高二数学期中模拟卷02（新高考地区专用，测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 2．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（    ） A．36个 B．48个 C．60个 D．42个 【答案】C 【详解】末位为0：个 末位为2或4：个，共个 故选：C 3．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，的展开式通项为， 所以的展开式中为： ， 则，解得. 故选：A 4．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【详解】AC选项，由题意得，， ，，，， 故，C正确； 由于，故，故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 5．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 6．下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 7．若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，即有且只有三个整数解， 则，且， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 由于， ， 由于为单调递增函数，， 要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是， 所以，解得. 故选：A. 8．已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D．. 【答案】B 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示：    由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 10．现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0， 第一步，先排首位有种不同排法， 第二步，再排其他5位数，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知， 可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确； 对于B，由题意，末位只能为：0，2，4， 当末位为0时，有种排法； 当末位为2时，有种排法； 当末位为4时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误； 对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况. 当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法； 当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法； 当六位数中有3个1时，分为有0与无0两种情况， 有0时，有种排法， 无0时，有种排法， 所以由分类加法计数原理可知， 可以组成个六位数，故C错误； 对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法： 第一步，先排列除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位， 第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法， 所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法， 又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法， 所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确. 故选：ACD. 11．若对一切恒成立，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即，当，满足题意. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 【答案】 【详解】设抽“到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”， 则，，． 由全概率公式得． 故答案为：. 13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 【答案】72 【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种， 若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种. 故答案为：72. 14.已知函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，定义域为， ， 所以为奇函数， 又， 当时，令， 则有， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为为奇函数，所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以，即，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【详解】（1）因为展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列， 所以，解得．......................................6分 （2）由（1）知， 令，可得． （3）由题意知，为的系数， 所以 ．......................................13分 16、（15分）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以...........................4分 （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 ....................................9分 （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小.....................................15分 17．（15分）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增；......................................4分 （2）， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为；......................................9分 （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个．......................................15分 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若，存在两个极值点，，证明：． 【详解】（1）当时，， ∴，解得， 则函数的单调递减区间为．......................................4分 （2）∵，又在区间上单调递减， ∴在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立，设，则， 当时，，∴单调递增，∴， ∴，即实数a的取值范围是；......................................10分 （3），由（2）知：，满足，∴， 不妨设，则， ∴， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， ∴在单调递减，又， ∴当时，， ∴，即．......................................17分 19．（17分）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 【详解】（1） ......................................4分 （2）参考走法不唯一 对于第二个方格，则不能达成“胜利”， 理由如下： 设表示中的值，例如： 则在方格中，共有25个 将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格， 易知，偶数格有13个，奇数格有12个， 按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格， 若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格 而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格， 无论如何移动都不能达成“胜利”. ......................................10分 （3）首先判断 然后证明：时不成立.证明如下： 将挖去的6格记为 其中与均为的一种排列， 为偶数， 由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”， 必须挖去3个奇数格，3格偶数格. 而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾. 不可能挖去6格. 最后证明：时，能成立，如图： 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为......................................17分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（    ） A．36个 B．48个 C．60个 D．42个 3．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 5．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D．. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 10．现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 11．若对一切恒成立，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 14.已知函数，且，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16、（15分）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 17．（15分）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若，存在两个极值点，，证明：． 19．（17分）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理+随机变量及其分布列。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（    ） A．36个 B．48个 C．60个 D．42个 3．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 5．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已如随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D．. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 10．现有数字下列说法正确的是（    ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 11．若对一切恒成立，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取2份.则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 13．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 14.已知函数，且，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16、（15分）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 17．（15分）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)若，存在两个极值点，，证明：． 19．（17分）在的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”. (1)如图1，在的方格中，用表示方格位置为自上向下的第行，自左向右的第列.已知，棋子初始位置为格，经过一次移动来到格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线; (2)如图2，在两张不同的的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线;若不能，请说明理由初始方格任意选择 (3)在的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值初始方格任意选择 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A C B C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．72 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列， 所以，解得．......................................6分 （2）由（1）知， 令，可得． （3）由题意知，为的系数， 所以 ．......................................13分 16．（15分） 【详解】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以...........................4分 （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 ....................................9分 （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小.....................................15分 17．（15分） 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增；......................................4分 （2）， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为；......................................9分 （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个．......................................15分 18．（17分） 【详解】（1）当时，， ∴，解得， 则函数的单调递减区间为．......................................4分 （2）∵，又在区间上单调递减， ∴在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立，设，则， 当时，，∴单调递增，∴， ∴，即实数a的取值范围是；......................................10分 （3），由（2）知：，满足，∴， 不妨设，则， ∴， 则证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， ∴在单调递减，又， ∴当时，， ∴，即．......................................17分 19．（17分） 【详解】（1） ......................................4分 （2）参考走法不唯一 对于第二个方格，则不能达成“胜利”， 理由如下： 设表示中的值，例如： 则在方格中，共有25个 将是偶数的称为偶数格，奇数的称为奇数格， 易知，偶数格有13个，奇数格有12个， 按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格， 若要达成“胜利”，|偶数格-奇数格 而中，涂黑了即两个奇数格，一格偶数格，此时剩下12个偶数格，10个奇数格， 无论如何移动都不能达成“胜利”. ......................................10分 （3）首先判断 然后证明：时不成立.证明如下： 将挖去的6格记为 其中与均为的一种排列， 为偶数， 由（2）可知，若要在方格中挖去6格达成“胜利”， 必须挖去3个奇数格，3格偶数格. 而3个奇数与3个偶数之和为奇数矛盾. 不可能挖去6格. 最后证明：时，能成立，如图： 挖法和走法均不唯一. 综上所述， n最大值为......................................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$