高一数学期中模拟卷02（新高考地区专用，测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何初步）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 2．若，是一组基底，向量（，），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，， 可知， 又因为向量在基底，下的坐标为， 则， 所以在基底，下的坐标为. 故选：C. 3．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，三角形有两解，故A错误; 对于B：因为，所以， 且，所以,所以或，故有两解，故B错误； 对于C：因为，所以无解，故C错误； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D正确. 故选：D 4．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 又因为，，所以 向量在向量上的投影向量为： 故选：D. 5．已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 8．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图：取与的交点为，取中点，连接，交于点， 则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分.因为. 又，所以，所以.过作于点， 因为平面，平面，所以.因为，平面，所以平面.所以为到平面的距离，其值为， 点为的中点，所以点到平面的距离为：.所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】AB 【详解】对A：因为面，则平面内只要是平行于的直线，都平行于平面，故A正确； 对B：在平面内作直线的垂线，则面，则垂直于平面的任意直线； 故平面内已知直线必垂直于直线，以及与平行的无数条直线，故B正确； 对C：平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于平面，故C错误； 对D：过平面内，且在交线外的一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面，故D错误； 故选：AB. 10．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【详解】对于A，设，当时，， 得，得，即，故A正确； 对于B，令，可知，故B错误； 对于C，令， 可知，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图：    水量较少，水面恰好为长方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为长方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以的取值范围是. 故答案为： 13．设复数z满足，则的范围是 【答案】 【详解】设，因为， 所以有，该方程表示圆心为，半径为的圆， 而，它表示圆上的点到的距离， 因为两点、的距离为，圆的半径为， 所以， 因此的范围是， 故答案为： 14．已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，， 又向量与共线，所以，解得................6分 （2）若向量与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由得，此时同向，不满足题意. 综上，实数的取值范围为.................13分 16．（15分）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为；................5分 （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数；................10分 （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1．...............15分 17．（15分）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 【详解】（1）（i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积.................4分 （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积................8分 （2）设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是.................15分 18．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即.................4分 （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. ................10分 （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 将①，②，③式依次代入即得： ， 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为................17分 19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故.................4分 （2）因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为.................5分 （3）由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值．................17分 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．若，是一组基底，向量（，），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 8．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 10．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 13．设复数z满足，则的范围是 14．已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 17．（15分）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 18．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．若，是一组基底，向量（，），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 8．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（    ） A． B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是（    ） A．平面内一定存在直线平行于平面 B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线 C．平面内任一条直线必垂直于平面 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 10．已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 13．设复数z满足，则的范围是 14．已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量. (1)若向量与共线，求实数的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 17．（15分）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4倍. (1)若 ； (i)求该模型的体积； (ii)求顶部正四棱锥的侧面积； (2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值. 18．（17分）如图，在平面四边形中，，若是上一点，，记，. (1)证明：； (2)若，，. （i）求的值； （ii）求的取值范围. 19．（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； (2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； (3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D B D D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为， 所以，， 又向量与共线，所以，解得................6分 （2）若向量与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由得，此时同向，不满足题意. 综上，实数的取值范围为.................13分 16．（15分） 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为；................5分 （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数；................10分 （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1．...............15分 17．（15分） 【详解】（1）（i）由，得，又， 因此正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积， 所以模型有体积.................4分 （ii）取的中点，连接，由，得， 所以正四棱锥的侧面积................8分 （2）设，正四棱柱的侧面积为， 则， 于是 ，而， 因此当，即时，， 所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是.................15分 18．（17分） 【详解】（1）因为，所以， 在中，，可得， 所以，即.................4分 （2）（i）在中，由正弦定理得， 可得，即（*）， 由（1）已证：，即， 将 （*）代入得，，即， 解得或（舍去）， 因为，所以. ................10分 （ii）在中，由正弦定理得， 即①， 由余弦定理得②， 因为，，,所以，所以③， 在中，由余弦定理得:， 将①，②，③式依次代入即得： ， 因为，所以， 结合正弦函数的图象可得，， 所以，即的取值范围为................17分 19．（17分） 【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故.................4分 （2）因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为.................5分 （3）由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值．................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$