专题03 勾股定理应用（必考题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题03 勾股定理应用（必考题型） 题型概览 题型01网格问题 题型02高度、长度问题 题型03最短路径问题 题型04折叠问题 题型05航海问题 题型06最值问题 ( 题型01 ) 网格问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）【问题背景】 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】 （1）借用网格计算出如图1所示的的面积为_______________． 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与的大小，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的图形． 【探索创新】 （3）已知是正数，谈运用构图法求出的最小值．（请画出相应的图形） （4）若三边的长分别为，请运用构图法求出这个三角形的面积为________________． ( 题型02 )高度、长度问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 5．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． ( 题型03 ) 最短路径问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为，高为，在内壁点距杯口处有一滴蜂蜜，在点正对面的外壁距杯底的处有一只蚂蚁，蚂蚁要到处饱餐一顿至少要走（    ）．（杯子厚度忽略不计） A． B． C．13 D．15 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 3．（23-24八年级下·龙岩·期中）一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 ． ( 题型04 ) 折叠问题 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ，的长为 ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长． 4．（（23-24八年级下·福建漳州·期中））在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． ( 题型0 5 ) 航海问题 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，货船和轮船从码头A同时出发，其中，货船沿着北偏西方向以5海里/小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东方向以12海里/小时的速度航行，1小时后，两船分别到达B，C点．求B，C两点之间的距离． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船与货船的速度比为，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达处，客船到达处，若此时两船相距100海里． (1)求两船的速度分别是多少？ (2)求货船航行的方向． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． ( 题型0 6 )最值问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为 ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使得最小，并求出最小值． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理应用（必考题型） 题型概览 题型01网格问题 题型02高度、长度问题 题型03最短路径问题 题型04折叠问题 题型05航海问题 题型06最值问题 ( 题型01 ) 网格问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出可能的距离，即可得到答案． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离有， 故任意两个格点间的距离不可能是， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵ 在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离为，，， 1，2，，，． ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：A． 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点D，则， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：45． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）【问题背景】 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． 【问题解决】 （1）借用网格计算出如图1所示的的面积为_______________． 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与的大小，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的图形． 【探索创新】 （3）已知是正数，谈运用构图法求出的最小值．（请画出相应的图形） （4）若三边的长分别为，请运用构图法求出这个三角形的面积为________________． 【答案】（1）（2），图见解析（3）图见解析，（4） 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，以及利用坐标与图形，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）构造三边分别为的三角形，利用三边关系即可得出结果； （3）将转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值，进行求解即可； （4）建立由小长方形构成的网格，结合勾股定理画出，分割法求面积即可． 【详解】解：（1）由图可知：的面积为； 故答案为：； （2）如图，由图可得：， 由三角形的三边关系可知：， ∴； （3）如图，的最小值可转化为坐标系下正半轴上一点到两点的距离的和的最小值， 如图，作关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当，三点共线时，的值最小为的长度， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （4）建立如图所示的网格， 由图可知：， ∴的面积为：； 故答案为：． ( 题型02 )高度、长度问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺（丈和尺是长度单位，1丈尺，1尺=米）． 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】(1)2米 (2)不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出米，再由勾股定理求出米，即可解决问题； （2）设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米，利用勾股定理可得，再由偶次方的非负性可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：点将向外移动米； （2）解：不相等．理由如下： 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 5．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【详解】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）    如图，点D为所求作的点． ( 题型03 ) 最短路径问题 1．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为，高为，在内壁点距杯口处有一滴蜂蜜，在点正对面的外壁距杯底的处有一只蚂蚁，蚂蚁要到处饱餐一顿至少要走（    ）．（杯子厚度忽略不计） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了圆柱的性质，轴对称的性质，勾股定理求最短路径的计算，理解圆柱展开图的性质，轴对称的性质求最短路径，勾股定理的运用等知识是解题的关键． 根据题意将圆柱侧面展开得到长方形，作图如下，作点关于的对称点，连接，过点作，过点作，两线交于点，则，，根据两点之间线段最短得到，即为所求最短路径，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意将圆柱侧面展开得到长方形，作图如下，作点关于的对称点，连接，过点作，过点作，两线交于点，则，， 根据两点之间线段最短得到，即为所求最短路径， ∴，， ∴， ∴蚂蚁要到处饱餐一顿至少要走 故选：D ． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为米，柱身高约米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：D． 3．（23-24八年级下·龙岩·期中）一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长， ∴应购买彩带的长度为． 故答案为：． ( 题型04 ) 折叠问题 1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，根据题意，，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】解：设， ∴， ，， 又由折叠知， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 5 【分析】由折叠的对称性知，在中利用勾股定理可求得；再由折叠性可证结合内错角，可证，则可推得．解题的关键运用折叠性与勾股定理． 【详解】解：∵是四边形与的对称轴， ∴， 又∵ 设，则 在中，， ∴ 解得： 则． ． 由折叠的性质知，再由知 ∴，则 故答案为：4；5 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理的综合应用．根据折叠的性质可得，，，，在中，根据勾股定理可得，即可求得，设，在中，由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵将直角边沿直线折叠， ∴，， ， 在中， ， ， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 解得， 即． 4．（（23-24八年级下·福建漳州·期中））在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． ( 题型0 5 ) 航海问题 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，货船和轮船从码头A同时出发，其中，货船沿着北偏西方向以5海里/小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东方向以12海里/小时的速度航行，1小时后，两船分别到达B，C点．求B，C两点之间的距离． 【答案】13海里 【分析】根据方向角的意义得到，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意得， 在中，，， （海里）． 答：、两点之间的距离为13海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，然后通过解直角三角形解决问题． 2．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船与货船的速度比为，出发1小时后，客船比货船多走了10海里．客船沿北偏东25°方向航行，2小时后货船到达处，客船到达处，若此时两船相距100海里． (1)求两船的速度分别是多少？ (2)求货船航行的方向． 【答案】(1)客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时 (2)货船航行的方向为南偏东 【分析】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依据客船1小时比货船多走10海里，列方程求解即可； （2）依据，可得是直角三角形，且，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向． 【详解】（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，根据题意得 解得 ∴， 即客船与货船的速度分别是40海里/小时和30海里/小时； （2）∵海里，海里，海里 ∴ ∴ ∵ ∴ 即货船航行的方向为南偏东 【点睛】本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出的长是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上． 【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1. （2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向. 【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1． 答：A、C两地之间的距离为14.1km． （2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键. ( 题型0 6 )最值问题 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，作点关于的对称点，过点作于点交于点，点即为所求作的点，连接，根据对称点可知：，即的最小值为的长，本题求出的长度即可得解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 根据对称点可知：，， ∴， ∴当于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接， 在中，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，当点与重合时，的边长最长，根据角所对的直角边是斜边的一半可得，，再由勾股定理可得答案．利用勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当点重合且点在上时，等边的边长最长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴在中，， ∴等边的边长的最大值为． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形； (2)在x轴上找一点P，使得最小，并求出最小值． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，最小值为：． 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质分别确定关于轴的对称点，再作图即可； （2）过轴作点的对称点，连接，与轴交于点，此时点即为所求，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求．   ． （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，此时最短， ∴即为所求， ∴， ∴最小值为：． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)5 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积． （3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：的面积是； 故答案为：； （2）的边长分别为、、（，，且）， ∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：    由图可知：的面积是； （3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为5． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$