精品解析：2025～2026学年陕西汉中东辰初中部第二学期八年级数学期中考试试题（卷）

2025~2026学年汉中东辰初中部第二学期 八年级数学期中考试试题（卷） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 在中，、、的对边分别为、、，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A. 如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B. 如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C. 如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D. 如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 6. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 如图，在中，，边垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（ ）． A. B. C. 10 D. 12 10. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. “与4和是正数”，用不等式表示为_____________． 12. 若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 13. 等腰三角形的一个角等于80°，等腰三角形的底角的度数是__________． 14. 一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 15. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是______． 16. 如图，已知在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为__． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组： （1） （2） 18. 尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到； （2）求出的面积； （3）与关于原点O成中心对称，画出． 20. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，点E在的外部，点D在边上，交于点，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 22. 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．例如，求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义 ∵， ∴的解集为． ∵， ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式的解集为 ． （2）解不等式：； 23. 某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 24. 如图，函数和的图象相交于点． （1）求a，m的值； （2）求面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 25. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年汉中东辰初中部第二学期 八年级数学期中考试试题（卷） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 2. 在中，、、的对边分别为、、，满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键是能理解勾股定理的逆定理的内容． 3. 已知，下列不等式变形不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．根据不等式性质，不等式两边都加2可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B．根据不等式性质，不等式两边都乘以3可得，原变形正确，故此选项不符合题意； C．根据不等式性质，不等式两边都除以可得，原变形不正确，故此选项符合题意； D．根据不等式性质，不等式两边都乘以2可得，再在不等号两边同时减1得，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解答本题的关键是熟练掌握平移中点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移特征即可判断结果． 【详解】解：将点P向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点，则点P的坐标是，即， 故选：D． 5. 命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A. 如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B. 如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C. 如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D. 如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【解析】 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 6. 如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 7. 如图所示，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，； ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：，， ， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则的周长为（ ）． A. B. C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线定理得出线段之间的关系，相加即可． 【详解】解：由垂直平分线定理可得，，， ∴的周长． 10. 如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. “与4的和是正数”，用不等式表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：用不等式表示为． 故答案为： 12. 若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，一元一次不等式中未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：不等式 是关于的一元一次不等式． 解 得： 或 ． 解得或． 由得 ． ∵和都满足． ∴的值为或． 13. 等腰三角形的一个角等于80°，等腰三角形的底角的度数是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确给定的角是顶角还是底角，需分两种情况讨论，结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算即可得到结果． 【详解】分两种情况讨论： （1）当是等腰三角形的底角时，此时底角的度数为． （2）当是等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，可得底角的度数为． 综上，等腰三角形的底角的度数是或． 14. 一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形的外角和为，结合多边形内角和公式，根据内角和与外角和的总和为列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得：， ∴多边形的边数是． 15. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组无解， ， 解得． 16. 如图，已知在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝2，则四边形ABFE周长的最小值为__． 【答案】20 【解析】 【分析】在AB上截取AA′＝EF，作点A′关于直线DC的对称点A″，连接BA″交CD于F，此时四边形AEFB的周长最小． 【详解】解：在AB上截取AA′＝EF，作点A′关于直线DC的对称点A″，连接BA″交CD于F，此时四边形AEFB的周长最小． 四边形AEFB的周长的最小值＝AB＋EF＋AE＋BF＝AB＋EF＋A′F＋BF＝AB＋CD＋A″F＋BF＝AB＋EF＋A″B＝8＋2＋＝20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查矩形的性质、轴对称最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 18. 尺规作图：如图，电信部门要在两条高速公路m、n形成的内部修建一个电视信号发射塔，按照要求，发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两边的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上用点P标出它的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作出线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点，根据角平分线的判定可得，点在的平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得点在线段的垂直平分线上，故线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点． 【详解】解：如图，点P即为所求 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到； （2）求出的面积； （3）与关于原点O成中心对称，画出． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 20. 如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 21. 如图，点E在的外部，点D在边上，交于点，若，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22. 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题．例如，求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义 ∵， ∴的解集为． ∵， ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： （1）填空：不等式的解集为 ． （2）解不等式：； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）仿照题意利用数轴求解即可； （2）设，则原不等式可变形为，再仿照题意利用数轴求出不等式的解集即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴的解集为或； 【小问2详解】 解：设，则原不等式可变形为 ∵， ∴不等式的解集为， ∴， 解得． 23. 某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】（1）A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【解析】 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【小问1详解】 解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； 【小问2详解】 解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； 【小问3详解】 解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 24. 如图，函数和的图象相交于点． （1）求a，m的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）先把点代入，可得，再把点代入，即可求解； （2）求出和，即可求出答案； （3）结合，观察图象的位置关系即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴． ∵函数的图象经过点， ∴，解得． 【小问2详解】 由（1）得到直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 结合，观察图象得： 当时，函数的图象位于的图象的下方，即， 当时，函数的图象与的图象相交于点，即， ∴的解集为． 25. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 【答案】（1） （2） 解：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图，则，，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）或7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，，证明；推出，利用勾股定理求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，得到，，，，证明，推出，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求解即可； （3）分点在上，点在延长线上，两种情况，同理（2）即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 当点在延长线上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或7． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $