暑期巩固提升测试01【范围：第十七章 勾股定理】-2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假提升试题

2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假单元专题提升测试 第十七章 勾股定理巩固提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：A．，故不是勾股数，不符合题意； B．，故不是勾股数，不符合题意； C．存在无理数，故不是勾股数，不符合题意； D．，故是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边的长为（   ） A． B． C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，可分第三边为直角边或斜边两种情况，根据勾股定理分别求第三边即可． 【详解】解：当第三边是斜边时，边长为：； 当第三边是直角边时，边长为：； 即第三条边的长为或， 故选C． 3．如图，是边长为8的等边三角形，是高线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合）得到直角三角形的一条直角边，再结合勾股定理计算高线的长度． 由等边三角形边长为8，是高线，根据“三线合一”可知且；在中，已知，，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形，边长为8，是高线， ∴根据等边三角形“三线合一”的性质，，且 在中，，，， 由勾股定理得：． 故选：D． 4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用长方形的直角性质构造直角三角形，通过勾股定理求出对角线长度，进而计算两条路径的距离差． 先明确沿→的路径长度为因长方形中，为直角三角形，利用勾股定理求出对角线的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿比沿→少走的距离． 【详解】解：连接， ∵四边形是长方形， ∴（长方形的四个角都是直角）． 沿→的路径长度为已知米，米， ∴米． 在中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）得： 代入数值可得： ∴米（边长为正数）． 则沿比沿→少走的距离为米． 故选：C． 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理（直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方），并据此列出关于直角边的方程求解． 已知直角三角形的两条直角边分别为1和斜边为，根据勾股定理可列出等式，求解得出a的值，注意边长为正数需舍去负根． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为1，斜边长为 根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， ∴， 即 移项得 ∵a为直角边的长度，即 ∴．． 故选：D． 6．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，掌握直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和是解题的关键．根据直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：，从而得到答案． 【详解】解：，， 直角三角形中以直角边的平方与斜边的平方分别为144和169， 根据勾股定理，另一条直角边的平方为， ， 正方形的边长为5， 故选：C． 7．已知a，b，c是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（   ）． A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边，再判断三角形形状，进而求面积．本题主要考查了非负数的性质以及勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 ），熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ，且，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵ ，即， ∴ 该三角形是直角三角形，、为直角边， ∴ 三角形面积， 故选：． 8．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（   ） A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺 【答案】A 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，设水深为x尺，则荷花茎长为尺，根据题意，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】设池塘深为尺， 则， 解得， 故选：A． 9．的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 10．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，圆柱的侧面展开，先把侧面展开，得到一个矩形，然后再利用两点间线段最短，利用勾股定理求出长． 【详解】解：展开后矩形的长为，高为， 所以利用勾股定理可得最短距离为． 故选：A． 二、填空题 11．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等腰三角形的判定，解题的关键是先证明是直角三角形．由于是中线，易知，根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，可知，即是的中垂线，于是，可判断是等腰三角形，又知，故不是直角三角形． 【详解】解：如图所示，是中线， 是中线， ， 在中，， 是直角三角形， ， 是的中垂线， ， 是等腰三角形， ， 不是直角三角形． 故答案为：等腰． 12．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 【答案】540 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可． 【详解】解：飞机飞行的距离为：米， ∴飞行的速度为千米/时， 故答案为：540． 14．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握定理是解决问题的关键．由三边长度利用勾股定理的逆定理可判定此三角形为直角三角形，则最大角可求． 【详解】解：， ∴此三角形为直角三角形， 则三角形最大内角度数为． 故答案为： ． 15．如图，在中，是的角平分线，，垂足为，则的长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，根据角平分线的性质定理可得，进而得到，再由勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在等腰直角三角形中，由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 16．点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，中，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积及勾股定理，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为D和F， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵的面积为1.5， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 18．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先由得，结合勾股定理得，又因为得，则，整理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴点D到的距离为 故答案为： 三、解答题 19．如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】cm 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含直角三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰三角形性质求出顶角度数，再利用直角三角形的边角关系和勾股定理计算线段长度． 先根据等腰三角形的性质得，结合三角形内角和求出；由知为直角三角形，利用含直角三角形“所对直角边是斜边一半”得的长；最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：， ． ． ，， ． ． 20．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)连接，判断的形状； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （1）利用勾股定理计算出、的长；再连接，然后再利用勾股定理计算出、，然后利用勾股定理逆定理判定的形状即可； （2）利用勾股定理判定出是直角三角形，然后再求和的面积和即可． 【详解】（1）解：如图， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， （2）解：根据勾股定理得：， 由（1）知：，， ， 是直角三角形， 四边形的面积：． 21．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20，5，25 (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：；；， 故答案为：20，5，25； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即是直角三角形． 22．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 23．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理直接求出的长即可； （2）先根据勾股定理求出，然后求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵米，（米），， ∴（米）； （2）解：根据题意可知：（米）， ∴（米）， ∴米， 即游船向岸边移动的距离为米． 24．如图，已知，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得的度数，然后根据的直角三角形的性质求出和长，然后根据三线合一解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形． 在和中， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 在中，． 由（1）可知， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． 25．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 26．如图，已知在中，，M 是上的一点， ，点 P 从 B 点出发沿射线方向以每秒 1 个单位的速度向左运动，设点 P 的运动时间为 t ．连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求 t 的值； (3)过点 M 作于点 N．在点 P 的运动过程中，当 t 为何值时，能使？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积计算，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）过点P作于D，由勾股定理得到，由角平分线的性质得到，根据，得到，据此求出的长即可得到答案； （3）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，证明，得到，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点P作于D， ∵在中，， ∴； ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 综上所述，当或时，能使． 第14页，共15页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下册暑假单元专题提升测试 第十七章 勾股定理巩固提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．8，15，17 2．直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边的长为（   ） A． B． C．或 D．2或 3．如图，是边长为8的等边三角形，是高线，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（   ） A．20米 B．30米 C．40米 D．50米 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 6．如图，正方形面积，，则正方形的边长为（   ） A．12 B．13 C．5 D．25 7．已知a，b，c是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（   ）． A．6 B．3 C． D． 8．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（   ） A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺 9．的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知中，，，上的中线，则为 三角形． 12．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 14．已知一个三角形的三条边的长分别为，那么这个三角形的最大内角度数为 ． 15．如图，在中，是的角平分线，，垂足为，则的长 ． 16．点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 17．如图，中，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 18．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，，于点，若，求的长． 20．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)连接，判断的形状； (2)求四边形的面积． 21．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出________，________，________； (2)判断的形状，并说明理由． 22．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 23．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍． (1)求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号） (2)为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 24．如图，已知，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的值． 25．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 26．如图，已知在中，，M 是上的一点， ，点 P 从 B 点出发沿射线方向以每秒 1 个单位的速度向左运动，设点 P 的运动时间为 t ．连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求 t 的值； (3)过点 M 作于点 N．在点 P 的运动过程中，当 t 为何值时，能使？ 第14页，共15页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$