2025年中考数学模拟卷（安徽专用）

2025年中考数学模拟卷（安徽专用） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C B C B A A D B 2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11． 12．＜ 13． 14． /度 /0.75 3、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15． （8分） 【答案】， 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 16． （8分） 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析， (3) (4)或或 【分析】（1）根据平移作图即可，再根据图可得的坐标，由两点间距离公式即可求出平移距离； （2）根据旋转作图即可，再根据图可得点的坐标； （3）由图可知，，由勾股定理求出，再根据弧长公式求解即可； （4）分类讨论：当AC为对角线时， 当BC为对角线时，当AB为对角线时，求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求做的三角形， ，将向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， ， 平移的距离为， 故答案为：，； （2）如图所示，即为所求做的三角形， 由图可知，， 故答案为：； （3）由图可知，， ， 绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上， ， 点所经过的路线长是， 故答案为：； （4） 如图， 当AC为对角线时，，此时点的坐标为； 当BC为对角线时，，此时点的坐标为； 当AB为对角线时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平移作图和坐标变化，旋转作图和坐标变化，弧长公式，勾股定理，两点间距离公式，平行四边形的判定，熟练掌握知识点并能运用数形结合的思想是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．（8分） 【答案】(1)购买100吨原料，生产80吨产品 (2)该工厂这批产品获得利润28800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键． （1）设该工厂从A地购买了x吨原料，用这些原料能制成吨新产品，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费6600元；②铁路运输24600元列方程组求解即可； （2）利用利润=销售额原料费运输费即可求解． 【详解】（1）解：设从A地购买吨原料，用这些原料能制成吨新产品． ， 解得： 答：购买100吨原料，生产80吨产品． （2）（元） 答：该工厂这批产品获得利润28800元． 18．（8分） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2023个等式： （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边＝右边， ∴成立． （3）如图，满足要求， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19． 【答案】(1)cm (2)点到地面的距离为cm 【分析】对于（1），作，可得四边形为矩形，进而得出GH，EG，再求出 ，然后根据锐角三角函数求出，最后根据得出答案即可； 对于（2），先构造△CGP，作 ．可求出，再根据锐角三角函数求出CP，即可得出DP，最后根据锐角三角函数值求出DQ，即可得出答案． 【详解】（1）如图，过点作于点， ∵，，cm，cm． ∴四边形为矩形． ∴cm，cm． ∵， ∴，即， 解得cm． ∵cm， ∴cm； （2）如图，过点作水平地面的平行线，与的延长线交于点，又过点作 ，垂足为． ∵与水平地面所成的角为15°，，cm， ∴，cm． ∵cm， ∴cm． ∴cm． ∴点到地面的距离为cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 20．【答案】(1)①见解析；②6 (2)，证明见解析 【分析】（1）①由题意得出，由等边对等角得出，，求出即可得证；②连接，，设，则，由勾股定理求出，由①知：，垂直平分，从而得出，，即可得解； （2）延长交于点，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，求出，由勾股定理得出．求出，再证明得出即可得解． 【详解】（1）证明：① ， ， ，， ， ∴为直角三角形； ②连接，，如图， ∵， ， 且． 的半径为4， ． 设，则， ，， ∴． 解得：． 由①知：，垂直平分 ，． ． （2）解：，，三者之间的数量关系为：．理由： 延长交于点，连接，，如图， ，， ． ，． ． ． 与关于对称， ， ， ． ． ．即． ， ． 在和中， ， ． ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 六、（本题满分12分） 21．（12分） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)小东的成绩超过样本中一半学生的成绩 (4)192人 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，求中位数： （1）根据题目中得出的信息进行解答即可； （2）根据解析（1）中m的值补全频数分布直方图即可； （3）求出50名学生成绩的中位数，然后进行解答即可； （4）用全校总人数乘以样本中88分及以上的学生所占百分比即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：3； （2）解：补全频数分布直方图，如图所示： （3）解：将选取的50名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第25的是80分，第26的是81分， ∴选取的50名学生的竞赛成绩的中位数是（分）， ∵小东竞赛成绩为83分，， ∴小东的成绩超过样本中一半学生的成绩； （4）解：（人）， 答：七年级学生的获奖人数为192人． 七、（本题满分12分） 22．（12分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由点F与点A关于直线对称，，则，，在菱形中，，则，，得到，，则，，即可得到，得到结论； （2）由点F与点A关于直线对称得到，，则是等腰三角形，由得到，则，即得到，结论得证； （3）连接，证明，则，再证是等边三角形，则，由于点G得到，由得到，猜想得证． 【详解】（1）解：∵点F与点A关于直线对称，， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）∵点F与点A关于直线对称， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）如图所示，猜想，证明如下： 过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点G， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23．（14分） 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)0或3 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据对称轴即可解得； （2）根据题意求出直线的解析式为，求出即可证明； （3）由题意得出，，，分当，均在对称轴左侧；当点，在对称轴两侧；当，均在对称轴的右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴为直线， ， 解得； （2）证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， ，， 设经过点，的直线的解析式为，将其坐标代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 点是抛物线上不与点重合的点， ，解得或， ， ， 将代入直线，得当时，， 点在直线上，即点，，三点共线； （3）解：由（1）知， ， 点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向上，对称轴为， 分以下三种情况： ①当，均在对称轴左侧，即时，随的增大而减小，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ，解得； ②当点，在对称轴两侧，则，即，此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ， 当点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离时，则，即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离时， 则， 即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ③当，均在对称轴的右侧，则，即时，随的增大而增大， 此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ，解得； 综上所述，的值为0或3． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟卷（安徽专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．的值是（   ） A．-8 B．8 C． D． 2．华为最新款手机芯片“麒麟”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2023秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（   ）    A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．要使式子有意义，则x的取值范围为 ． 12．比较大小： 4.5（填“＞”，“＜”或“＝”）． 13．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成 如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是 ． 14．如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P． 当时， ； 当E为的中点时， ． 3、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解方程：． 16．在如图所示的方格纸中，的顶点都在边长为单位1的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出中并写出的坐标______，写出由到平移到的平移距离______． (2)绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的，其中，分别和，对应，写出点的坐标______． (3)填空：在（2）的条件下，点所经过的路线长是______． (4)若点为平面内一点，请直接写出以，，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 18．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的． (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图1，是某校操场上边的监控摄像头，图2是其侧面结构示意图，四边形ABCD为机罩，，，，机头部分为EFBG，点G在CB的延长线上，已知，，cm，cm，cm，cm． (1)求监控摄像头的总长GC； (2)若GC与水平地面所成的角为15°，且点G到地面的距离为400cm，求点D到地面的距离．（参考数据：，，，结果精确到0.1cm） 20．已知为的外接圆，． (1)如图1，延长至点，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； (2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，延长交于点，连接和；试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 六、（本题满分12分） 21．“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩                          频数      6 15 17 9 b．50名学生的说赛成绩的频数分布直方图； c．竞赛成绩在这一组的成绩是： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． d．小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的数值______； (2)补全频数分布直方图； (3)小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ (4)学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 七、（本题满分12分） 22．如图，在菱形中，，E是边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线对称，连接．作射线，交直线于点P，设．    (1)用含的代数式表示； (2)连接．求证：是等边三角形； (3)过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明． 七、（本题满分14分） 23．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值． 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学模拟卷（安徽专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．的值是（   ） A．-8 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】直接根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】由； 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，正确理解绝对值的意义是解题的关键． 2．华为最新款手机芯片“麒麟”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2023秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定a，n，即可得出答案． 【详解】根据题意可知． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，确定a，n的值是解题的关键． 即科学记数法表示数的形式为，其中，n为正整数． 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三视图的定义逐个判断即可． 【详解】 解：根据主视图可排除选项A、B， 根据左视图可排除选项D， 再根据俯视图可判断选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用二次根式加减法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法等知识判断各选项即可. 【详解】解： 选项A. ，故错误； 选项B. 正确； 选项C. ，故错误； 选项D. ，故错误； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式加减法、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法等知识，解答关键是按照运算法则进行计算. 5．如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式．先根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据弧长的计算公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵，， ， ， 则的长为， 故选：C． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点， 、同号， ． 故选：B． 7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，通过判定△CAG≌△DCF（AAS），即可得到CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到BD的长． 【详解】解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，则∠AGC=∠CFD=90°， 又∵∠B=45°， ∴∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF， ∵CA=CD， ∴∠CAD=∠CDA， ∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B， 即∠CAG=∠DCF， 又∵CD=CA， ∴△CAG≌△DCF（AAS）， ∴CG=DF， ∵CA=EA，AG⊥CE， ∴CG=CE=×4=2， ∴DF=2=BF， Rt△BDF中，BD=，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 8．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否． 【详解】①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号． 9．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质．证出可判定A选项成立，证明可判定B选项成立，证明可得，可证，即可判定C选项成立，D选项不一定成立． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， ， ，故A选项成立； ∵E为边的中点， ， ， ， ，故B选项成立； ，，， ， ， ，， ， ，故C选项成立； 没有条件证出，故D选项不一定成立． 故选：D． 10．如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿→→的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象的性质的应用．根据题意，分两段分别求，一是到的过程，二是到的过程，分别用含的式子表示出，再判断即可，具体见详解． 【详解】解： 当时，如图    同理得 ； 当时，如图    ， ． 故选：B． 2、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．要使式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键． 12．比较大小： 4.5（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查实数的大小比较，正确运用适当的方法是解决本题的关键． 根据“两个正数相比，平方越大数越大”进行比较即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成 如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图．根据题意，可以画出相应的树状图表示出所有等可能的结果，再找到抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大暑用D表示， 画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 故答案为：． 14．如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P． 当时， ； 当E为的中点时， ． 【答案】 /度 /0.75 【分析】 当时，由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可得，再利用三角形内角和定理即可求出； 当E为的中点时，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则，利用勾股定理求出，则，证明，求出，则，证明，进而证明，得到，设，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 当时，由折叠的性质可得 ， ∴， ∴； 如图所示，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解方程：． 【答案】， 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 16．在如图所示的方格纸中，的顶点都在边长为单位1的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出中并写出的坐标______，写出由到平移到的平移距离______． (2)绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的，其中，分别和，对应，写出点的坐标______． (3)填空：在（2）的条件下，点所经过的路线长是______． (4)若点为平面内一点，请直接写出以，，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析， (3) (4)或或 【分析】（1）根据平移作图即可，再根据图可得的坐标，由两点间距离公式即可求出平移距离； （2）根据旋转作图即可，再根据图可得点的坐标； （3）由图可知，，由勾股定理求出，再根据弧长公式求解即可； （4）分类讨论：当AC为对角线时， 当BC为对角线时，当AB为对角线时，求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求做的三角形， ，将向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， ， 平移的距离为， 故答案为：，； （2）如图所示，即为所求做的三角形， 由图可知，， 故答案为：； （3）由图可知，， ， 绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上， ， 点所经过的路线长是， 故答案为：； （4） 如图， 当AC为对角线时，，此时点的坐标为； 当BC为对角线时，，此时点的坐标为； 当AB为对角线时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平移作图和坐标变化，旋转作图和坐标变化，弧长公式，勾股定理，两点间距离公式，平行四边形的判定，熟练掌握知识点并能运用数形结合的思想是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．如图，某工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，制成新产品再运到B地，公路运价为元/（吨·千米），铁路运价为1元/（吨·千米）． (1)若这两次运输共支出公路运费6600元，铁路运费24600元．问从A地购买多少吨原料，用购买的这些原料能制成多少吨新产品？ (2)在（1）的条件下，原料费为每吨1000元，新产品每吨2000元，则该工厂这批产品全部售出后获得利润多少元？（利润＝销售额－原料费－运输费） 【答案】(1)购买100吨原料，生产80吨产品 (2)该工厂这批产品获得利润28800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．题中的数量关系比较复杂，借助图形把各个数量之间的关系弄清是解题的关键． （1）设该工厂从A地购买了x吨原料，用这些原料能制成吨新产品，根据等量关系：①两次运输共支出公路运费6600元；②铁路运输24600元列方程组求解即可； （2）利用利润=销售额原料费运输费即可求解． 【详解】（1）解：设从A地购买吨原料，用这些原料能制成吨新产品． ， 解得： 答：购买100吨原料，生产80吨产品． （2）（元） 答：该工厂这批产品获得利润28800元． 18．“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； (1)请用此方法拆分． (2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的． (3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2023个等式： （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边＝右边， ∴成立． （3）如图，满足要求， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．如图1，是某校操场上边的监控摄像头，图2是其侧面结构示意图，四边形ABCD为机罩，，，，机头部分为EFBG，点G在CB的延长线上，已知，，cm，cm，cm，cm． (1)求监控摄像头的总长GC； (2)若GC与水平地面所成的角为15°，且点G到地面的距离为400cm，求点D到地面的距离．（参考数据：，，，结果精确到0.1cm） 【答案】(1)cm (2)点到地面的距离为cm 【分析】对于（1），作，可得四边形为矩形，进而得出GH，EG，再求出 ，然后根据锐角三角函数求出，最后根据得出答案即可； 对于（2），先构造△CGP，作 ．可求出，再根据锐角三角函数求出CP，即可得出DP，最后根据锐角三角函数值求出DQ，即可得出答案． 【详解】（1）如图，过点作于点， ∵，，cm，cm． ∴四边形为矩形． ∴cm，cm． ∵， ∴，即， 解得cm． ∵cm， ∴cm； （2）如图，过点作水平地面的平行线，与的延长线交于点，又过点作 ，垂足为． ∵与水平地面所成的角为15°，，cm， ∴，cm． ∵cm， ∴cm． ∴cm． ∴点到地面的距离为cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 20．已知为的外接圆，． (1)如图1，延长至点，使，连接． ①求证：为直角三角形； ②若的半径为4，，求的值； (2)如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，延长交于点，连接和；试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②6 (2)，证明见解析 【分析】（1）①由题意得出，由等边对等角得出，，求出即可得证；②连接，，设，则，由勾股定理求出，由①知：，垂直平分，从而得出，，即可得解； （2）延长交于点，连接，，由等腰直角三角形的性质得出，求出，由勾股定理得出．求出，再证明得出即可得解． 【详解】（1）证明：① ， ， ，， ， ∴为直角三角形； ②连接，，如图， ∵， ， 且． 的半径为4， ． 设，则， ，， ∴． 解得：． 由①知：，垂直平分 ，． ． （2）解：，，三者之间的数量关系为：．理由： 延长交于点，连接，，如图， ，， ． ，． ． ． 与关于对称， ， ， ． ． ．即． ， ． 在和中， ， ． ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 六、（本题满分12分） 21．“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： a．50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩                          频数      6 15 17 9 b．50名学生的说赛成绩的频数分布直方图； c．竞赛成绩在这一组的成绩是： 80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89． d．小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： (1)频数分布表中的数值______； (2)补全频数分布直方图； (3)小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ (4)学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)小东的成绩超过样本中一半学生的成绩 (4)192人 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，求中位数： （1）根据题目中得出的信息进行解答即可； （2）根据解析（1）中m的值补全频数分布直方图即可； （3）求出50名学生成绩的中位数，然后进行解答即可； （4）用全校总人数乘以样本中88分及以上的学生所占百分比即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：3； （2）解：补全频数分布直方图，如图所示： （3）解：将选取的50名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第25的是80分，第26的是81分， ∴选取的50名学生的竞赛成绩的中位数是（分）， ∵小东竞赛成绩为83分，， ∴小东的成绩超过样本中一半学生的成绩； （4）解：（人）， 答：七年级学生的获奖人数为192人． 七、（本题满分12分） 22．如图，在菱形中，，E是边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线对称，连接．作射线，交直线于点P，设．    (1)用含的代数式表示； (2)连接．求证：是等边三角形； (3)过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由点F与点A关于直线对称，，则，，在菱形中，，则，，得到，，则，，即可得到，得到结论； （2）由点F与点A关于直线对称得到，，则是等腰三角形，由得到，则，即得到，结论得证； （3）连接，证明，则，再证是等边三角形，则，由于点G得到，由得到，猜想得证． 【详解】（1）解：∵点F与点A关于直线对称，， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）∵点F与点A关于直线对称， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）如图所示，猜想，证明如下： 过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点G， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 七、（本题满分14分） 23．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线； (3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)0或3 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据对称轴即可解得； （2）根据题意求出直线的解析式为，求出即可证明； （3）由题意得出，，，分当，均在对称轴左侧；当点，在对称轴两侧；当，均在对称轴的右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴为直线， ， 解得； （2）证明：由（1）知， ， 抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点， ，， 设经过点，的直线的解析式为，将其坐标代入，得 ，解得， 直线的解析式为， 点是抛物线上不与点重合的点， ，解得或， ， ， 将代入直线，得当时，， 点在直线上，即点，，三点共线； （3）解：由（1）知， ， 点，是抛物线上的两点， ，， 抛物线的开口向上，对称轴为， 分以下三种情况： ①当，均在对称轴左侧，即时，随的增大而减小，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ，解得； ②当点，在对称轴两侧，则，即，此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2， ， 当点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离时，则，即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离时， 则， 即， ，此时点的纵坐标最大， ， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； ③当，均在对称轴的右侧，则，即时，随的增大而增大， 此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大， ，解得； 综上所述，的值为0或3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$