精品解析：安徽省合肥市庐江县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次阶段练习 九年级数学练习卷 注意事项： 1．数学练习满分150分，练习时间为120分钟． 2．本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效． 4．练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断反比例函数．一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数，)的形式，那么称y是x的反比例函数．据此判断即可． 【详解】解：A，，y是x的反比例函数，符合题意； B，，y不是x的反比例函数，不合题意； C，，y不是x的反比例函数，不合题意； D，，y不是x的反比例函数，不合题意； 故选A． 2. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键． 直接根据一个锐角的正弦值等于对边与斜边的比值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 3. 如图，是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图之俯视图，知道从物体的上面看得到的图形为俯视图是关键．根据俯视图的定义即可得到答案． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选C． 4. 已知二次函数，其图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，通过顶点式可得到对称轴． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线， 故选C． 5. △ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2．已知△ABC的面积是2．则△A'B'C'的面积是 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据位似图形的面积比就是位似比的平方，可得△A'B'C'的面积是8 考点：位似图形的性质. 6 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和求∠B，然后根据相似三角形的性质求解. 【详解】解：根据三角形内角和定理可得：∠B=30°， 根据相似三角形的性质可得：∠B′=∠B=30°. 故选：A. 【点睛】本题考查相似三角形性质，掌握相似三角形对应角相等是本题的解题关键. 7. 关于反比例函数的图像，下列说法错误的是（ ） A. y随着x的增大而增大 B. 图像位于第二、四象限 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于直线对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质进行逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、∵在同一象限内，y随x的增大而增大， 故A错误，符合题意； B、∵， ∴图象位于第二，四象限， 故B正确，不符合题意； C、∵图象关于直线对称， 故C正确，不符合题意； D、∵图象关于直线对称， 故D正确，不符合题意； 故选：A． 8. 某体育馆有A，B两个入口，C，D，E三个出口，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．观众甲、乙从同一入口进入观看比赛，比赛结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， 他们恰好从同一出口走出的概率是， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，点E是中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，设，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，点C是以为直径的半上的一个动点（点C不与A，B重合），连接，点D与点C分别位于的两侧，且，，若，，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的应用等知识，证明是解题的关键．连接，证明，得到，则，即可求出函数解析式，再求出自变量取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点C是以为直径的半上的一个动点（点C不与A，B重合）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C不与A，B重合 ∴， 只有选项D符合题意， 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点，射线与x轴所夹的锐角为α，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形．过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得，，则． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， ∵点， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，切于过圆心O点，弦，，则_____________°． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用． 根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：切于C，过圆心O点，是弦，， ， ，， ， ∴， 故答案为：． 13. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， ， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了200度． 故答案为：200． 14. 在正方形中，E，F分别是、上的点，且，连接，交于点M． （1）若点E为中点，则______； （2）若，则______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】连接，根据相似三角形计算即可求第一空；把的角放到直角三角形中，所以过作所在直线，利用角平分线的性质、全等三我的判定与性质和解直角三角形求解即可得第二空答案． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，且， ，， ， ， 为中点， ； 过点作，交的延长线于点，如图， 在中，， ，， ，， 即， ∵，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2；． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．根据绝对值的化简，特殊角的三角函数，二次根式的计算，负整数指数幂的计算即可求解， 【详解】解：原式 16. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，为了测量湖岸南北方向上的两点间的距离，课外兴趣小组选定湖岸上一点，在处测得点在北偏西方向上，在处测得点在南偏西方向上，米，求两点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，由三角形内角和定理得，再根据解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，∵，米， ∴（米）， 答：A，B两点之间的距离约为米． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． （1）以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； （2）以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图，即可得出答案． 本题考查作图-位似变换、作图-旋转变换，熟练掌握位似性质、旋转的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． （1）求k，m的值； （2）直接写出时x的取值范围：______． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，图象及性质，待定系数法确定函数解析式，解题的关键是利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法． （1）将坐标代入一次函数解析式中，求出的值，确定出坐标，再将坐标代入反比例函数解析式中，求出的值即可； （2）令一次函数和反比例函数解析式相等，解得，根据函数图象性质，即可得到时的取值范围． 【小问1详解】 解：将坐标代入一次函数解析式，得： 解得： ∴ 将坐标代入反比例函数解析式，得： 解得： 【小问2详解】 解：∵ ∴ 令，即 解得： ∴一次函数和反比例函数的交点横坐标为 根据函数图象的性质， 一次函数，，直线过原点、一、三象限，随增大而增大 反比例函数，，两支曲线分别过一、三象限，在每一象限内，随增大而减小 ∴当或时， 20. 如图是一个半径为的铁球放入工件槽内的截面图，已知工件槽内侧水平距离为（即），工件槽的右边比左边高（即），且，求该截面图中铁球落在槽内的的长度．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的相关计算，弧长计算，连接，，，过点O作于点F，根据垂径定理得出，，根据勾股定理得出，解直角三角形得出，求出，得出，根据弧长公式求出结果即可． 详解】解：连接，，，过点O作于点F，如图所示： 则，，在中，由勾股定理， 得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 六、（本题满分12分） 21. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． （1）请利用图1解决“勾股容方”问题； （2）事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质； （1）设，则，，证明，再利用相似三角形求解即可； （2）如图2，过C作于点P，交于点Q，设，求解，，证明，再利用相似三角形的性质解题即可． 【小问1详解】 解：如图1，∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即内接正方形的边长为； 【小问2详解】 解：如图2，过C作于点P，交于点Q，设， ∵的两条直角边，的长分别为5步和12步， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理得， ∴，即， 解得， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长为步； ∵， ∴“斜”不能压“正”． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象经过的中点E，交于点F，且四边形的面积为2． （1）求k的值； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，，先根据反比例函数的图象可得，，，再求出，然后根据建立方程，解方程即可得； （2）设，，则点的坐标为，先求出，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，联立求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：由反比例函数的图象可知，， ∵点在反比例函数上， ∴可设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴，， 又∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：设，，则点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， 联立，解得或， ∴点的坐标为或． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，四边形是菱形，，点O在对角线上，以O为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，交于点F，交延长线于点G． （1）求证： ①； ②； （2）如图2，连接，延长交于点H，连接，当，时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形的性质和等边三角形的判定方法，得到为等边三角形，进而推出，再根据，即可得证； ②过O作交于点M，证明是等边三角形，再证明即可得证； （2）过O作交于点M，设，，推出，，得到，根据平行线分线段成比例，得到，进而得到，相似三角形的性质，得到，求出，再根据，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：①∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过O作交于点M，则， 由①知， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过O作交于点M，由（1）②可知：是等边三角形，则：，设，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由（1）②知， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 由（1）①知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第一次阶段练习 九年级数学练习卷 注意事项： 1．数学练习满分150分，练习时间为120分钟． 2．本练习包括“练习卷”（共6页）和“答题卷”（共6页）两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“练习卷”上答题无效． 4．练习结束时，请将“练习卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，y是x反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，，，，则值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 如图，是由四个完全相同的小正方体组合而成的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，其图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. △ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'的位似比是1:2．已知△ABC的面积是2．则△A'B'C'的面积是 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（ ） A. 30° B. 50° C. 40° D. 70° 7. 关于反比例函数的图像，下列说法错误的是（ ） A. y随着x的增大而增大 B. 图像位于第二、四象限 C. 图像关于直线对称 D. 图像关于直线对称 8. 某体育馆有A，B两个入口，C，D，E三个出口，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．观众甲、乙从同一入口进入观看比赛，比赛结束后，甲、乙两人各自随机选择一个出口离开，他们恰好从同一出口走出概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E是中点，点F是上一点，连接，，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点C是以为直径的半上的一个动点（点C不与A，B重合），连接，点D与点C分别位于的两侧，且，，若，，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点，射线与x轴所夹的锐角为α，则的值是______． 12. 如图，切于过圆心O点，是弦，，则_____________°． 13. 研究发现，近视眼镜度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度． 14. 在正方形中，E，F分别是、上的点，且，连接，交于点M． （1）若点E为中点，则______； （2）若，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，为了测量湖岸南北方向上的两点间的距离，课外兴趣小组选定湖岸上一点，在处测得点在北偏西方向上，在处测得点在南偏西方向上，米，求两点之间的距离．（参考数据：，，） 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均为格点（网格线的交点）． （1）以O为旋转中心，将顺时针旋转90°得到，画出； （2）以O为位似中心，在的另一侧画出的位似（即和位于点O不同侧），且与的位似比为1∶2． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． （1）求k，m的值； （2）直接写出时x的取值范围：______． 20. 如图是一个半径为的铁球放入工件槽内的截面图，已知工件槽内侧水平距离为（即），工件槽的右边比左边高（即），且，求该截面图中铁球落在槽内的的长度．（参考数据：，，）． 六、（本题满分12分） 21. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． （1）请利用图1解决“勾股容方”问题； （2）事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象经过的中点E，交于点F，且四边形的面积为2． （1）求k的值； （2）若，求点的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，四边形是菱形，，点O在对角线上，以O为顶点作一个角，角的两边分别交于点E，交于点F，交延长线于点G． （1）求证： ①； ②； （2）如图2，连接，延长交于点H，连接，当，时，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$