专题04 解一元二次方程（考点清单，5考点11题型+命题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（浙教版）

清单04 解一元二次方程 （5个考点梳理+11种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程解法的基本思路 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单02 直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 清单03 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 清单04 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 清单05 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤：1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【考点题型一】直接开平方法解一元二次方程（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）方程为一元二次方程，字母a的取值为（    ） A． B．3 C． D．0 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 【考点题型二】配方法解一元二次方程（） 5．（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是 ． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）方程配方后写成的形式，则b的值为 ． 8．（2024八年级下·浙江·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【考点题型三】公式法解一元二次方程（） 9．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·福建漳州·期中）用公式法解方程，所得解正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】因式分解法解一元二次方程（） 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 14．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 15．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【考点题型五】十字相乘法解一元二次方程（） 17．（2018·贵州黔东南·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 18．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 19．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【考点题型六】用指定方法解一元二次方程（） 20．（2024·辽宁抚顺·一模）（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 21．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)以配方法解方程：； (2)以公式法解方程：． 22．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 23．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【考点题型七】选用合适的方法解一元二次方程（） 24．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 25．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 【考点题型八】用换元法解一元二次方程（） 26．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 28．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【考点题型九】解含绝对值的一元二次方程（） 29．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 30．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【考点题型十】配方法的应用-求最值（） 31．（20-21七年级下·浙江·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1 （1）求代数式的最小值． （2）有最大还最小值，求出其最值． （3）求的最小值． （4）的最小值． （5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值． 32．（20-21八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 【考点题型十一】以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程（） 33．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【命题预测】 1．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 3．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 6．（23-24八年级下·浙江·期中）一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（   ） A． B．1 C．5 D．9 7．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（    ） A．6 B． C．6或 D．2或6 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当 时，代数式和的值相等． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 11．（21-22八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 12．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 解一元二次方程 （5个考点梳理+11种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 一元二次方程解法的基本思路 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单02 直接开平方法 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法. 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 清单03 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 清单04 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 清单05 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤：1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【考点题型一】直接开平方法解一元二次方程（） 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程之直接开平方法，根据解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 或， 故选：A． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）方程为一元二次方程，字母a的取值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】由一元二次方程的定义可得，且，再解方程与不等式即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义与一元二次方程的解法，熟记定义建立方程是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 【考点题型二】配方法解一元二次方程（） 5．（20-21九年级上·四川成都·期中）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）若方程经配方法转化成，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法．利用完全平方公式把变形为一般式，从而得到的值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）方程配方后写成的形式，则b的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：9． 8．（2024八年级下·浙江·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算，解题的关键是熟练掌握配方法的理论依据． 【考点题型三】公式法解一元二次方程（） 9．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案． 【详解】解：， ， 则，，， 故选：C 10．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式． 【详解】解：、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，，不合题意； 、中，x，符合题意； 故选：． 12．（23-24九年级上·福建漳州·期中）用公式法解方程，所得解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握公式法；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选A． 【考点题型四】因式分解法解一元二次方程（） 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 14．（2023·浙江杭州·一模）方程的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 15．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）小李解方程的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．小李解方程的过程正确 B．也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，根据因式分解的步骤解方程后再判断即可． 【详解】， ， ∴或， ∴或； 故小李解方程的过程错误，A选项不符合题意； 也是该方程的一个解，B选项符合题意； 小李解方程的方法不是配方法，是因式分解法，C选项错误； 解方程的过程是从第③步到第④步时出现错误，D选项错误． 故选：B． 16．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 【考点题型五】十字相乘法解一元二次方程（） 17．（2018·贵州黔东南·中考真题）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形， 故答案为：13． 18．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 19．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法． （2）例：解方程． 解：，，或，，． 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：__________，__________． ②解方程：． ③直接写出方程的解． 【答案】①，②③， 【分析】本题考查了因式分解以及运用因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （3）由（1）（2）得，直接作答①； ②③先把一个多项式分解成两个多项式相乘的形式，再令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】解：由（1）（2）得 （3）①； ； 故答案为：，； ②． ∴， ∴， ∴或； ③， ∴， ∴或， ∴，． 【考点题型六】用指定方法解一元二次方程（） 20．（2024·辽宁抚顺·一模）（1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤． （1）用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式； （2）用公式法解方程时，先确定a，b，c的值，再计算，若，即可代入求根公式，解得即可． 【详解】解：（1）移项，得 配方，得， 开方，得 ， （2）方程化为 ，，， ， 方程有两个不等的实数根 ，． 21．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1)以配方法解方程：； (2)以公式法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用， （1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先将方程转化成一般式，再求出的值，代入公式求出即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 系数化成1得：， 配方得：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ∴， ∴， ∴，． 22．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 23．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）根据公式法解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）利用提取公因式法先分解因式，再解方程即可； （4）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【考点题型七】选用合适的方法解一元二次方程（） 24．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 25．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【考点题型八】用换元法解一元二次方程（） 26．（24-25九年级上·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用整体代换的思想把原一元二次方程化简单的一元二次方程； （2）用直接开平方法解关于的方程，然后求出对应的的值得到原方程的解： （3）先把原方程变形为，令，则原方程可化为，再解关于的方程得到，，然后计算出对应的的值即可． 本题考查了换元法解一元二次方程以及解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想； 故选：C； （2）解：∵， ∴， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，； （3）解：原方程变形为， 令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，． 28．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 【考点题型九】解含绝对值的一元二次方程（） 29．（24-25九年级上·广东佛山·期中）阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： (1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． (2)已知实数、满足，求的值． (3)解方程． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【详解】（1）解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． （2）设． ， ， ， ， ， ； （3）， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 30．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）阅读以下材料：例：解方程． 解：原方程可化为． 设，原方程可化为． 解得：，， 当即， ∴； 当即， ∴无实数解． ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们把看作一个整体，用字母y代替（即换元）， 使得问题简单、明朗化，解答过程更清晰．这是解决问题中的一种重要方法−−−−−换元法．请参照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 【考点题型十】配方法的应用-求最值（） 31．（20-21七年级下·浙江·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1 （1）求代数式的最小值． （2）有最大还最小值，求出其最值． （3）求的最小值． （4）的最小值． （5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值． 【答案】（1）-4；（2）有最大值，且为7；（3）2；（4）2；（5）25 【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形，可得最值； （5）设S△BEC=x，由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED，从而可得S△AED=，再将四边形ABCD的面积变形得到，可得结果． 【详解】解：（1）， ∴在x=2时，有最小值-4； （2） = = = ∴当x=-1时，有最大值，且为7； （3）=， ∴当x=1时，的最小值为2； （4） = = 当a=-2，b=4时，代数式有最小值2； （5）设S△BEC=x，已知S△AEB=4，S△CED=9， 则由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED， ∴x：9=4：S△AED， ∴S△AED=， ∴四边形ABCD面积=4+9+x+=， ∴当x=36时，四边形ABCD面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大． 32．（20-21八年级上·福建福州·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 【答案】（1）代数式的最小值是；（2）①花圃的面积为平方米；②当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【分析】（1）将代数式配方可求解； （2）①利用长方形的面积=长×宽可得结论； ②利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）=， ∴原式有最小值是； （2）①根据题意，花圃的面积为：平方米； ②由①可知：， 当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【点睛】本题考查了非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题． 【考点题型十一】以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程（） 33．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法从第4步开始出现错误， （2）用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误， ∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数， ∴还有的情况． 故答案为：4． （2） 35．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 【命题预测】 1．（21-22九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，正确理解用配方法解一元二次方程是解题的关键．先移项，根据配方法，方程两边都加上4，再根据完全平方公式，即得答案． 【详解】解：， 移项得：， 两边都加上4，得 即． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把方程化成的形式，则的值是（　　） A．9 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程、代数式求值，先利用配方法求得，，再代入求解即可． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 得，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的配方；根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选C． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据，可以得到，然后可以得到，进而得到，再设，即可得到，然后即可写出的最大值，从而可以得到的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的最大值． 【详解】解：， ， ， ， 设，则， 则， 的最大值为， 即的最大值为， 故选：B． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 6．（23-24八年级下·浙江·期中）一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值是（   ） A． B．1 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法．根据配方法的步骤解答，即可． 【详解】解： ∴， 即， ∴， 解得：． 故选：A 7．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（    ） A．6 B． C．6或 D．2或6 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方式的结构，而，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的左边可以写成一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选C． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当 时，代数式和的值相等． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先由题意得到，再利用因式分解法即可求解． 【详解】解：由题意得，， 整理得：， 解得：， ∴当时，代数式和的值相等， 故答案为：2． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是 【答案】15 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质．分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑，当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程可求出的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出，解之即可得出值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解． 【详解】解：当3为等腰三角形的腰时，将代入原方程得， 解得：， 此时原方程为，即， 解得：，， ， 不能为等腰三角形的腰； 当3为等腰三角形的底时，方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 此时， 、6、6可以围成等腰三角形， 该三角形的周长是：． 故答案为：15． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 11．（21-22八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴， ∴， （2） ∴， 则或， 解得， 12．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．第一步 移项，合并同类项，得．第二步 系数化为1，得．第三步 任务： ①小明的解法从第___________步开始出现错误； ②此题的正确结果是___________； ③用因式分解法解方程：． 【答案】①一；②，；③， 【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项→将方程的右边化为零； 化积→把方程的左边分解为两个一次因式的积；转化→令每个因式分别为零，转化成两个一元一次方程；求解→解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【详解】解：①明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②， ，即， ∴或， 解得：，， ∴此题的正确结果是：，， 故答案为：：，； ③， ， ， ， ∴或， 解得：，． 13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成（为常数），求，的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（都是整数，是常数），要使的最小值为，试求出的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】（）把写成的形式，然后与二次项和一次项组成完全平方式，从而分解因式，从而求出，的值即可； （）把写成的形式，然后把分给含有的项，分给含有的项，进行分解因式，根据偶次方的非负性，求出，，从而求出答案即可； （）把已知等式的右边进行平方，组成两个完全平方式，然后根据偶次方的非负性和s的最小值，列出关于的方程，解方程即可； 本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵ ， ∴，； （2）， ， ， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （3）∵， ∴， ， ∵，，（𝑥、𝑦都是整数，𝑘是常数），的最小值为， ∴，时，s取最小值为2 ∴，解得：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$