精品解析：河南省漯河市高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年下学期高一年级第一次月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，利用集合交集定义即可求. 【详解】因为， 且， 所以. 故选：A 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】依题意有：， 故选：B. 3. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 5. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出，分析充分性，根据求出分析必要性. 【详解】因为，所以或， 当时，则，同向共线， 则，则充分性不成立， 若，则，反向共线， 则，此时，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 6. 设则下列选项不正确的是（ ） A. B. 时，在上单调递减 C. 时，在上单调递减 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，将代入解析式计算即可；对于B、C，分离常数法将函数解析式变形，分步讨论函数的单调性即可；对于D，分离常数法将函数解析式变形，直接求值域即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B、C，因为， 所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减； 当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增. 故B正确，C错误； 对于D， ，因为，所以， 所以.故D正确. 故选：C. 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 8. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象平移得到的图象的对称中心即可计算. 【详解】函数图象先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数的图象， 因函数为奇函数，则的图象关于中心对称， 则， 则 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知虚数z满足则（ ） A. z的实部为 B. z的虚部为 C. D. z在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的概念可判断AB选项；利用复数求模公式判C选项；z在复平面内对应的点为可判断D选项. 【详解】因，则，故z的实部为，虚部为， ，z在复平面内对应的点为，在第三象限， 故AC正确；BD错误； 故选：AC 10. 已知，，且则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及，，即可判断A；由基本不等式即可判断BC；先根据基本不等式求得，再根据对数运算即可判断D． 【详解】对于A，由得，， 则，解得，，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时等号成立， 又，所以， 当且仅当时，，故C错误； 对于D，，解得，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确； 故选：ABD． 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据条件求出；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，利用跟的判别式求得的取值范围；选项C：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角的范围，从而求边的范围；选项D：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求得内切圆半径，从而求的面积. 【详解】对于A，由可得，即， 因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B，根据余弦定理可得，，即， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解， 因为， 所以或 解得或，因为，所以或，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， ，即, 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以. 因为，所以. 由正弦定理可得，，即，即， 所以，即， 因为，所以，又因为，所以为锐角，则. 所以，所以为直角三角形， 所以内切圆的半径满足，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：根据实系数一元二次方程根的特点结合韦达定理，可求实数的值； 方法二：根据是关于的一元二次方程的一个虚根，结合复数的运算法则和复数相等的概念，可求实数的值. 【详解】方法一：因为实系数元二次方程的一个虚根为，所以该方程的另外一个根为：， 根据韦达定理：. 方法二：因为是关于的一元二次方程的一个虚根， 所以. 故答案为：2 13. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据周期的计算公式即可求解. 【详解】由题意得函数的最小正周期 ，解得． 故答案为： 14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理和三点共线知识可得，然后根据数量积运算律求解可得. 【详解】因为 三点共线，且，点是边的中点， 所以存在实数x满足， 又因为三点共线，所以， 所以，而， 且， 所以 . 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（）． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）或4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据复数的运算得出+的坐标，再根据复数的几何意义列出不等式求解即可． 【小问1详解】 因为的实部与的模相等， 所以， 化简为， 解得或4． 【小问2详解】 复数在复平面上的对应点为在第四象限， 所以， 故的取值范围为． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）根据条件，利用辅助角公式得到，进而得到，从而有，再利用正弦定理，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得. 因为，所以，. 化简得. 在中，由余弦定理得. 又因为，所以. 【小问2详解】 由，可得， 又，所以，得到，即， 所以， ，又， 由正弦定理得，得到， 解得，， 故的周长为. 17. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）设，由向量平行和向量的模列出方程组可解得，得向量的坐标； （2）由可求得； （3）由求出的范围，去除两向量共线的情形即得． 【详解】（1）设，， 因为，所以，因为，所以， 解得：或，所以或. （2），， 因为与垂直，所以，解得：. （3），， 因为与的夹角为锐角，所以解得：且， 即. 【点睛】本题考查向量的模、向量共线与垂直，考查向量的夹角，掌握向量的坐标运算是解题关键．解题中要注意向量夹角为锐角，则，但反过来时，不能得出向量夹角为锐角，要去除两向量同向的情形．同样由要去除两向量反向的情形，才能得两得夹角为钝角． 18. 已知函数. （1）若是三角形的一个内角，，求的值； （2）设函数，若在时恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方可得，进而可得的符号，再根据求出，利用二倍角的正弦公式求出，即可得解； （2）化简可得，令，利用换元法求出函数的最小值即可得解. 【小问1详解】 ， 两边平方得，所以， 又因为，所以， 则， ， 所以； 【小问2详解】 ， 令，因为，所以 所以， 则，则， 令，， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 则时，取得最大值， 此时取得最小值， 所以，所以. 19. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积. 【小问1详解】 因为，对角线为钝角的平分线， 所以， 解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 由题意，在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 方法一：在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 解得， 因为 ， 所以； 方法二：在中，由， 可得，所以， 所以，所以， 又由于，从而，即， 所以， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高一年级第一次月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设则下列选项不正确的是（ ） A. B. 时，在上单调递减 C. 时，在上单调递减 D. 的值域为 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 8. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 6 B. C. 5 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知虚数z满足则（ ） A. z的实部为 B. z的虚部为 C. D. z在复平面内对应的点在第二象限 10. 已知，，且则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 11. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，且，为的内心，则 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的一元二次方程的一个虚根，则实数__________. 13. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______． 14. 如图，在中，已知，点是边的中点，且，直线与相交于点，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（）． （1）若的实部与的模相等，求a的值； （2）若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 17. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）若是三角形的一个内角，，求的值； （2）设函数，若在时恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $