精品解析：天津市第三中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷

天津市第三中学2024~2025学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学试卷 （2025.3） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共9道题，每题4分，共36分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C D. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 02 0.1 0.1 0.3 0.3 若随机变量， 则等于 （ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数 下列说法不正确是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时， 它最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 9. 定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共10题，共64分） 二、填空题（共6道题，共24分） 10. 函数的极大值点为________，极小值点为________． 11. 已知函数，则在上的最大值是__________． 12. 函数，则曲线在处的切线方程为___________. 13. 若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 14. 若函数在区间内单调递减，则实数取值范围是___________． 15. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 三.解答题（每题10分，共40分） 16. 某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． （1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率． （2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望． 17. 已知 （1）若 求在处的切线的斜率; （2）讨论的单调性; 18. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 19. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第三中学2024~2025学年度第二学期高二年级阶段性检测 数学试卷 （2025.3） 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（共9道题，每题4分，共36分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 2. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 若随机变量， 则等于 （ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. 已知是函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导后赋值计算即可. 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 5. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 6. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ） ①在区间上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间上是增函数，在区间上是减函数； ④是的极大值点. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案． 【详解】解：由导函数的图象可知，当时， 当时，当时，当时， 所以在区间上单调递减，故①错误； 在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增， 在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误； 故选：C． 7. 甲、乙，丙3人各自从这3个景点中随机选1个去旅游，设事件“3个人都没去A景点”，事件“甲独自去一个景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型求，进而可得条件概率. 【详解】由题意可得：，， 所以． 故选：B. 8. 关于函数 下列说法不正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时， 它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：B. 9. 定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于的不等式，解出即可. 【详解】令，则，故单调递减， 即，得，解得：. 故选：B. 第Ⅱ卷 非选择题（共10题，共64分） 二、填空题（共6道题，共24分） 10. 函数的极大值点为________，极小值点为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】对函数求导，求出单调区间，然后根据极值点的定义即可求解. 【详解】 令，解得，，； ，解得，或， 故在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，极小值点为. 故答案为：1；. 11. 已知函数，则在上的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可． 【详解】由题意可知，， ，． 当时，， 函数在区间上单调递增，则． 故答案为： 12. 函数，则曲线在处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程. 【详解】函数的导数为， 可得曲线在处的切线的斜率为，切点为， 则切线的方程为，即. 故答案为：. 13. 若函数在处有极大值，则实数的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点列方程来求得的值. 【详解】依题意，， 所以， 解得或， 当时，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以是的极小值，不符合题意. 当时，， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 所以是的极大值，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 14. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出导数，由题意得在上恒成立，由分离参数思想可得结果. 【详解】由得， 由于函数在区间内单调递减， 即在上恒成立，即， 即得恒成立，所以. 故答案为： 15. 甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案. 根再根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为， 两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,， ， 所以. 故答案为：,. 三.解答题（每题10分，共40分） 16. 某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． （1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率． （2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案. （2）X的可能取值为，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率. 【小问2详解】 X的可能取值为，所以 ， ， ， 该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列： X 0 1 2 3 P 期望. 17. 已知 （1）若 求在处的切线的斜率; （2）讨论的单调性; 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以所求切线的斜率为. 【小问2详解】 由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 18. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极大值． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值，以及相应的值． 【答案】（1） （2）或时，当时 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）求出函数导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意，即，解得， 所以，经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 所以当或时， 当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，，，， 所以当或时，当时. 19. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①对函数求导，利用导数几何意义求出切线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解. ②令，利用导数法求得其在上单调递减，结合，即可证明. （2）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 ①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. 【小问2详解】 由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$