精品解析：2025年广东省深圳市南实教育集团中考一模数学试题

深圳市南山实验教育集团2024-2025学初三年级 第一次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氧气 2. 在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 3. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 5. 深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 反比例函数的图象是轴对称图形 C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且 D. 对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根 7. 如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，，则______． 10. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是____平方步． 11. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 12. 如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则______°． 13. 如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 15. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 16. 如图，四边形中，为对角线，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 17. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 18. 如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： （1）数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： （2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． （3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 20. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山实验教育集团2024-2025学初三年级 第一次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（ ） A. 氦气 B. 氢气 C. 氮气 D. 氧气 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， 液化温度最低的气体是氦气． 故选A． 2. 在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的，则这个扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积和圆心角的关系，掌握每部分占整个部分的分率等于这部分的圆心角占的分率，是解题的关键． 扇形面积占整个圆形的，用乘以进行计算即可． 【详解】解：根据题意，扇形的圆心角为：， 故选：D． 3. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义列式计算即可． 【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为， ， ， 故选：D． 4. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．若这棵树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为（ ） A. B. C. D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 先求解，再根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：， 由题意得：，， ， ， ， ． 故选B． 5. 深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，用复利增长公式列方程即可． 【详解】解：设进书城人次的年平均增长率为， 根据题意得：， 故选：C． 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 反比例函数的图象是轴对称图形 C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且 D. 对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理，反比例函数图象，黄金分割的概念，意义二次方程根的判别式是解题的关键． 根据菱形的性质和矩形的判定定理，反比例函数图象，黄金分割的概念，意义二次方程根的判别式逐项判断即可， 【详解】解：A． 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，该命题正确，故该选项不符合题意； B． 反比例函数的图象是轴对称图形，该命题正确，故该选项不符合题意； C． 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，，该命题错误，故该选项符合题意； D． 对于任意的实数b，方程的，故方程有两个不相等的实数根，该命题正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，过点C作于点， 当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， 由题意得，，，， 在中，由勾股定理得，， ， ． 故选：A． 8. 如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 先利用直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，然后利用直角三角形的三角函数即可得出答案． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为点，则， 轴，点是线段的中点，且， ， 点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆， ，， ， 面积为， 则当面积取得最小值时，应最小， 由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值， ， ∴， 又，， ， ∴， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握是解题的关键． 先通分再带入计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 10. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么这块宛田的面积是____平方步． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积计算公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： （平方步）； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 11. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系得到，得出即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴ 所以 ． 故答案为． 12. 如图，中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，得到，，证明，得到，得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点分别在反比例函数与的图象上， ，， ， ，， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，对角线交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，若是直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质得到，得出是等边三角形，得到，，求出，，根据旋转的性质得到，可证明，得到，，得到是定值，若是直角三角形，分两种情况：当时，，；当时，，；即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， 是定值， 若是直角三角形，分两种情况： 当时， ， 则， ； 当时， ， 则， ； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差 B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 15. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_______， _______， _______． （2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1），， （2）估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 （3） 画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问3详解】 略 16. 如图，四边形中，为对角线，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：如图所示：菱形即为所求． 理由：∵是的垂直平分线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由，，结合四边形内角和得，，进而可证四边形是平行四边形； （2）作的垂直平分线，分别交边，于点E，F即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，作线段的垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等角对等边，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 17. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 18. 如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，点在线段上，连接交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，由切线的性质得到， 由等腰三角形的性质得， 根据得，即，， ， ， 由等腰三角形角平分线性质得； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得，根据得，由等腰三角形角平分线性质得； （2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 设，， ，， ， ， ， ， ， ． 19. 【项目主题】合理设计，实用便民 【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动： 素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴． 素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线） 素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长． 根据提供素材，完成下列问题： （1）数学小组计算出的长度，具体如下： 解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③． 请补全上述求解过程中①②③所缺的内容： （2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）． （3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装． 【答案】（1）①，②，③； （2） （3），长的材料能完成灯架和支架的安装 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质即可得到答案； （2）根据题意得到，将代入解析式求出，即可得到答案； （3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为 求出的值，得到的值，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，步， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：①，②，③； 【小问2详解】 解：抛物线：的最高点离地面， ， 把代入得， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：的坐标为，， 的横坐标依次为， 的横坐标依次为， 设的坐标依次为 把代入得， 解得：， ， 同理可得，，； ，； ， ， ， 长的材料能完成灯架和支架的安装． 20. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是； ②解：如图2中，点M即为所求； （2） ①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $