2025年中考数学一轮复习基础知识精讲精练--三元一次方程组的应用

三元一次方程组的应用知识点总结 三元一次方程组在初中数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决许多涉及三个变量的实际问题。以下是一些常见的应用领域： 实际问题中的数量关系：三元一次方程组可以用来描述和解决涉及三个变量的实际问题。例如，如果已知三种商品的单价和总花费，可以设三种商品的数量为未知数，建立三元一次方程组来求解。 几何问题中的坐标关系：在空间直角坐标系中，三元一次方程组可以表示三个平面。通过解三元一次方程组，可以找到三个平面的交点，从而确定点的坐标。 经济问题中的成本与收益关系：在经济问题中，三元一次方程组可以用来描述成本与收益之间的关系。例如，设生产数量、销售价格和成本为未知数，建立三元一次方程组来求解最大利润。 物理问题中的运动关系：在物理问题中，三元一次方程组可以用来描述物体的运动。例如，设时间、速度和加速度为未知数，建立三元一次方程组来求解物体的位移。 化学问题中的混合物关系：在化学问题中，三元一次方程组可以用来描述混合物中不同成分的比例。例如，设三种溶液的浓度和体积为未知数，建立三元一次方程组来求解混合后的浓度。 工程问题中的工作量关系：在工程问题中，三元一次方程组可以用来描述工作量与工作效率之间的关系。例如，设工作时间、工人数和工作效率为未知数，建立三元一次方程组来求解完成工作的总时间。 年龄问题：在年龄问题中，三元一次方程组可以用来描述不同人之间的年龄关系。例如，设三个人的年龄为未知数，建立三元一次方程组来求解特定条件下的年龄。 数字问题：在数字问题中，三元一次方程组可以用来描述数字之间的关系。例如，设一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字为未知数，建立三元一次方程组来求解满足特定条件的数字。 鸡兔同笼问题的扩展：在鸡兔同笼问题的扩展中，三元一次方程组可以用来描述三种动物的数量关系。例如，设鸡、兔和另一种动物的数量为未知数，建立三元一次方程组来求解总头数和总脚数。 行程问题的扩展：在行程问题的扩展中，三元一次方程组可以用来描述三个物体的速度、时间和距离之间的关系。例如，设三个物体的速度和时间为未知数，建立三元一次方程组来求解相遇或追及问题。 通过以上应用，我们可以看到三元一次方程组在解决实际问题中的重要性。它提供了一种数学工具，帮助我们建立问题的数学模型，从而找到问题的解决方案。在学习三元一次方程组时，我们应该注重理解其在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。 三元一次方程组的应用练习题 一．选择题（共10小题） 1．某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　） A．68 B．70 C．72 D．74 2．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　） A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5 3．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（　　） A．80 B．75 C．70 D．65 4．某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（　　）分 A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　） A．25 B．24 C．33 D．34 6．某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要5h可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10h才能包装完所有产品．假设每个人包装速度一样．现要在2h内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是（　　） A．16 B．17 C．18 D．20 7．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 10．在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有3个，黑球和红球共4个，白球和红球共5个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为　 　． 12．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　 　． 13．某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息： 信息序号 文字信息 1 D的得分是E得分的四分之一 2 E的得分是B得分的3倍 3 A和D的得分之和等于B和C的总分 4 A与E的得分之差是B得分的四分之三 则这5位同学中获得第三名的是 　 　． 14．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 　 　元． 15．有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元，若购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购买甲、乙、丙各一件，共需 　 　元． 16．某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　 　件． 17．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值等于 　 　． 18．如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为 　 　． 19．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 　 　元． 20．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 　 　次． 三．解答题（共10小题） 21．一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈． （1）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？ （2）救生圈于何时掉入水中？ 22．康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题： （1）在收款收据中，a的值是 　 　，b的值是 　 　，c的值是 　 　； （2）小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？ 23．数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ②×3﹣①×2，整理可得：y＝　 　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　 　， ∴x+y+z＝4 小王的方法：①+②：　 　③； ∴　 　得：x+y+z＝4． 请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7，2元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 24．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　 　． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 25．阅读以下内容：已知实数x，y满足，求8x+3y的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组，解得x＝2，y＝﹣1的值，再代入8x+3y＝13． 乙同学：先②×2，可得6x+4y③，再①+③可得8x+3y＝13． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　 　； （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变； （3）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 26．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 27．三月植树好时节．星河小学原计划栽杨树、柳树和樟树共1500棵．植树节开始后，当栽了杨树棵数的和30棵柳树后，又临时运来了15棵樟树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等．原计划要栽三种树各多少棵？ 28．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　 　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　 　；∴x+y+z＝4． 小渝的方法：①+②：　 　；∴x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 29．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3 把x＝1代入②得：y＝0 所以方程组的解为 （2）已知，求x+y+z的值． 解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③ ③÷4得x+y+z＝4 [类比迁移] （1）直接写出方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． [实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 30．清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检． （1）根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ （2）根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.2倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ （3）迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 三元一次方程组的应用 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A A C B C B A 一．选择题（共10小题） 1．某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（　　） A．68 B．70 C．72 D．74 【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解． 【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人， 则：， 方程组可化为： ， ①+②+③得：4（x+y+z）＝280， ∴x+y+z＝70， 故选：B． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握整体思想是解题的关键． 2．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　） A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5 【分析】根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含a的代数式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3． 故选：A． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 3．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（　　） A．80 B．75 C．70 D．65 【分析】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可． 【解答】解：由题意得：， ①+②得：a+b+2x＝a+b+150， 解得：x＝75， 故选：B． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 4．某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（　　）分 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变得到5x+15y+40z＝10（x﹣3）+20（y﹣2）+30（z﹣1），据此得到x+y﹣2z＝20，再由原来二等奖比三等奖平均分数多7分，得到z＝y﹣7，进而求出x﹣y＝6，据此可得答案． 【解答】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， ∵总分不变， ∴5x+15y+40z＝10（x﹣3）+20（y﹣2）+30（z﹣1）， ∴5x+15y+40z＝10x﹣30+20y﹣40+30z﹣30， ∴x+y﹣2z＝20， ∵原来二等奖比三等奖平均分数多7分， ∴z＝y﹣7， ∴x+y﹣2（y﹣7）＝20， ∴x﹣y＝6， ∴（x﹣3）﹣（y﹣2）＝x﹣y﹣1＝5， ∴调整后一等奖比二等奖平均分数多5分， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． 5．已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　） A．25 B．24 C．33 D．34 【分析】设这个四位数为abcd，则，可以发现（b+c）和的个位为6，b+c＝16；据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1，则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16，则d＝8，又a+d＝8+1+a＝10，则a＝1；综上可知，a﹣1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9． 【解答】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769； 则b+c＝16；又据题意可知，c＝d﹣1，b＝d+1， 则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16， 可得：d＝8， 又∵a+d＝8+1+a＝10， ∴a＝1， 综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9， 所以该四位数的数字之和为25． 故选：A． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，完成本题的关键是通过两数的和先求出b+c＝16之后，再据所给条件求其它数就比较容易了． 6．某工厂的一条流水线匀速生产产品，在有一些产品积压的情况下，经过实验，若安排9人包装，则需要5h可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10h才能包装完所有产品．假设每个人包装速度一样．现要在2h内完成产品包装任务，则至少需要安排的人数是（　　） A．16 B．17 C．18 D．20 【分析】根据“若安排9人包装，则需要5h可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10h才能包装完所有产品”列方程组求解，再计算求解． 【解答】解：设积压的产品为a，工厂平均每小时生产产品为b，一人一小时生产的产品为x， 则：， 解得：， ∴（a+2b）÷2x＝18， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 7．如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】设球的质量是x，小三角形的质量是y，小正方形的质量是z．根据前两幅图可分别得出一个方程，联立求解z和y的关系即可得出答案． 【解答】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小三角形的质量是z， 由题意得，， 解得：z＝3y， 故可得要使保持平衡需要放6个小三角形． 故选：B． 【点评】此题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握解答三元一次不定方程的方法，难度一般． 8．如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答． 【解答】解：设1个“●”，“△”，“□”的质量分别为x，y，z， ∴， ∴， ∴x＝2z， 即：与1个“●”质量相等的“□”的个数为2； 故选：C． 【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 9．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（　　） A．20元 B．30元 C．40元 D．50元 【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用． 【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得， ， ①×2﹣②得，6y＝180， 解得：y＝30， 故选：B． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 10．在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有3个，黑球和红球共4个，白球和红球共5个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A． B． C． D． 【分析】设黑球有x个，白球有y个，红球有z个，根据黑球和白球共有3个，黑球和红球共4个，白球和红球共5个．列出三元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设黑球有x个，白球有y个，红球有z个， 由题意得：， 解得：， 即黑球有1个，白球有2个，红球有3个 ∴随机摸球摸到黑球的概率为， 故选：A． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 11．现有3张扑克牌，它们所标数字分别为正整数a、b、c，且1≤a＜b＜c≤9．甲、乙、丙三个同学同时从这3张扑克牌中随机各拿一张，获得与扑克牌所标数字相同数量的糖果后，完成一次游戏．已知甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，则正整数a、b、c分别为　1，4，8　． 【分析】先根据“3（a+b+c）＝20+10+9”求出a、b、c的解，再根据“甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗”求出确切解． 【解答】解：根据题意得：3（a+b+c）＝20+10+9， ∴a+b+c＝13， ∵1≤a＜b＜c≤9， ∴或或或或或或， 又∵甲、乙、丙3次游戏获得糖果之和分别为20颗、10颗、9颗，且8+8+4＝20，8+1+1＝10，4+4+1＝9， ∴， ∴这三张牌的数字分别是1，4，8． 故答案为：1，4，8． 【点评】本题考查了三元一次方程组，找到相等关系是解题的关键． 12．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　　． 【分析】根据题意列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三元一次方程的应用，掌握方程的解法是解题的关键． 13．某校举行一次数学竞赛，赛后5名同学A，B，C，D，E知道了自己的成绩，但这5名学生想尽快得知比赛的名次，得到如下信息： 信息序号 文字信息 1 D的得分是E得分的四分之一 2 E的得分是B得分的3倍 3 A和D的得分之和等于B和C的总分 4 A与E的得分之差是B得分的四分之三 则这5位同学中获得第三名的是 　E　． 【分析】由文字信息得到数学表达式，组成方程组，化简比较大小即可． 【解答】解：由题意得，， 解得，， ∴A＞C＞E＞B＞D， ∴获得第三名的同学是E， 故答案为：E． 【点评】本题考查了方程组的应用，正确写出四条文字信息的数学表达式是解题的关键． 14．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 　540　元． 【分析】设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x，y，z元，根据题意题意列方程组即可． 【解答】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为x，y，z元，由题意得： ， ①+②得：4x+4y+4z＝720， ∴3x+3y+3z＝540（元）， 故答案为：540． 【点评】本题考查了三元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式进行求解． 15．有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元，若购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元，那么购买甲、乙、丙各一件，共需 　150　元． 【分析】设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，根据“购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，再利用（方程①+方程②）÷4，即可求出结论． 【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元， 根据题意得：， ∴（①+②）÷4得：x+y+z＝150， ∴购买甲、乙、丙各一件，共需150元． 故答案为：150． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 16．某车间有A，B，C型的生产线共12条，A，B，C型生产线每条生产线每小时的产量分别为4m，2m，m件，m为正整数．该车间准备增加3种类型的生产线共7条，其中B型生产线增加1条，受到限电限产的影响，每条生产线（包括之前的和新增的生产线）每小时的产量将减少4件．统计发现，增加生产线后，该车间每小时的总产量恰比增加生产线前减少10件，且A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67．请问增加生产线后，该车间所有生产线每小时的总产量为 　134　件． 【分析】解此题的关键在于依题意列出方程组，再结合m与生产线的数均为正整数可得解．具体为设A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）条，依据增加生产线后总产量减少10件的已知条件可列方程，再结合m与生产线的数均为正整数进而可得a、m的值，再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67可列方程，再结合生产线的数量均为非负整数的特征，进而可得x、y、z的值，即可得解． 【解答】解：设增加生产线前A，B，C型生产线各有x、y、z条，增加生产线后A型增加a条，则C型增加（7﹣1﹣a）即（6﹣a）条， 由题意可得： 4mx+2my+mz＝（x+a）（4m﹣4）+（y+1）（2m﹣4）+（z+6﹣a）（m﹣4）+10， 整理得： 3ma+8m＝18+4（x+y+z）， 由题意得：x+y+z＝12， 代入上式整理可得： m， 又因为m是正整数， 所以3a+8的值可能为1、2、3、6、11、22、33， 结合0≤a≤6且a为正数， 可得3a+8＝11，即a＝1， 所以m＝6， 所以增加生产线后A型增加1条生产线，B型增加1条生产线，C型增加5条生产线， 且增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为（4m﹣4）（件）、（2m﹣4）（件）、（m﹣4）（件）， 即增加生产线后A，B，C型生产线的每小时产量分别为20（件）、8（件）、2（件）， 再由A型生产线每小时的产量与三种类型生产线每小时的总产量之比为30：67， 可得， 化简分式方程得：1340x+1340＝600x+600+240y+240+60z+300， 移项、合并同类项得：74x+20＝24y+6z， 而由x+y+z＝12得：x＝12﹣y﹣z， 代入上式得：74（12﹣y﹣z）+20＝24y+6z， 整理得：z， 因为x、y、z均为非负整数， 所以454﹣49y一定能被整除， 所以454﹣49y的个位数字一定是0， 即49y的个位数字一定是4， 所以y＝6（条）， 那么z＝4（条）， 随即可得x＝2（条）， 再次检验当x、y、z分别为2、6、4时，以上分式均成立． 最后计算增加生产线后该车间生产线每小时总产量为： 20（2+1）+8（6+1）+2（4+5）＝134（件）． 故答案为：134． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键在于能够理解题意列出方程求解． 17．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行（沿虚线箭头）加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值等于 　2　． 【分析】设3a的十位数字是m，个位数字是n，列出符合条件的方程组，求解即可． 【解答】解：由题意得，如图， 设3a的十位数字是m，个位数字是n， 则， ∴ ， ∴a的值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了新定义，理解新定义的计算方法是解题的关键． 18．如图，在3×3的正方形网格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，则a﹣bc的值为 　﹣13　． 【分析】根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和均相同，列出三元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，， 解得：， ∴a﹣bc＝﹣5﹣（﹣2）×（﹣4）＝﹣5﹣8＝﹣13， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用以及有理数的混合运算等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 19．买3本练习本，2支笔，7块橡皮共用了27元，买同样的练习本5本，同样的笔4支，同样的橡皮9块共用了43元，如果买同样的练习本、笔、橡皮各5本、5支、5块，总共需要 　40　元． 【分析】设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元，先根据题意列出三元一次方程组，利用等式的性质得x+y+z的值，最后求出5x+5y+5z的值． 【解答】解：设练习本一本x元，笔 一支y元，橡皮一块z元， 由题意，得， ②﹣①，得2x+2y+2z＝16． ∴x+y+z＝8． ∴5x+5y+5z ＝5（x+y+z） ＝5×8 ＝40（元）． 故答案为：40． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握等式的性质是解决本题的关键． 20．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其它硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其它硬币；丙机总是将一枚硬币换成10枚其它硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙换币机上换了 　8　次． 【分析】根据题意可知，设在甲机换了x次，乙机换了y次，丙机换了z次，在甲机上每换一次多1个，在乙机上每换一次多3个，在丙机上每换一次多9个，进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可． 【解答】解：设在甲机换了x次．乙机换了y次．丙机换了z次， 在甲机上每换一次多 1 个； 在乙机上每换一次多 3 个； 在丙机上每换一次多 9 个； 进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个； ∴ 由②﹣①，得：2y+8z＝68， ∴y+4z＝34， ∴y＝34﹣4z， 结合x+y+z＝12，能满足上面两式的值为： ∴x＝2，y＝2，z＝8； 即在丙机换了8次． 故答案为：8． 【点评】本题考查三元一次方程组的应用，找准等量关系，列出三元一次方程是解答本题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈． （1）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？ （2）救生圈于何时掉入水中？ 【分析】（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，A港口到B港口的距离为s，然后根据题意可列方程为，根据行船问题可进行求解； （2）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需6小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+2）小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【解答】解：（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，A港口到B港口的距离为s，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为80（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为80小时． （2）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+2）小时，由题意得： ， 解得：t＝6， ∴6+6＝12； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意． 22．康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题： （1）在收款收据中，a的值是 　5　，b的值是 　6　，c的值是 　9　； （2）小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？ 【分析】（1）根据题意，16支康乃馨+b支百合＝170元，康乃馨的数量×康乃馨的单价＝80，百合数量×百合单价＝10c列三元一次方程组求解即可； （2）根据题意，康乃馨的数量+百合的数量≤24，百合花的数量≥康乃馨的数量，列出不等式组，求得16≤x≤18，再分别计算当x＝16或17或18时的花费，比较即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，共消费170元， 依题意得， 解得； 故答案为：5，6，9； （2）设购康乃馨x支，则购百合花（24﹣x）支， 依题意得， 解得16≤x≤18， 当x＝16时，花费为16×5+8×15＝200（元）； 当x＝17时，花费为17×5+7×15＝190（元）； 当x＝18时，花费为18×5+6×15＝180（元）； ∵180＜190＜200， ∴当购康乃馨18支，百合花6支，花费最小，最小花费为180元． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到关系式． 23．数学活动：探究不定方程 小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．请在以下横线处补全两人的解法． 小张的方法： ②×3﹣①×2，整理可得：y＝　3﹣2z　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　z+1　， ∴x+y+z＝4 小王的方法：①+②：　5x+5y+5z＝20　③； ∴　③÷5　得：x+y+z＝4． 请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7，2元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？ 【分析】（1）分别根据题干提示的思路求解x+y+z即可； （2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组，先求解y，再求解2x+z，从而可得答案． 【解答】解：， 由题意，小张的方法：②×3﹣①×2， 整理可得：y＝3﹣2z； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1， ∴x+y+z＝4， 小王的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③； ∴③÷5得：x+y+z＝4． 故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5． 由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组 ∴②﹣①得，3y＝1.2， ∴y＝0.4． 又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2． ∴2x+3y+z＝3.2． 【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握整体未知数的方法是解本题的关键； 24．问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y）的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　﹣1　． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）某步行街分别摆放有甲．乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景﹣共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【分析】（1）由①﹣②，即可求解； （2）由①×3+②，可得4x+4y＝12，即可求解； （3）黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z，根据题意，列出方程组，即可求解． 【解答】解：（1）①﹣②得，x﹣y＝﹣1 故答案为：﹣1． （2）， 由①×3+②，得4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3）设黄花一共用了M朵．则M＝8x+6y+7z， 由题意，得， 由①+③，得40x+30y+35z＝6650④， 由，得8x+6y+7z＝1330，即M＝1330． 答：黄花一共用了1330朵． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，关键是找到等量关系式． 25．阅读以下内容：已知实数x，y满足，求8x+3y的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组，解得x＝2，y＝﹣1的值，再代入8x+3y＝13． 乙同学：先②×2，可得6x+4y③，再①+③可得8x+3y＝13． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． （1）已知方程组，则x﹣y的值为 　7　； （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变； （3）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【分析】（1）根据题意用①﹣②即可得出答案； （2）根据题意①×3得3x+9y＝12﹣3a③，再②+③即可得出答案； （3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，根据题意列出方程组，根据整体代换的思想可求出x+3y+2z，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴①﹣②得：x﹣y＝7， 故答案为：7； （2）方程组中，①×3得3x+9y＝12﹣3a③， ②+③得：4x+4y＝12， 则x+y＝3， 即无论a取何值，x+y的值始终不变； （3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元， 依题意得：， ①×2﹣②得：x+y＝45③， ②﹣③×3得：2y+2z＝110④， ③+④得：x+3y+2z＝155， 答：C盲盒成本为155元． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． 26．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可． （2）可根据三种不同类型的电脑的总量＝26台，购进三种电脑的总费用＝104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案． 【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台， ①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得 ， 解得：； ②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：； ③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：，不合题意，舍去． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台． （2）根据题意得： ， 解得：或． 答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台． 【点评】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系：购进的两种电脑的数量和＝50台，购进两种电脑的费用和＝104000元．列出方程组．要注意自变量的取值范围要符合实际意义，有两解． 27．三月植树好时节．星河小学原计划栽杨树、柳树和樟树共1500棵．植树节开始后，当栽了杨树棵数的和30棵柳树后，又临时运来了15棵樟树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等．原计划要栽三种树各多少棵？ 【分析】设原计划要栽x棵杨树，y棵柳树，则要栽（1500﹣x﹣y）棵樟树，根据“当栽了杨树棵数的和30棵柳树后，又临时运来了15棵樟树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值（即原计划要栽杨树、柳树的棵数），再将其代入（1500﹣x﹣y）中，即可求出原计划要栽樟树的棵数． 【解答】解：设原计划要栽x棵杨树，y棵柳树，则要栽（1500﹣x﹣y）棵樟树， 根据题意得：， 解得：， ∴1500﹣x﹣y＝1500﹣825﹣360＝315． 答：原计划要栽825棵杨树，360棵柳树，315棵樟树． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 28．数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　3﹣2z　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　z+1　；∴x+y+z＝4． 小渝的方法：①+②：　5x+5y+5z＝20　；∴x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购2本英语簿，2本数学簿，1本作文本需要2.8元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【分析】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解； （2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解； （3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而 ，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，小川的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1， ∴x+y+z＝4． 小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③； ∴③÷5得：x+y+z＝4． 故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20； （2）由题意得： ， ∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x； ①+②×2，整理得，y＝x﹣3， ∴x+y+z＝3； （3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，可得方程组： ， ∴②﹣①×2得：4y＝1.6， ∴y＝0.4． 又①×4﹣②，整理得：2x+z＝2， ∴2x+3y+z＝3.2． ∴200x+300y+100z＝320． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 29．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：（1）把②代入①得：x+2×1＝3 把x＝1代入②得：y＝0 所以方程组的解为 （2）已知，求x+y+z的值． 解：（2）①+②得：10x+10y+10z＝40③ ③÷4得x+y+z＝4 [类比迁移] （1）直接写出方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． [实际应用]打折前，买36件A商品，12件B商品用了960元．打折后，买45件A商品，15件B商品用了1100元，比不打折少花了多少钱？ 【分析】（1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①﹣②即可得出答案； [实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元，由题意可得关于x，y的二元一次方程，变形可得45x+15y＝1200，用原价减现价即可得少花钱数． 【解答】解：（1），把②代入①中，得： 3×2+4＝2a，解得：a＝5， 把a＝5代入②中，得b＝3， ∴方程组的解为． （2），①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1． [实际应用]设打折前A商品每件x元，B商品每件y元， 根据题意得：36x+12y＝960， 两边同时乘以，得：45x+15y＝1200， 1200﹣1100＝100（元）， 答：比不打折少花了100元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． 30．清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检． （1）根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ （2）根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.2倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ （3）迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 【分析】（1）设当天开放的安检通道有n条，再建立方程12×4n＝1200，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为x人，每分钟到达的人数为y人，游客的随检时间为k时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加m条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【解答】解：（1）∵42﹣30＝12（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有n条， ∴12×4n＝1200， 解得：n＝25， 答：当天开放的安检通道有25条； （2）设8：30开园时，排队的人数为x人，每分钟到达的人数为y人，游客的随检时间为k时，则， ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客10：10才能随到随检； （3）设至少需要增加m条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为10． ∴至少需要增加10条安检通道． 【点评】本题考查的是二元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $$