CBD+∠CBF＝（∠ABC+∠CBM）＝90°，由此即可得出DE与BF的位置关系； （3）延长BC交DE于点H，先证明∠CBM+∠CDN＝180°，进而根据角平分线定义得∠CBF+∠CDE＝（∠CBM+∠CDN）＝90°，再根据∠CDE+∠CHD＝∠C＝90°得∠CBF＝∠CHD，由此即可得出BF与DE的位置关系． 【解答】（1）证明：根据四边形的内角和等于360°得：∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， ∴180°+∠ABC+∠ADC＝360°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°； （2）DE与BF的位置关系是：DE⊥BF，证明如下： 如图①所示： ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， 在△ADB和△CDB中， ∠A＝∠C＝90°，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB， ∴△ADB≌△CDB（AAS）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠ABC， ∵BF平分∠CBM， ∴∠CBF＝∠CBM， ∴∠CBD+∠CBF＝（∠ABC+∠CBM）， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠CBD+∠CBF＝90°， ∴BD⊥BF， 即BE⊥BF； （3）BF与DE的位置关系是：DE∥BF，证明如下： 延长BC交DE于点H，如图2所示： ∵∠CBM＝180°﹣∠ABC，∠CDN＝180°﹣∠ADC， ∴∠CBM+∠CDN＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）， 由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝180°， ∴CBM+∠CDN＝180°， ∵BF平分线∠CBM，DE平分∠CDN， ∴∠CBF＝∠CBM，∠CDE＝∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE＝（∠CBM+∠CDN）＝90°， 又∵∠CDE+∠CHD＝∠C＝90°， ∴∠CBF＝∠CHD， ∴DE∥BF． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，多边形的内角和，角平分线的定义和垂直的定义，平行线的判定与性质，理解多边形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质是解决问题的关键． 21．（10分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式（写过程）； （3）应用上述得到的规律计算： 如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是几点钟？ 【分析】（1）描点并连线即可； （2）根据这些点的分布情况判断函数类型，利用待定系数法求其表达式并求出x的取值范围即可； （3）将y＝90代入函数表达式求出对应的x的值，再计算上午8：00经过x小时后是几点钟即可． 【解答】解：（1）描点并连线如图所示： （2）∵各点连线是一条直线， ∴y是x的一次函数． 设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（0，6）和（2，18）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝6x+6， 当y＝120时，得6x+6＝120， 解得x＝19， ∴0≤x≤19， ∴y与x之间的函数表达式为y＝6x+6（0≤x≤19）． （3）当y＝90时，得6x+6＝90， 解得x＝14， ∵上午8：00经过14小时后是下午10：00， ∴如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90cm时是下午10：00． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式是解题的关键． 22．（10分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 例4如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD＝ED． 证明∵CE∥AB（已知）， ∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）． 在△ABD与△ECD中， ∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证）， BD＝CD（已知）， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）． （1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　1＜AD＜5　； （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，求出线段DF的长． 【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可． （2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题． （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论． 【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝4， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜2AD＜6+4， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5； （2）结论：AD＝AB+DC． 理由：如图②中，延长AE，DC交于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF， ∴DC+AB＝AD； （3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， ， ∴△AEB≌△GEC（AAS）， ∴AB＝GC， ∵∠EDF＝∠BAE， ∴∠FDG＝∠G， ∴FD＝FG， ∴AB＝GC＝DF+CF， ∵AB＝5，CF＝2， ∴DF＝AB﹣CF＝3． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上，若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围． 【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可； （2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围． 【解答】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式， ∴， ∵m＝n， ∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2； ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． 法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为直线x＝， ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， 解得﹣4a＜b＜﹣3a， ∴3a＜﹣b＜4a， ∴＜﹣＜，即＜t＜2． 由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称； ∴t＝； 当t＝时，x0＝2； 当t＝2时，x0＝3． ∴x0的取值范围2＜x0＜3． 综上，t的取值范围为：＜t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解． 24．（12分）【动手操作】如图1是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿异于AB的直径MN对折，点B落在⊙O上的点C处（不与点A重合），将纸片还原后，连接MB、MC、AC．若⊙O的直径为8． （1）【数学思考】试确定弦AC与直径MN的位置关系，并说明你的理由； （2）【问题探究】如图2，上述操作方法、条件不变，当MC⊥AB时，求MB的长； （3）【类比拓展】如图3，上述操作方法、条件不变，当AC＝CD时，求MB的长． 【分析】（1）根据圆的性质，得到∠C＝∠B；根据折叠的性质，得∠CMN＝∠BMN；根据等腰三角形的性质，得∠B＝∠BMN，继而得到∠C＝∠CMN即可得证． （2）根据∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN，结合MC⊥AB，得到∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN＝30°，利用勾股定理，垂径定理计算即可． （3）根据AC＝CD得∠CAD＝∠CDA；根据AC∥MN得∠CAD＝∠MOD，根据对顶角的性质，得∠MDO＝∠CDA继而得∠MDO＝∠MOD，MO＝MD＝4；根据圆的性质，得到∠CAD＝∠CMB，得证MB＝BD＝MC＝x，运用△CAD∽△MBD，列比例式建立方程即可． 【解答】解：（1）弦AC与直径MN的位置关系是AC∥MN．理由如下： 如图1，根据圆的性质，得∠C＝∠B； 根据折叠的性质，得∠CMN＝∠BMN； ∵OB＝OM， ∴∠B＝∠BMN， ∴∠C＝∠CMN， ∴AC∥MN． （2）根据圆的性质，得∠C＝∠B； 如图2，根据折叠的性质，得∠CMN＝∠BMN，MB＝MC； ∵OB＝OM， ∴∠B＝∠BMN， ∴∠C＝∠CMN， ∴∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN， ∵MC⊥AB， ∴∠ODM＝90°，∠B+∠CMN+∠BMN＝90°，CD＝MD， ∴∠C＝∠B＝∠CMN＝∠BMN＝30°， ∵⊙O的直径为8， ∴OM＝4， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA； ∵AC∥MN， ∴∠CAD＝∠MOD， ∵∠MDO＝∠CDA， ∴∠MDO＝∠MOD， ∴MO＝MD＝4； ∵∠CAD＝∠CMB， ∴∠MDB＝∠CMB， ∴MB＝BD＝MC， ∵∠MDB＝∠CMB＝∠CAD＝∠CDA， ∴△CAD∽△BMD， ∴， 设MB＝BD＝MC＝x， 则CD＝x﹣4，AD＝8﹣x， ∴x（8﹣x）＝4（x﹣4）， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，垂径定理，勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$