专题06 根的判别式与一元二次方程根与系数的关系（考点清单，2考点13题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

专题06 根的判别式与一元二次方程根与系数的关系 （2个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单02 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 4）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 5）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【考点题型一】不解方程判断一元二次方程根的情况（不含参）（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）有两个相等的实数根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【考点题型二】不解方程判断一元二次方程根的情况（含参）（） 4．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 5．（2024·广西南宁·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【考点题型三】根据一元二次方程根的情况求参数值或取值范围（） 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）关于x的方程有实数解，则a满足（    ） A． B． C．且 D．且 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【考点题型四】证明一元二次方程根的情况（） 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根； (2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)求证：是该方程的根． 【考点题型五】根的判别式与三角形综合（） 14．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 15．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 三角形． 16．（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【考点题型六】根的判别式与四边形综合（） 17．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 18．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ 19．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点M、N分别在、上，使得的周长为2．(1)的大小；(2)面积的最小值． 【考点题型七】与根的判别式有关的多结论问题（） 20．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：①；②若，则；    ③关于x的方程的根为，；④关于x的方程的根为2，3．其中正确结论的有 ． 21．（21-22八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程；    乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当时，该方程有实数根；    丁说：只有当且时，该方程有实数根． 正确的是（    ） A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对 22．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程． 若方程两根为和，则； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若是方程的一个根，则一定有成立． 判断以上说法是否正确，并说明理由． 【考点题型八】利用根与系数的关系直接求代数式的值（） 23．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 24．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（   ） A．， B．， C． D． 26．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如果一元二次方程的两实数根分别为，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的两根，则代数式的值为 ． 【考点题型九】利用根与系数的关系求方程的根（） 28．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．3 D．－3 29．（21-22八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（    ） A．－3 B．2 C．3 D．－4 30．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【考点题型十】利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值（） 32．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 33．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 34．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知m，n是关于x的方程的两根，则代数式的值为 ． 35．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 36．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【考点题型十一】已知一元二次方程两根的关系求参数的值（） 37．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 39．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 40．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则k的值为 ． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【考点题型十二】构造一元二次方程求代数式的值（） 42．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知实数m，n满足，则 ． 43．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 【考点题型十三】根的判别式与根与系数综合（） 45．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 46．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 47．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【命题预测】 1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程．有下列两种说法：①若，则此方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 4．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ． 11．（23-24八年级下·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 . 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 15．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 根的判别式与一元二次方程根与系数的关系 （2个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【注意】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单02 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 4）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 5）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 【考点题型一】不解方程判断一元二次方程根的情况（不含参）（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）有两个相等的实数根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算出四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：A、，所以方程没有实数解，不符合题意； B、，所以方程有两个相等的实数解，符合题意； C、，有两个不相等的实数解，不符合题意； D、，有两个不相等的实数解，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，算出根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【考点题型二】不解方程判断一元二次方程根的情况（含参）（） 4．（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 5．（2024·广西南宁·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据方程的根的判别式判断即可． 可，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 【考点题型三】根据一元二次方程根的情况求参数值或取值范围（） 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程（），“一元二次方程二次项系数不为0”、“一元二次方程有实数根，则根的判别式”，据此求出的取值范围，选择符合的选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴选项中的值可以是B选项0， 故选：B． 8．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）关于x的方程有实数解，则a满足（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．分和求解即可． 【详解】解：当时，方程为，方程有实数解； 当时，当时，方程有实数解， 此时且， 综上，满足条件的a取值范围为， 故选：A． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于和的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键． 【详解】∵方程和方程都有实数解， ∴，， ∴，， ∵，是正实数， ∴， ∴，即， ∴， 故的最小值为， 又∵， 则当时，， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点题型四】证明一元二次方程根的情况（） 11．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况； （）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，此方程一定有实数根； （2）解：将代入， 得，解得， 解，得，， ∴另一个根为． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根； (2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，方程的两根都在与0之间，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出当时，方程的两根都在与0之间，． 【详解】（1）证明： 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴， ， 当时，方程的两根都在与0之间． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根． (2)求证：是该方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查根的判别式，方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）将代入方程，进行判断即可． 【详解】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） ∵， ∴是该方程一个根． 【考点题型五】根的判别式与三角形综合（） 14．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当 时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案为：15或16 15．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 三角形． 【答案】直角 【分析】根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可. 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2－4ac=0， ∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2， 所以△ABC是直角三角形. 故答案为：直角 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 16．（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 【考点题型六】根的判别式与四边形综合（） 17．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况，并说明理由． (2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】(1)有两个实数根，见解析 (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为，解得． ∴这个矩形对角线的长是5． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 18．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)当时，四边形是菱形，这时菱形的边长为 (2)平行四边形的周长是 【分析】此题考查了平行四边形的性质、菱形的性质以及根的判别式，注意由菱形的邻边相等，得到有相等的实数根，即是解题的关键． （1）由四边形是菱形，可得，又由平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根，可得有相等的实数根，即，则可求得的值，继而求得答案； （2）首先将方程的一个根，代入，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根， ， 解得：， 当时，四边形是菱形； 原方程为：， 解得：， 这时菱形的边长为：； （2）解：此方程的一个根是， ， 解得：，                    原方程为：， ， 解得：，， ， 平行四边形的周长是：． 19．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点M、N分别在、上，使得的周长为2． 求： (1)的大小； (2)面积的最小值． 【答案】(1)45度 (2) 【分析】（1）延长至L，使，则，故，进而求证，即可求得； （2）设，，，根据和，整理根据可以解题． 【详解】（1）解：如图，延长至L，使， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，， 则， ∵，则， 于是 整理得， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴，当且仅当时等号成立， 此时， 因此，当，时，取到最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是作出辅助线，求证是解题的关键． 【考点题型七】与根的判别式有关的多结论问题（） 20．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论：①；②若，则；    ③关于x的方程的根为，；④关于x的方程的根为2，3．其中正确结论的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把变形，再解方程可判定④，从而可得答案． 【详解】解：①化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴ 解得：，故①错误， ∵关于的一元二次方程有实数根、， 当，则， ∴方程为， 解得：，，故②正确； ∵关于x的一元二次方程有实数根，，且， 而可化为：， ∴，， ∴或，故③错误； ∵化为一般形式为， ∵原方程有实数根、，且， ∴，， ∵ ， ∴， 解得：或，故④正确， 故答案为：②④ 21．（21-22八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程；    乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当时，该方程有实数根；    丁说：只有当且时，该方程有实数根． 正确的是（    ） A．乙和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．甲和丙说的对 D．乙和丁说的对 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围． 【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确； ①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0； ②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即， 解得， 且， 综上所述：当时，方程有实数根，故丙的说法正确，丁的说法错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，正确记忆不同的根的情况对应的与0的关系是解题的关键． 22．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程． 若方程两根为和，则； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若是方程的一个根，则一定有成立． 判断以上说法是否正确，并说明理由． 【答案】正确，理由见解析 【分析】①利用根与系数的关系进行判断即可；②利用判别式进行判断即可；③根据方程的根的定义，得到，进行判断即可． 【详解】解：正确，理由如下： 方程两根为和， ， ， 正确； ， ， 正确； 是方程的一个根， ， ， ， 正确； 正确． 【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确的进行运算． 【考点题型八】利用根与系数的关系直接求代数式的值（） 23．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．熟练掌握根与系数的关系是关键． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， 所以， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据a、b是一元二次方程的两个根可求出，，再根据即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于的一元二次方程的两根为，，那么下列结论一定成立的是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，，即可得到，，从而确定答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根为，， ，， ，， 故选：D． 26．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如果一元二次方程的两实数根分别为，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，然后将整理为，代入求值即可； （2）将整理为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两实数根分别为， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 27．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值． 【详解】解：∵是方程的两根， 故答案为：． 【考点题型九】利用根与系数的关系求方程的根（） 28．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（   ） A． B． C．3 D．－3 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可 【详解】解：设方程的一个根为，方程的另一个根为， 由题意得，， ， 故选：A． 29．（21-22八年级下·浙江丽水·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则方程的另一个根是（    ） A．－3 B．2 C．3 D．－4 【答案】C 【分析】设方程的一个根＝1，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的一个根＝1，另一个根为，根据题意得： ＝3， 将＝1代入，得＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 30．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为x根据根与系数的关系得到，然后结合题意得到， 求出m，n的值，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根为，设另一个根为x ∴， ∵m，n是有理数， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为-1 (2)见解答 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 【考点题型十】利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值（） 32．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 33．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，，且， 则， ∴ ． 故答案为：6． 34．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）已知m，n是关于x的方程的两根，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解定义．解题的难点是根据根与系数的关系得到的值．把代入已知方程得到的值；然后利用根与系数的关系得到的值；最后将其代入所求的代数式进行求值． 【详解】解：把代入，得 ， 则， 又∵实数m、n是关于x的方程的根， ∴， ∴． 故答案是：4． 35．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 【考点题型十一】已知一元二次方程两根的关系求参数的值（） 37．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系和，可以求得的值，然后代入，即可求得的值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ， ， ， 解得， 将代入可得，， 解得， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数关系，用表示两根之和与两根之积，结合已知条件求出关于的一元二次方程，根据公式法即可求出的值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式（，）． 39．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键； （1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：； （2），是方程的两个实数根， ，． ， ，解得，（舍弃）． ， 故答案为：． 40．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题解题关键． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【详解】（1）证明： ， 不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：，， ， ， ． 解得． 【考点题型十二】构造一元二次方程求代数式的值（） 42．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可． 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的同一个根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 【考点题型十三】根的判别式与根与系数综合（） 45．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 46．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，正确掌握根与系数的关系和根的判别式公式是解题的关键． （1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 47．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 【命题预测】 1．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．若是方程的解，则 B．若，则方程必有两个不相等的实数根 C．若，则方程必有两个不相等的实根 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根． 根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可． 【详解】解：、将代入方程可得：， ∴本选项说法正确，不符合题意； 、若，则方程为， ∴， ∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意； 、∵方程中，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程．有下列两种说法：①若，则此方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由，可知是方程的根，可判断①的正误；由a，c异号，可得，则，即此方程一定有实数根，可判断②的正误． 【详解】解：∵， ∴是方程的根，①正确，故符合要求； ∵a，c异号， ∴，即， ∴，即此方程一定有实数根，②正确，故符合要求； 故选：C． 4．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得的范围． 【详解】解：方程有实数根， 当时， 且 解得∶且， 当时，，解得：， 综上：系数a的取值范围是． 故选∶D． 5．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③∵， ∴方程的根为， ∴，， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确． 故选：C． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解： ，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有实数根，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 根据关于x的方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． 所以a的取值范围是． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：由题可得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若实数 满足 ，且 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系式．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，而， ∴是的两根， ∴，， ∴； 故答案为： 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出． 根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键． （1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程； （2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下， ∵， ∴， ∴关于的方程一定为一元二次方程； （2）解：当时，， ∴该方程为， ①∵该方程有实数解， ∴， ∴， 解得：； ②，整理得：， ∵和是该方程的两个实数解， ∴，， ∴代入中，得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵由①得：； ∴． 15．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为， 则，． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程两个不相等的实数根． ∴，， ∴； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$