广东省东莞高级中学2024-2025学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

2024-2025学年第二学期东莞高级中学第一次教学质量检测 高二数学 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 用0∼9这10个数字可以设置成（ ）种不同的6位银行卡密码． A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，其中，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 已知数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 为等差数列 6. 某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ） A. 36种 B. 60种 C. 120种 D. 180种 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 的单调减区间是 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D. 将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（ ） A. 第20行中从左到右第14个数与第15个数之比为 B. 记第行的第个数为，则 C. 第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为 D. 第三斜行的数：1，3，6，10，15，…，构成数列，则数列的前项和为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若函数在上有极值，则实数的取值范围是________． 13. 已知圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线的离心率为________． 14. 若，则________，________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中第3项的二项式系数是21； 条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64． 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 问题：已知二项式，若________，求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大的项． 16. （1）求函数的极值． （2）证明不等式：； 17. 如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，为线段上的点． （1）若，求平面与平面夹角的余弦值； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图在直角坐标系中，已知椭圆，，分别为椭圆的左，右顶点．椭圆以线段为短轴且与椭圆为“相似椭圆”． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆分别相交于，两点，且（为原点），求直线的斜率的取值范围； （3）设为椭圆上异于，的任意一点，过作轴，垂足为，线段交椭圆于点．求证：为的垂心．（垂心为三角形三条高的交点） 2024-2025学年第二学期东莞高级中学第一次教学质量检测 高二数学 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）选条件①，选条件②，选条件③：； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）证明：依题意可得，令，， 则， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 所以，即，即恒成立， 即在上恒成立，得证. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）当时，的单调减区间为；当时，的单调增 区间为，的单调减区间为 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 证明：设，则由得， 把带入椭圆，得， 因为在轴的同侧，所以，所以， 所以, 所以，又，所以H为的垂心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $