第9章 《图形变换3》分类练习 2024-2025学年苏科版七年级下册数学

七下数学第7周《图形变换3》 一．列代数式 1．如图，点B在线段AC上，分别以线段AC、AB、BC为直径画圆，圆心分别是点O、O1、O2．已知半径O1A＝acm，半径O2C比半径O1A大bcm． （1）O2C＝　 　 cm（用含a、b的代数式表示）OA＝　 　 cm（用含a、b的代数式表示）； （2）求图中阴影部分的面积（π取3）． 二．规律型：数字的变化类 2．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：245、246、247、…、289、290．若245＝m，用含m的式子表示这组数的和是（　　） A．2m2﹣2m﹣2 B．2m2﹣2m C．2m2+m D．2m2﹣m 3．观察下列算式：①（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；②（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；③（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…结合你观察到的规律判断22025+22024+…+22+2+1的计算结果的末位数字为　 　 ． 4．【知识探索】观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1； （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27； （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216； … 按以上等式的规律，发现：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3． （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立； 【知识运用】 （2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值； （3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值． 三．同底数幂的乘法 5．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 四．幂的乘方与积的乘方 6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值； （2）已知2×8x×16＝223，求x的值． 7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值； （2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求证a+c＝2b． 五．同底数幂的除法 8．已知：5a＝3，5b＝8，5c＝72． （1）求（5a）2的值． （2）求5a﹣b+c的值． （3）字母a、b、c之间的大小关系是 　 　 ． 六．整式的混合运算 9．计算： a2•a4＝ 　 　 ； a6÷a﹣2＝ 　 　 ； （m3）2•m2＝ 　 　 ； （﹣m4）3÷（﹣m）2＝ 　 　 ； 4a2b•2b2＝ 　 　 ； （2a4b2c3）÷（4b2c）＝ 　 　 ； （﹣2a2b）3•（4a2b2）＝ 　 　 ； （a2n）3÷（a2）3n（n为整数）＝ 　 　 ； （3x﹣2y）（2x+2y）＝ 　 　 ； （2x+3y）2（3y﹣2x）2＝ 　 　 ． 10．计算． （1）； （2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（结果用科学记数法表示）； （3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2； （4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）． 七．质数与合数 11．【发现】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；… 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【应用】： （1）（8+3）2﹣82的结果是3的 　 　 倍； （2）设偶数为2k（k为整数），试说明比2k大3的数与2k的平方差能被3整除； 【延伸】： （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，m2+1是一个大于t2的质数，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t为正整数），则m﹣t的值为 　 　 ． 八．多项式乘多项式 12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　 　 ． 13．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为 　 　 ． （2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为 　 　 ． （3）若计算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　 　 ． （4）计算（x+1）5所得多项式的一次项系数为 　 　 ，二次项系数为 　 　 ． （5）计算（2x﹣1）5所得多项式的一次项系数为 　 　 ，二次项系数为 　 　 ． 九．完全平方公式 14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　 　 ． 一十．完全平方式 15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，则m＝　 　 ． 16．若x2+kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为　 　 ． 一十一．完全平方公式的几何背景 17．若一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加9cm2，则这个正方形的边长是 　 　 cm． 18．数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为　 　 ． 19．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 　 　 ． 一十二．分式的值 20．解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，则x＝ 　 　 ． （2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． （4）若已知50a＝20，8b＝20，则 　 　 ． 一十三．一元一次方程的应用 21．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM＝　 　 度； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由； （3）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ （4）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　 秒．（直接写出答案） 一十四．全等三角形的判定与性质 22．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE，ED，DC，OA．下列结论：①∠EAD＝90°；②OA平分∠BOC； ③△ABE是等边三角形；④CD＝DE．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一十五．作图—应用与设计作图 23．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． （1）如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． （2）如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． （3）如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 一十六．轴对称的性质 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　） A． B． C． D． 25．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是 　 　 （填上序号）． 26．如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，则线段MR的长为（　　） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 27．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 28．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 　 　 ； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若∠A′PB′＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数； ②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）． 一十七．翻折变换（折叠问题） 29．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　 　 ． 一十八．旋转的性质（共1小题） 30．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形写出关于旋转的3条不同的性质． 文字语言 符号语言 ① （1）　 　 ． （2）　 　 ． ② （3）　 　 ． （4）　 　 ． ③ （5）　 　 ． （6）　 　 ． ＝（2﹣1）（22025+22024+…+22+2+1） ＝22026﹣1． 因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，⋯， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为2024÷4＝506，所以22024的末位数字为6， 所以22026的末位数字为4， 所以22026﹣1的末位数字为3， 即22025+22024+…+22+2+1的计算结果的末位数字为3． 故答案为：3． 4．【知识探索】观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1； （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27； （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216； … 按以上等式的规律，发现：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3． （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3成立； 【知识运用】 （2）已知a+b＝1，ab＝﹣1，求a3+b3的值； （3）已知（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20，求（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值． 【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3 ＝a3+b3， 即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； （2）∵a+b＝1，ab＝﹣1， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝12﹣2×（﹣1） ＝1+2 ＝3， ∴a3+b3 ＝（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝1×（3+1） ＝1×4 ＝4； （3）∵（x﹣2023）2+（2025﹣x）2＝20， ∴（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝20， 设m＝x﹣2023，n＝x﹣2025， 则m2+n2＝20，m﹣n＝x﹣2023﹣（x﹣2025）＝x﹣2023﹣x+2025＝2， 那么mn8， 则（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝22+4×8＝36， ∴m+n＝±6， ∴（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3 ＝（x﹣2023）3+（x﹣2025）3 ＝m3+n3 ＝（m+n）（m2﹣mn+n2）， 当m+n＝6时，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝6×（20﹣8）＝6×12＝72， 当m+n＝﹣6时，（m+n）（m2﹣mn+n2）＝﹣6×（20﹣8）＝﹣6×12＝﹣72， 即（x﹣2023）3﹣（2025﹣x）3的值为±72． 三．同底数幂的乘法（共1小题） 5．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：A． 四．幂的乘方与积的乘方（共2小题） 6．（1）已知3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值； （2）已知2×8x×16＝223，求x的值． 【解答】解：（1）∵3m+2n﹣6＝0， ∴3m+2n＝6， ∴8m•4n ＝23m•22n ＝23m+2n ＝26 ＝64； （2）∵2×8x×16 ＝2×23x×24 ＝23x+5 ＝223， ∴3x+5＝23， ∴x＝6． 7．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值； （2）若ya＝2，yb＝4，yc＝8，求证a+c＝2b． 【解答】（1）解：2×8x×16x ＝2×23x×24x ＝21+3x+4x ＝27x+1， ∵27x+1＝222， ∴7x+1＝22， ∴x＝3． （2）证明：∵ya•yc＝ya+c＝2×8＝16， （yb）2＝y2b＝42＝16， ∴ya+c＝y2b， ∴a+c＝2b． 五．同底数幂的除法（共1小题） （2）（4×102）3÷（2×10﹣3）2（结果用科学记数法表示）； （3）（x﹣y）（x﹣3y）﹣（2x﹣y）2； （4）（2x﹣y﹣z）（y+z﹣2x）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝64×106÷（4×10﹣6） ＝16×1012 ＝1.6×1013； （3）原式＝x2﹣3xy﹣xy+3y2﹣4x2+4xy﹣y2 ＝﹣3x2+2y2； （4）原式＝（2x﹣y﹣z）[﹣（2x﹣y﹣z）] ＝﹣（2x﹣y﹣z）2 ＝﹣[2x﹣（y+z）]2 ＝﹣[4x2﹣2×2x×（y+z）+（y+z）2] ＝﹣4x2+4xy+4xz﹣y2﹣2yz﹣z2． 七．质数与合数（共1小题） 11．【发现】：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；… 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 【应用】： （1）（8+3）2﹣82的结果是3的 　19　 倍； （2）设偶数为2k（k为整数），试说明比2k大3的数与2k的平方差能被3整除； 【延伸】： （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，m2+1是一个大于t2的质数，且10（m2+1）＝n2+1（m，n，t为正整数），则m﹣t的值为 　1　 ． 【解答】（1）解：（8+3）2﹣82＝112﹣82＝（11﹣8）（11+8）＝3×19， 即（8+3）2﹣82的结果是3的19倍， 故答案为：19； （2）证明：偶数为2k，比2k大3的数为2k+3， ∴（2k+3）2﹣（2k）2 ＝4k2+12k+9﹣4k2 ＝3（4k+3）， ∵4k+3为整数， ∴3（4k+3）能被3整除， ∴比2k大3的数与2k的平方差能被3整除； （3）解：设这个数为n，比n大3的数为n+3， ∴（n+3）2﹣n2 ＝n2+6n+9﹣n2 ＝6（n+1）+3， ∵比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t， ∴t＝3， ∴t2＝9， ∵m2+1是一个大于t2的质数， ∴m2+1≥9且是质数， ∴m2+1＝11或13或17或19等， ∵10（m2+1）＝n2+1，m，n为正整数， ∴m＝4，n＝13， ∴m﹣t＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 八．多项式乘多项式（共2小题） 12．若（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项，则代数式mn的值为 　8　 ． 【解答】解：（x2+mx）（x2+2x﹣n） ＝x4+2x3﹣nx2+mx3+2mx2﹣mnx ＝x4+（2+m）x3+（2m﹣n）x2﹣mnx， ∵（x2+mx）（x2+2x﹣n）的积中不含x2项与x3项， ∴， 由①得：m＝﹣2， 把m＝﹣2代入②得：n＝﹣4， ∴mn＝（﹣2）×（﹣4）＝8， 故答案为：8． 13．阅读以下材料，回答下列问题： 小明遇到这样一个问题：求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．小明想通过计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法． 他决定从简单情况开始，先找（x+2）（2x+3）所得多项式中的一次项系数．通过观察发现： 也就是说，只需用x+2中的一次项系数1乘以2x+3中的常数项3，再用x+2中的常数项2乘以2x+3中的一次项系数2，两个积相加1×3+2×2＝7，即可得到一次项系数． 延续上面的方法，求计算（x+2）（2x+3）（3x+4）所得多项式的一次项系数．可以先用x+2的一次项系数1，2x+3的常数项3，3x+4的常数项4，相乘得到12；再用2x+3的一次项系数2，x+2的常数项2，3x+4的常数项4，相乘得到16；然后用3x+4的一次项系数3，x+2的常数项2，2x+3的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46． 参考小明思考问题的方法，解决下列问题： （1）计算（2x+1）（3x+2）所得多项式的一次项系数为 　7　 ． （2）计算（x+1）（3x+2）（4x﹣3）所得多项式的一次项系数为 　﹣7　 ． （3）若计算（x2﹣x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　﹣1　 ． （4）计算（x+1）5所得多项式的一次项系数为 　5　 ，二次项系数为 　10　 ． （5）计算（2x﹣1）5所得多项式的一次项系数为 　10　 ，二次项系数为 　﹣40　 ． 【解答】解：（1）2×2+1×3＝7， 故答案为：7； （2）1×（﹣3）×2+3×1×（﹣3）+4×1×2＝﹣6﹣9+8＝﹣7， 故答案为：﹣7； （3）由题意得，1×a×1+（﹣3）×1×（﹣1）+2×1×a＝0， 也就是，a+3+2a＝0， 所以，a＝﹣1； 故答案为：﹣1； （4）∵（x+1）5 ＝（x+1）（x+1）（x+1）（x+1）（x+1） ＝（x2+2x+1）（x2+2x+1）（x+1） ∴一次项系数为：2×1×1+2×1×1+1×1×1＝5； 二次项系数为：1+1+2×2+2×1+2×1＝10． 故答案为：5，10； （5）∵（2x﹣1）5＝（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）（2X﹣1）． ＝（4x2﹣4x+1）（4x2﹣4x+1）（2X﹣1）． ∴一次项系数为：﹣4×1×（﹣1）+（﹣4）×1×（﹣1）+2×1×1＝10， 二次项系数为：2×（﹣4）×1+（﹣4）×（﹣4）（﹣1）×2 ＝﹣40． 故答案为：10；﹣40． 九．完全平方公式（共1小题） 14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　2025　 ． 【解答】解：∵x2﹣2x＝2， ∴（x﹣1）2+2022 ＝x2﹣2x+1+2022 ＝2+1+2022 ＝2025． 故答案为：2025． 一十．完全平方式（共2小题） 15．若x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式，则m＝　9或1　 ． 【解答】解：∵x2+2（m﹣5）x+16是完全平方式， ∴2（m﹣5）＝±8， 解得：m＝9或1， 故答案为：9或1 16．若x2+kx+4是一个完全平方式，则常数k的值为　±4　 ． 【解答】解：∵x2+kx+4＝x2+kx+22， ∴kx＝±2×2x， 解得k＝±4． 故答案为：±4． 一十一．完全平方公式的几何背景（共3小题） 17．若一个正方形的边长增加1cm，它的面积就增加9cm2，则这个正方形的边长是 　4　 cm． 【解答】解：设这个正方形的边长为a cm，则变化后的边长为（a+1）cm，由题意得， （a+1）2﹣a2＝9， 解得a＝4， 即这个正方形的边长为4cm， 故答案为：4． 18．数学课上老师让同学们用若干个小矩形，拼成一个大矩形，如图所示，请你仔细观察图形，写出图中所表示的整式的乘法关系式为　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2　 ． 【解答】解：由拼图可得，大长方形的长为a+2b，宽为a+b， 所以面积为（a+2b）（a+b）， 根据各个部分面积和为a2+3ab+2b2， 因此有（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， 故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 19．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则图乙的面积为 　75　 ． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝5， （a+b）2﹣（a2+b2）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab＝35， ∴图乙的面积为： （a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2+4ab ＝（a﹣b）2+2ab×2 ＝5+35×2 ＝5+70 ＝75， 故答案为：75． 一十二．分式的值（共1小题） 20．解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，则x＝ 　2　 ． （2）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． （3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． （4）若已知50a＝20，8b＝20，则 　2　 ． 【解答】解：（1）∵3x×9x×27x＝312， ∴3x•（32）x•（33）x＝312， 3x•32x•33x＝312， 3x+2x+3x＝312， ∴6x＝12， x＝2， 故答案为：2； （2）∵3x+2﹣3x+1＝54， ∴3x+1（3﹣1）＝54， 2×3x+1＝54， 3x+1＝27＝33， ∴x+1＝3， x＝2； （3）∵x＝5m﹣3，y＝4﹣25m， ∴5m＝x+3，25m＝52m＝（5m）2＝（x+3）2， ∴y＝4﹣（x+3）2＝4﹣x2﹣6x﹣9＝﹣x2﹣6x﹣5； （4）∵50a＝20，8b＝20， ∴50ab＝20b，8ab＝20a， ∴50ab•8ab＝20b•20a， （50×8）ab＝20a+b， （202）ab＝20a+b， 202ab＝20a+b， ∴2ab＝a+b， ∴， 故答案为：2． 一十三．一元一次方程的应用（共1小题） 21．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠AOM＝　120　 度； （2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明你的理由； （3）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ （4）将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线OC绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　　 秒．（直接写出答案） 【解答】解：（1）∵OM平分∠BOC， ∴∠BOM∠BOC120°＝60°． ∴∠CAD＝360°﹣∠BAD﹣∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°，即①正确； ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝60°， 又∵AB＝AE， ∴， ∴△ABE是等边三角形，即③正确； 又∵分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE， ∴△ABD≌△AEC， ∴S△ABD＝S△AEC，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， ∴OA平分∠BOC，即②正确； ∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴， ∴CD＝AD＝AC， ∵∠EAD＝90°， ∴Rt△EAD中，DE＞AD， ∴DE＞CD，即④不正确， 故选：C． 一十五．作图—应用与设计作图（共1小题） 23．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． （1）如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． （2）如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． （3）如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【解答】解：（1）如图①中，点P即为所求； （2）如图②中，线段CD即为所求； （3）如图③中，线段CD，EF即为所求． 一十六．轴对称的性质（共5小题） 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接CC'并延长交A'B'于D，连接CB'，CA'， ∵点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′， ∴AC＝A'C，BC＝B'C，∠ACB＝∠A'CB'，AB垂直平分CC'， ∴△ABC≌△A'B'C（SAS）， ∴S△ABC＝S△A'B'C，∠A＝∠AA'B'，AB＝A'B'， ∴AB∥A'B'， ∴CD⊥A'B'， ∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD＝CE， ∴CD＝CEDC'， ∴S△A'B'CS△A'B'C'， ∴S△ABCS△A'B'C'， ∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为， 故选：B． 25．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是 　①②③　 （填上序号）． 【解答】解：①折叠使点A与点C重合，则：对折点即为AC的中点D，则BD即为AC边上的中线； ②折叠使BC和AB重合，则：折痕BE即为∠B的平分线； ③折叠使CF和AF重合，则：折痕BF即为AC边上的高； 故答案为：①②③． 26．如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，QN＝1.5cm，则线段MR的长为（　　） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴PM＝MQ，PN＝NR， ∵PM＝2.5cm，PN＝3cm， ∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm， ∵QN＝1.5cm， ∴MR＝MQ+QN+NR＝7（cm）， 故选：D． 27．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长； （2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数． 【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称， ∴EM＝EP，FP＝FN， ∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）． （2）∵∠C+∠D＝134°， ∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°． 又∵PG⊥AD，PH⊥BC， ∴∠PGA＝∠PHB＝90°， ∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°． 28．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线． 如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 　90°　 ； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若∠A′PB′＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数； ②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝θ，∠BPM＝∠B'PM＝β， ∴∠APA'＝2θ，∠BPB'＝2β， ∵∠APA'+∠BPB'＝180°， ∴2θ+2β＝180°， ∴θ+β＝90°， ∴∠NPM＝∠A'PN+∠B'PM＝θ+β＝90°， 故答案为：90°； （2）①∵∠APN＝30°， 由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝30°，∠BPM＝∠B'PM∠BPB'， ∴∠APA'＝60°， ∵∠APA'+∠A′PB′+∠BPB'＝180°，∠A′PB′＝20°， ∴60°+20°+∠BPB'＝180°， ∴∠BPB'＝100°， ∴∠BPM＝∠B'PM＝50°， ∴∠NPM＝∠A'PN+∠A′PB′+∠B'PM＝30°+20°+50°＝100°； ②∵∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°）， ∴当点A'在点B'的左侧时，如图（2）①所示： 由折叠的性质设∠APN＝∠A'PN＝θ，∠BPM＝∠B'PM＝β， ∴∠APA'＝2θ，∠BPB'＝2β， ∵∠APA'+∠A′PB′+∠BPB'＝180°，∠A′PB′＝α， ∴2θ+α+2β＝180°， ∴θ+β＝90°α， ∴∠NPM＝∠A'PN+∠B'PM+∠A′PB′＝θ+β+α＝90°α+α＝90°α． 一十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 29．如图，△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，E，F分别是边AB，AC上的点，连接EF，将△AEF沿着EF折叠，得到△A′EF，当A′F与△ABC其中一边平行时，∠AEF的度数是 　33°或123°或78°　 ． 【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC上的点， ∴当A′F与△ABC其中一边平行时，有以下两种情况： 当A'F∥BC时，有两种情况： ①延长A'F交AB于点H，如图1所示： ∴∠FHA＝∠FHE＝∠B＝90°， 设∠AEF＝α， 由三角形的外角性质得：∠EFA'＝∠AEF+∠FHE＝α+90°， 由折叠的性质得：∠EFA＝∠EFA'＝α+90°， 在△AEF中，∠A+∠AEF+∠EFA＝180°， ∴24°+α+α+90°＝180°， 解得：α＝33°， ∴∠AEF＝α＝33°； ②如图， 在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝24°，则∠C＝66°； 将△AEF沿若EF折叠，得到△A′EF，则有∠A′FE＝∠AFE； ∵A'F∥BC， ∴∠A'FA＝∠C＝66°， 又∵∠A'FE＝∠AFE，且∠A'FA＝∠A'FE+∠AFE＝66°， 学科网（北京）股份有限公司 $$