精品解析：重庆实验外国语学校2024-2025学年九年级下学期一诊数学试题

重庆实验外国语学校 初三数学第一次诊断考试 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是以 为位似中心的位似图形，且，的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 全等三角形对应边相等 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个 A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 8. 如图，在菱形 中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，交于点N，连接，， ，若，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形 中， 为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 现有20个整式组成的整式串：，，，…，．对这个整式串进行如下操作，第1次操作：将所有系数为1的倍数的整式乘以；第2次操作：在第一次操作的基础上，将所有系数为2的倍数的整式乘以，以此类推，第n次操作：在前一次操作的基础上，将所有系数为n的倍数的整式乘以，完成20次操作后结束．以下说法正确的有（ ） ①第4次操作结束后，有7个整式的系数为负； ②若将前n次操作后的整式串求和的值与无关，则或4； ③操作结束后，从整式串中任取两个正系数单项式，，则的最小值为4． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 东风是中国最先进的陆基洲际导弹，射程可达14000000米，可携带10枚分导式核弹头，可覆盖全球目标，命中精度在200米以内，将14000000用科学记数法表示为________． 12. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为m、n，则使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为________． 13. 如图，在矩形 中，E为上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则________． 14. 若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为________． 15. 如图，已知为的直径，、为圆O的切线，切点分别为B，D，过点D作的垂线，与交于点F，与交于点E，连接、．若，，则________，________． 16. 如果一个四位数满足，，那么称这个四位数 为“国庆数”．将“国庆数” 的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为 ，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若 是最大的“国庆数”，则________；对于“国庆数” ，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数” 为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 18. 学习了正方形的知识后，智慧小组进行了拓展性研究：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，此时分布在对角线两侧的互相垂直的线段也具有特殊的数量关系他们的解决思路是通过三角形全等和等腰三角形的判定得出结论，请根据他们的思路完成以下作图和填空． （1）如图，在正方形 中，点E是对角线上的一点，连接，，用直尺和圆规完成以下作图：过点E作的垂线，与交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：（补全证明过程）． 证明：∵四边形 是正方形 ∴ ，①________ 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴在四边形中， ∴ ∵②________ ∴ ∴③________ ∴ ④________ 请你依照题意完成下列命题：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，那么这两条线段的数量关系为⑤________． 19. 年我国春晚上出现的扭秧歌机器人轰动世界，机器人与人们的生活联系越来越紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组： ．，．， ．，．，得分在分以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是：，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ （2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 21. 如图，在中，，是 边上的高，且，动点 以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点 以每秒0.5个单位长度的速度从点 出发，沿着运动，是射线上一动点，连接 、、的面积是面积的一半，设点 、 的运动时间为，的面积为，点到 的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 22. 如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路游览沿途风光：路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路游览沿途美景，已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东 方向，点B在点D的南偏西方向，点D在点C的南偏东方向，相距20千米．（参考数据：，，） （1）求的距离（结果保留根号）； （2）小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为20千米/小时，观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由．（结果精确到） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 24. 在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长 交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校 初三数学第一次诊断考试 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．将点的横坐标代入反比例函数的解析式计算，再与点的纵坐标进行比较即可得． 【详解】解：A、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； B、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象一定经过点，此项符合题意； C、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； D、将代入反比例函数得：，则这个函数的图象不经过点，此项不符合题意； 故选：B． 4. 如图， 和 是以为位似中心的位似图形，且， 的周长是 ，则 的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由 和 是以为位似中心的位似图形得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 和 是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴相似比为， ∴， ∴ 的周长的周长， 故选：． 5. 下列说法不正确的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 全等三角形对应边相等 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质、全等三角形的性质，平行四边形的判定；根据以上知识点逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原说法正确； B、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； C、全等三角形对应边相等，故原说法正确； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故原说法正确； 故选：B． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的基本性质等知识点，掌握无理数的估算和不等式的基本性质是解题的关键． 运用二次根式的运算对原式进行化简，利用无理数的估算确定取值范围，再利用不等式的基本性质进行确定化简式的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ． 故选：A． 7. 如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个 A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据第①③个图案可得每一个图案中三角形的个数比它前面一个图案多4个，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，第①个图案中三角形的个数为（个）， 第②个图案中三角形的个数为（个）， 第③个图案中三角形的个数为（个）， 归纳类推得：第个图案中三角形的个数为个，其中为正整数， 则第11个图案中三角形的个数是（个）， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，交 于点N，连接，，，若，，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，交于点，先根据菱形的性质可得与的面积，从而可得与的值，再利用扇形的面积公式可得，最后根据图中阴影部分面积等于计算即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以点 为圆心，长为半径画弧，交于点，交 于点， ∴，，， ∴， 则图中阴影部分面积为， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接 、，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，作于点 ，设，则，利用证明，推出，在中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点 ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10. 现有20个整式组成的整式串：，，，…，．对这个整式串进行如下操作，第1次操作：将所有系数为1的倍数的整式乘以；第2次操作：在第一次操作的基础上，将所有系数为2的倍数的整式乘以，以此类推，第n次操作：在前一次操作的基础上，将所有系数为n的倍数的整式乘以，完成20次操作后结束．以下说法正确的有（ ） ①第4次操作结束后，有7个整式的系数为负； ②若将前n次操作后的整式串求和的值与无关，则或4； ③操作结束后，从整式串中任取两个正系数单项式，，则的最小值为4． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查规律型，绝对值，代数式求值，整式，根找出规律，根据绝对值，代数式求值，整式逐项判断即可． 【详解】解：第4次操作后，整式串为：，有7个整式的系数为负，故①正确． 前n次操作后，整式串的和与无关，即项系数为0．分析和时的和项系数：时，第二次操作后项系数为，存在，不满足条件．时，第四次操作后项系数为4，存在，不满足条件．因此，②错误． 操作结束后，整式串为：， ∴正系数单项式为，，，，系数分别为， ，，， 从， ，，任取两个数，当，时，有最小值为4．故③正确， 综上，说法①③正确,共2个． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 东风是中国最先进的陆基洲际导弹，射程可达14000000米，可携带10枚分导式核弹头，可覆盖全球目标，命中精度在200米以内，将14000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为m、n，则使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，列表法或树状图法求概率，先理解反比例函数的图象经过一，三象限，则，再画树状图法，得出共有12种等可能的结果，满足的结果有4种，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过一，三象限， 则， 依题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，满足的结果有4种， 即使得反比例函数的图象经过一，三象限的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，E为 上一点，连接，，过点D作，垂足为F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键在于掌握矩形的性质和勾股定理的应用． 先根据，导角证明平分，则，在对分别运用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 15. 如图，已知 为 的直径，、为圆O的切线，切点分别为B，D，过点D作 的垂线，与 交于点F，与 交于点E，连接、．若，，则________，________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，相似三角形，等面积法求线段长度，切线长定理，切线定理，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，依据各个定理逐步求出各线段的长度． 连接交于点，利用垂径定理、勾股定理和等面积法即可求得线段的长度；作辅助线构造出线段所在的直角三角形，依次求得线段的长度，最后利用勾股定理即可求得线段的长度． 【详解】解：①如图，连接交于点， ∵、为圆O的切线， ，，垂直平分弦， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 利用等面积法可得： ， ； ②如图所示，连接，过点作,交的延长线于点 ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 即， 在中利用等面积法可得： ， 根据垂径定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：，． 16. 如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则________；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“国庆数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被整除，只需能被整除即可，结合，，得出可以为或或，且每种情况都有解，再利用，求出最大的，此时，再结合要使最小，则应尽可能小，即可求解． 【详解】解：∵一个四位数满足，， ∴，，且，，，，且、、、为整数， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 若是最大的“国庆数”， 则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 则，， 则此时， 则； ∵， ∴要使能被整除，只需能被整除即可， ∵，， ∴， ∴可以为或或，且每种情况都有解， ∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴要使取得最大值，则， ∴， 要使最小，则应尽可能小， 结合，，，可得最小为， 则，，， ∴当取得最大值时，最小的“国庆数”为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：； （3）化简：； （4）化简：． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，正切函数，绝对值的化简解答即可； （2）利用加减消元法解方程组解可； （3）完全平方公式展开，去括号，合并同类项解答即可； （4）根据分式的混合运算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解二元一次方程组：， ①+②得， 解得； 把代入②得， 解得， 故方程组的解为． （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，正切函数，绝对值，解方程组，整式的化简，分式的化简，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 18. 学习了正方形的知识后，智慧小组进行了拓展性研究：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，此时分布在对角线两侧的互相垂直的线段也具有特殊的数量关系他们的解决思路是通过三角形全等和等腰三角形的判定得出结论，请根据他们的思路完成以下作图和填空． （1）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，连接，，用直尺和圆规完成以下作图：过点E作 的垂线，与交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：（补全证明过程）． 证明：∵四边形是正方形 ∴，①________ 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴在四边形中， ∴ ∵②________ ∴ ∴③________ ∴ ④________ 请你依照题意完成下列命题：将正方形对角线上一点与对角线一侧的顶点相连得到一条线段，过该点作这条线段的垂线与对角线另一侧正方形的边相交得到另一条线段，那么这两条线段的数量关系为⑤________． 【答案】（1） 即为所求作的垂线； （2）①；②；③；④；⑤相等 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作一条直线垂线的方法，作图即可； （2）先证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 19. 年我国春晚上出现的扭秧歌机器人轰动世界，机器人与人们的生活联系越来越紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组： ．， ．， ．， ．，得分在分以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩在 组的数据是：，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）七年级学生竞赛成绩较好， 理由： 七、八年级的平均分均为分，七年级的中位数，众数优秀人数均高于八年级的中位数，整体上看七年级学生竞赛成绩较好； （3）估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数，众数，优秀人数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解． 【小问1详解】 解：∵七年级名学生的竞赛成绩中出现次数最多， ∴， 由八年级 组占，人数为（人）， 八年级 组占，人数为（人）， ∴八年级中位数为 组的第个同学竞赛成绩的平均数即， ∴八年级 组人数为（人）， 则， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有， （人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 20. 跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ （2）甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】（1）安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； （2）甲平均每秒跳绳个 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则利用时间关系建立分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； 【小问2详解】 解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：甲平均每秒跳绳个. 21. 如图，在 中，，是边上的高，且，动点 以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点 出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点 、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值6； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意，利用勾股定理求出，得到，分别求出，即可求出，过点作于点H，由，即可得到的表达式；再分点P在上和点P在上，即可表示出的面积的表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：在 中，，是边上的高，且， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点H， ∴， ∵， ∴，即； 当点P在上时， ∵，， ∴，即， ∴，即； 如图，当点P在上时，， 根据题意得：， 同理：，即， ∴，即； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）列表如下： 1 2 4 6 7 3 6 2 0 8 4 2 由函数图象得：函数的图象在时，有最大值6； 【小问3详解】 解：令，即，解得：或（舍去）； 令，即，解得：或（舍去）； 时，． 22. 如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路游览沿途风光：路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路游览沿途美景，已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东方向，点B在点D的南偏西方向，点D在点C的南偏东方向，相距20千米．（参考数据：，，） （1）求 的距离（结果保留根号）； （2）小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为20千米/小时，观光车的速度为15千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点 ，说明理由．（结果精确到） 【答案】（1）千米 （2）小明先到达点 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）过点 作，交 延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得 的长，然后根据计算即可得； （2）过点 作，交 延长线于点，交于点，过点 作于点 ，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点 作，交 延长线于点， 由题意得：，，千米， 在中，千米，千米， 在中，千米， 则千米， 答： 的距离为千米． 【小问2详解】 解：如图，过点 作，交 延长线于点，交于点，过点 作于点 ， 由题意得：，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，千米，千米， 在中，千米，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴小聪选择路线一所需时间为（小时）， 小明选择路线二所需时间为（小时）， 因为， 所以小明先到达点 ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作于点G．点E，F分别是拋物线对称轴、y轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，已知点、，动点M在直线上，动点K在x轴上方的新抛物线上，连接并将线段绕点K旋转得到，过点N作x轴垂线恰好过点R，与直线交于点D，是否存在点K使得？若存在，请写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解方程组解答即可； （2）根据得，根据抛物线的对称轴是直线，得到，过点P作轴交直线于点H，结合抛物线，直线解析式，设，则，则， 计算，利用二次函数的最值解答即可，结合对称性求的最小值即可． （3）根据，结合抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线，于是新抛物线解析式为，当在 左侧时，过点K作于点Q，将逆时针旋转得到，可证得在上，过点K作交于点T，得，可知，设，则，得，可得，解方程即可求解；当在 右侧时，过点K作于点P，将顺时针旋转得到，同理即可求解． 【小问1详解】 解；根据题意，得， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据得， 根据抛物线的对称轴是直线， 解得， 故点， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为，不妨设，且， 过点P作轴交直线于点H，则，则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． ∵，，是定值， 故当面积最大时，线段长度取得最大值， 作出点关于y轴的对称点， 则，于是的最小值就转化为的最小值，根据两点之间线段最短，连接，交y轴于点M，交对称轴于点N，于是当F与点M重合，点E与点N重合时，取得最小值，就是． ∴． 【小问3详解】 解：∵，且抛物线向右平移4个单位、向上平移6个单位得到新拋物线， ∴新抛物线解析式为， 根据题意，点、， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， 过点K作于点Q，将逆时针旋转得到， 则，，，，， ∴， ∴， ∵，则 ∴， ∴，则在上， 过点K作交于点T， ∴， ∴， ∴， ∵点、， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理，得， 解得， 故（舍去）， 此时K的横坐标为； 过点K作于点P，将顺时针旋转得到， 同理可知在上， 过点K作交于点G， ∴， ∵点、， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 整理，得， 解得， 故（舍去）， 此时K的横坐标为． 综上，K的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，旋转的性质，两点之间线段最短，三角函数的应用，勾股定理，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用，利用数形结合的数学思想是解题的关键． 24. 在等边 中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段 绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求 的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至 所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边 中，于点D， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出 的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在 上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以 为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以 为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． 【小问1详解】 解：过点E作于点G， ∵等边 中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在 上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以 为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以 为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $