专题12 几何操作变化型问题之平移问题（讲练，4考点+9题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题12 几何操作变化型问题之平移问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 与平面直角坐标系有关的平移变换 ►题型01 点在平面直角坐标系中的平移 ►题型02 线在平面直角坐标系中的平移 ►题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 考点二 与几何图形有关的平移变换 ►题型04 三角形的平移 ►题型05 四边形的平移 考点三 与函数图象有关的平移变化 ►题型06 一次函数中的平移 ►题型07 反比例函数中的平移 ►题型08 二次函数中的平移 考点四 平移的作图 ►题型09 网格中的平移作图 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 图形的平移 图形的平移 图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移，其中对称常常以折叠的形式考察，个别压轴题中还会与特殊图形结合;平移则一般是直接考察;旋转也是直接考，但是其结合性也比较广,特别是特殊三角形和特殊四边形,经常和旋转一起出压轴题.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 与平面直角坐标系有关的平移变换 ►题型01 点在平面直角坐标系中的平移 1．（2023·江苏淮安·二模）平面直角坐标系中，点向下平移个单位长度后的坐标是 ． 2．（2024·浙江·一模）在直角坐标系中，把点A先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标互为相反数，则点A的横坐标和纵坐标的和是 ． ►题型02 线在平面直角坐标系中的平移 3．（2024·江苏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为 ． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． ►题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 6．（2023·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为 ．    7．（2024·山东潍坊·二模）如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为 ． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ． 6．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，将边长为2个单位长度的正方形绕点逆时针旋转，再沿轴向上平移1个单位长度，得到正方形，则点的坐标为 ． 考点二 与几何图形有关的平移变换 ►题型04 三角形的平移 1．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 2．（2023·江苏泰州·二模）将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，．将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移．    (1)判断图2中的四边形的形状，并说明理由； (2)当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求平移距离． ►题型05 四边形的平移 3．（2024·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：在数学课上，老师让同学们探究图形平移中的数学问题，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两张直角三角形纸片与，其中保持不动，将沿射线平移一定距离得到，其中点A，B，C的对应点分别为点E，F，G，连接，，已知．．猜想证明： （1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由． 实践探究： （2）如图2，当四边形为菱形时，求平移的距离． 问题拓展： （3）如图3，在菱形纸片中，，．将剪下后沿射线平移得到，连接，．当四边形为矩形时，请直接写出平移的距离． 4．（2024·河南驻马店·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系． 【操作判断】 （1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是 ； 【迁移探究】 （2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2023·福建泉州·模拟预测）在中，，，，将沿射线向下平移得到，边交于点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到． (1)求证：； (2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由． 3．（23-24八年级下·河南周口·期中）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    考点三 与函数图象有关的平移变化 ►题型06 一次函数中的平移 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型07 反比例函数中的平移 3．（2024·江苏泰州·一模）已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 4．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，．    (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离． ►题型08 二次函数中的平移 5．（2021·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，二次函数图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B． (1)直接写出点A与点B的坐标； (2)若函数的图象与线段恰有一个公共点，求m的取值范围． 6．（2024·甘肃天水·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，抛物线的顶点在直线上运动，与直线交于点，设平移后的抛物线顶点的横坐标为． (1)如图1，若，求点的坐标； (2)在抛物线平移的过程中，当是等腰三角形时，求的值； (3)如图2，当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B，C． (1)求a、k的值和点C的坐标； (2)求的面积． 2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 3．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 4．（2023·四川达州·模拟预测）如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点． (1)直接写出的值； (2)求直线的解析式； (3)求平移前后线段扫过的图形面积． 5．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 6．（2023·江苏镇江·二模）如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点B，与轴交于点C，与轴交于点D；    (1)如图1，当点A坐标为时，求直线的解析式和反比例函数关系式； (2)将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点，同时落在函数上， ①求n的值； ②平移过程中扫过的面积是 ． 7．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 考点四 平移的作图 ►题型09 网格中的平移作图 1．（2023·江苏盐城·一模）如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题． 【操作】在图1中， ①过点D画的平行线（E为格点）； ②过点B画的垂线，交于点F，交于点G，连接． 【发现】在图1中，与的数量关系是__________；的长度是__________． 【应用】在图2中，点P是边上一点，在上找出点H，使． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． ①在图（1）中，过点A画的平行线； ②在图（2）中，画的中线； ③在图（3）中，画的角平分线． 解决图形变化有关的作图问题方法： 1）平移作图都应抓住两个要点:一是平移的方向；二是平移的距离. 2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形. 3）无论是平移、轴对称，都不改变图形的大小和形状. 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 2．（2024·安徽滁州·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点），其中点A，B，C的坐标分别为． (1)将平移，使得平移后点A对应的点的坐标为，请画出； (2)若以，为邻边作，直接写出顶点 D 的坐标_______； (3)只用无刻度直尺在上作出点M，使得平分（保留作图痕迹，不必写作法）． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．解决下列问题： (1)已知的三个顶点都在格点上，将向右平移2个单位，得到，请在网格图中画出．若与相交于点，则 ； (2)用无刻度的直尺画图：在上求作点，使．（保留作图痕迹） $$专题12 几何操作变化型问题之平移问题 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 与平面直角坐标系有关的平移变换 ►题型01 点在平面直角坐标系中的平移 ►题型02 线在平面直角坐标系中的平移 ►题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 考点二 与几何图形有关的平移变换 ►题型04 三角形的平移 ►题型05 四边形的平移 考点三 与函数图象有关的平移变化 ►题型06 一次函数中的平移 ►题型07 反比例函数中的平移 ►题型08 二次函数中的平移 考点四 平移的作图 ►题型09 网格中的平移作图 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 图形的平移 图形的平移 图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移，其中对称常常以折叠的形式考察，个别压轴题中还会与特殊图形结合;平移则一般是直接考察;旋转也是直接考，但是其结合性也比较广,特别是特殊三角形和特殊四边形,经常和旋转一起出压轴题.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年来各地中考试题中,有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题. 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 与平面直角坐标系有关的平移变换 ►题型01 点在平面直角坐标系中的平移 1．（2023·江苏淮安·二模）平面直角坐标系中，点向下平移个单位长度后的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】在平面直角坐标系内，把一个点沿x轴平移a个单位，新点坐标为：纵坐标不变，横坐标左加右减；沿y轴平移，新点坐标为：横坐标不变，纵坐标上加下减． 【详解】解：， 平移后的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟练掌握点的平移规则，是解题的关键． 2．（2024·浙江·一模）在直角坐标系中，把点A先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标互为相反数，则点A的横坐标和纵坐标的和是 ． 【答案】2 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、坐标与图形、相反数的定义 【分析】本题考查平面直角坐标系内点的平移，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 【详解】解：设， ∵把点A先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点B ∴， ∵点B的横坐标和纵坐标互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：2． ►题型02 线在平面直角坐标系中的平移 3．（2024·江苏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为，将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．解决本题的关键是正确理解题目．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将线段沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案． 【详解】解：平移后对应点C的坐标为， 点的横坐标加上了4，纵坐标加1， ， 点坐标为， 即， 故答案为：． ►题型03 图形在平面直角坐标系中的平移 5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若将平移后得到，点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题主要考查了平移、坐标与图形等知识点，根据题意确定平移方式是解题的关键．根据点点A的对应点C的坐标是可确定平移方式，然后根据平移方式平移点B即可解答． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标是， ∴向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故答案为． 6．（2023·江苏苏州·二模）如图，平面直角坐标系中，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、折叠问题、利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】过点F作轴于点H，根据，得出，，根据折叠得出，，根据平移性质得出，，证明，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，，证明，得出，求出，，得出，求出点F坐标为． 【详解】解：过点F作轴于点H，如图所示：    ∵， ∴，， 根据折叠可知，，， 根据平移可知，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平移的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 7．（2024·山东潍坊·二模）如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，解直角三角形的计算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，利用等边三角形的性质和解直角三角形的计算得到，，进而得到，利用等边三角形的性质和平移的性质，证明为等边三角形，得到，进而得到平移距离，再利用平移的性质，即可得到的坐标． 【详解】解：等边的边长为6， ，， 过点作于点， ，， ， 将沿x轴正方向平移得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 由平移的性质可知，． 故答案为：． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2024·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，利用点平移的坐标规律，将点水平向右平移个单位后落在第四象限内得到，即可得到结论．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度． 【详解】解：∵将点水平向右平移个单位后落在第四象限内， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24七年级下·广东广州·期末）若把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查点坐标的平移，坐标轴上的点的坐标特点．掌握平面直角坐标系内点坐标的平移规律和坐标轴上的点的坐标特点是解题关键．根据平移的性质可得出平移后的点坐标为，再根据y轴上的点的横坐标为0，即得出，求解即可． 【详解】解：把点沿着轴正方向平移3个单位长度后，得到的点的坐标为，即． ∵平移后得到的点在轴上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查坐标与平移，解直角三角形，设，根据平移的性质，利用三角函数求出的长，根据的周长为，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴轴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴，， 设， 则：， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在等腰中，，，点，分别在轴，轴上，且轴，将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平移的性质求解 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质以及图形的平移，过点A作，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求得和的长度，可得平移的距离，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴当点与点重合时，点A向左移动个单位， ∴点的坐标为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，将边长为2个单位长度的正方形绕点逆时针旋转，再沿轴向上平移1个单位长度，得到正方形，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】根据题意可得出是等腰直角三角形，从而得到，所以，得到坐标，再利用平移得出坐标即可． 【详解】解：如图，设正方形绕点逆时针旋转后，点对应的为，过作轴于点， 由旋转的性质得：，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 坐标为， 沿轴向上平移1个单位长度， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、以及坐标的平移等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点二 与几何图形有关的平移变换 ►题型04 三角形的平移 1．（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．      (1)求证：； (2)点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析     ② 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． （1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【详解】（1）∵，，， ∴． 在和中 ∴． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．      ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 2．（2023·江苏泰州·二模）将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，．将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移．    (1)判断图2中的四边形的形状，并说明理由； (2)当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求平移距离． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2) 【知识点】利用平移的性质求解、利用矩形的性质证明、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论； （2）连接交于点O，设，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接交于点O，    ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∴平移的距离为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． ►题型05 四边形的平移 3．（2024·山西大同·二模）综合与实践 问题情境：在数学课上，老师让同学们探究图形平移中的数学问题，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两张直角三角形纸片与，其中保持不动，将沿射线平移一定距离得到，其中点A，B，C的对应点分别为点E，F，G，连接，，已知．．猜想证明： （1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由． 实践探究： （2）如图2，当四边形为菱形时，求平移的距离． 问题拓展： （3）如图3，在菱形纸片中，，．将剪下后沿射线平移得到，连接，．当四边形为矩形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）平行四边形；理由见解析   （2） （3） 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由平移的性质，得，，由矩形的性质得出，．进而可得出，．即可得出四边形为平行四边形． （2）连接，交于点O．由菱形的性质可得出，，由矩形的性质得出，，．由勾股定理求出，根据余弦的定义得出，由平移的性质得出，设，则．进一步即可得出． （3）过点B作于点M，由菱形的性质得出，．由余弦的定义求出，进一步求出，由矩形的性质得出，由平移的性质得出，再由正弦的定义求出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形．理由如下： 由平移的性质，得，． ∵四边形为矩形 ∴，． ∴，． ∴四边形为平行四边形． （2）如解图1，连接，交于点O． ∵四边形为菱形， ∴，， ∵四边形为矩形，．． ∴，，． 在中，根据勾股定理， 得． ∴． 由平移的性质，得． 设，则． ∴． ∴． 解得． ∴平移的距离为． （3）如解图2，过点B作于点M， ∵四边形为菱形，．， ∴，． ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． 由平移的性质，得． ∴． ∴． ∴平移的距离为． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，平移的性质，平行四边形的判定，菱形和矩形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的性质以及平移的性质是解题的关键． 4．（2024·河南驻马店·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点E、F在直线上，且点C、D、G、H在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，O为的中点，直线与直线相交于点P（点P、D不重合），直线与直线相交于点Q（点Q、C不重合），试探究与之间的数量关系． 【操作判断】 （1）如图1，平移矩形，当，点A、E重合时，线段与之间的数量关系是 ； 【迁移探究】 （2）继续平移矩形，对任意正数k，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点M，当是直角三角形时，请直接写出OA的长． 【答案】（1）相等，（2）成立，见解析；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设根据中点列出比例式，表示出与的长度即可, （2）设根据相似列出比例式，表示出与的长度即可, （3）证，得出，再根据是直角三角形，分类讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）设则 ∵O为的中点， ∴ ∴， ∴， ，， ∴， 故答案为：相等； （2）成立． 设则 ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 同理， 设，则，， ∵， ∴ ， ∴； （3）∵，，， ∴，，， 由（2）得， ∵，， ∴， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 解得，或（舍去） 如图，当时， 同理可得， ∴， 则， 解得，或（舍去）， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是准确证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行推理证明． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2023·福建泉州·模拟预测）在中，，，，将沿射线向下平移得到，边交于点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由于沿射线向下平移得，所以与在同一条直线上，由，，，可判断四边形是矩形； （2）由勾股定理求出，由平移的性质可得出，由正方形的性质可得出，，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出． 【详解】（1）证明沿射线向下平移得△， 与在同一条直线上， 由平移得，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）∵，，， ∴， 由平移的性质得∶， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴，， ．∵ ∴， ∴ 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平移的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，掌握这次判定以及性质是解题的关键． 2．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到． (1)求证：； (2)若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、利用平移的性质求解 【分析】（1）由矩形的性质得到，则，再由平移的性质推出，据此可证明； （2）当点在线段的中点时，四边形是菱形，由矩形的性质得到，，，再由平移的性质推出则可证明四边形是平行四边形，再由含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，据此可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴ （2）解：当点在线段的中点时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由平移的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，平移的性质等等，熟知矩形的性质和平移的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南周口·期中）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    【答案】【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∴与之间的距离为8， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 考点三 与函数图象有关的平移变化 ►题型06 一次函数中的平移 1．（2024·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，，且直线l经过双曲线的左端点C． (1)求点A的坐标和m的值； (2)平移直线l到达直线的位置，使其经过双曲线的右端点D，交x轴于点E． 求AE的长； 求直线l上的点A移动的最短路程． 【答案】(1) (2)；A移动的最短路程为 【知识点】一次函数图象平移问题、相似三角形的判定与性质综合、求最短路径(勾股定理的应用)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将代入，可得直线l的解析式为：，进而可得，再根据直线l经过双曲线的左端点C，可得，问题随之得解； （2）结合（1）的结果得反比例函数解析式为：，即可得，根据平移直线到直线，设直线的解析式为：，代入，可得设直线的解析式为：，即可得，问题随之得解；过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程，证明，得到，利用勾股定理求出（负值舍去），即可解答． 【详解】（1）解：∵在直线的图象上， ∴，即， ∴直线l的解析式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵直线l经过双曲线的左端点C， ∴当时，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴， ∵平移直线到直线， ∴设直线的解析式为：， ∵直线经过， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴； 如图，过点A作，垂足为F，则就是直线l上的点A移动的最短路程， ， ， ， ， ，， 在中，，即， ， 解得（负值舍去）， ∴，即点A移动的最短路程为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数，一次函数的平移，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，灵活掌握数形结合的思想，将平移距离转化为直角三角形的边长是解题的关键． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． ►题型07 反比例函数中的平移 3．（2024·江苏泰州·一模）已知函数(是常数，)，函数 (1)若函数和函数的图象交于点，点． 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)，；或； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式、由平移方式确定点的坐标、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）采用待定系数法即可求出； 采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出； （）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出； 本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：， 把代入到中，得：，解得：， ∴， 综上：，； 如图所示： ∵，，结合图象， ∴当时，的取值范围是：或； （2）解：根据题意，， ∴， 把点，代入到中，得： ，解得：， 综上：． 4．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，与轴交于点，过作轴于点，已知，．    (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)将线段沿直线向下平移得到线段，使得平移后的的中点恰好落在双曲线上，求线段平移的距离． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)线段平移的距离为 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、利用平移的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据可求出的长度，确定的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）先算线段的中点坐标，再算出线段的长度比，设线段沿直线方向平移个单位得到，即项右平移个单位，向下平移个单位，可得点的坐标为，再结合点在反比例函数图象上，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，即， ∴设， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴，，， 把点，代入一次函数得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：， 把点代入反比例函数得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：已知，， ∴线段的中点坐标为，， ∴， ∴， 设线段沿直线方向平移个单位得到，即项右平移个单位，向下平移个单位， ∴点的坐标为， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， ∴线段平移的距离为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，角的正切值的计算，图形的平移，掌握待定系数法求解析式，正切值的计算，平移的性质是解题的关键． ►题型08 二次函数中的平移 5．（2021·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，二次函数图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B． (1)直接写出点A与点B的坐标； (2)若函数的图象与线段恰有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据平移的规律得到B的坐标； （2）二次函数图象经过定点，分三种情况讨论即可求得m的取值． 【详解】（1）把代入得，， ∴， ∵将点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴； （2）直线解析式为，该二次函数图象经过定点， ①当时，抛物线解析式为，顶点恰是A点，与线段仅有一个交点A点； ②当时，如图1，对称轴为直线，恰与线段仅有一个交点A点； ③当，在范围内，y会先随x增大而减小，再随x增大而增大， 如图2，当时，对称轴为直线，此时抛物线恰好与线段有两个交点分别是A点和B点， 因此当 时，抛物线恰好与线段有一个交点， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 6．（2024·甘肃天水·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，抛物线的顶点在直线上运动，与直线交于点，设平移后的抛物线顶点的横坐标为． (1)如图1，若，求点的坐标； (2)在抛物线平移的过程中，当是等腰三角形时，求的值； (3)如图2，当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【知识点】图形的平移、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出直线的解析式，将代入，求出抛物线的顶点坐标，即可求出抛物线解析式； （2）过点作垂直于直线，过点作，连接，设出抛物线顶点坐标，表示，，的长度，结合的三角函数列出方程求解即可； （3）先求出最短时的抛物线解析式，设出点坐标，根据题意构造平行线，分在直线的上方和下方两种情况分别列式求解即可． 【详解】（1）解：设所在直线的函数解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴所在直线的函数解析式为， 当时，得：， ∴抛物线的顶点， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当时，， ∴； （2）如图1， ∵抛物线的顶点在直线上运动，设平移后的抛物线顶点的横坐标为， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当是等腰三角形时， ①当时， ∵点在直线上， ∴，，， ∴， ∴，， 过点作垂直于直线，过点作，连接， ∵平移后的抛物线的解析式为：， 当时，， 此时，，， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②当时， 得：， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当时， ∵垂直于直线， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述，的值为； （3）如图2， ∵抛物线的顶点在直线上运动，设平移后的抛物线顶点的横坐标为， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵， ∴当时，最短，此时， 此时抛物线的解析式为即， 假设在抛物线上存在点，使，设， ①点落在直线的下方时，过作直线，交轴于点， ∵与直线平行，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∵， ∴点落在直线上， ∴， 解得：， ∴，∴点与点重合， ∴此时抛物线上不存在点，使与的面积相等； ②当点落在直线的上方时，作点关于点的对称点，过作直线，交轴于点， ∵与直线平行， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∵S△QMA=S△PMA， ∴点落在直线上， ∴， 解得：或， 代入，得：或， 此时点的坐标为或； 综上所述，当点的坐标为或时，的面积与的面积相等． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图像的性质及图像的平移，函数图像的交点，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，图形面积的求法等知识点，正确理解题意并运用分类讨论和数形结合的数学思想方法是解题的关键． 平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化. 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图像经过点B，C． (1)求a、k的值和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)8 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平移的性质求解、利用平行四边形的性质求解、反比例函数与几何综合 【分析】（1）把点代入直线即可求出a，再把点B坐标代入即可求出k，然后求出点A的坐标，根据点D在x轴上，得到点A与点D点纵坐标相差4个单位长度，根据平行四边形的性质，则点B与点C纵坐标相差4个单位长度，得到点C的纵坐标为2，再代入反比例函数的解析式即可求出横坐标，可得点C坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出点M、A、E的坐标，根据平移的性质求出点D的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，解得； ∵点在上， ∴； 直线与y轴交于点A， 当时，， ， ∵点D在x轴上，四边形是平行四边形， 点D的纵坐标为0，即点A与点D点纵坐标相差个单位长度， 点B与点C纵坐标相差4个单位长度， 点C的纵坐标为， 点在上， ∴， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设交x轴于点M， 当时，，解得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵，， ∴点B到C的平移方式是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∴点A到D的平移方式也是先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、平移的性质、函数图象上点的坐标特点以及利用割补法求图形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、反比例函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点且与直线的一个交点为． (1)求的值； (2)判断抛物线的顶点是否在直线上； (3)平移抛物线，使其顶点在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)2 (2)抛物线的顶点是否在直线上 (3) 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移 【分析】（1）直接将代入直线求解即可； （2）由（1）可得，将、代入列方程组求得a、b的值，可求得抛物线的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线验证即可． （3）设平移后的解析式为：，由题意可得，即；令，则有，然后配方运用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：将代入直线可得：． （2）解：由（1）可得：， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 当时，，则抛物线的顶点在直线上． （3）解：设平移后的解析式为：， ∵平移后的解析式的顶点在直线上， ∴， ∴， 令，则有， ∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 4．（2023·四川达州·模拟预测）如图，已知点在反比例函数的图象上，点，，将沿方向平移，使点与点P重合，得到．过点作轴交反比例函数图象于点． (1)直接写出的值； (2)求直线的解析式； (3)求平移前后线段扫过的图形面积． 【答案】(1)8 (2) (3)22 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、平移综合题(几何变换) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化——平移，求出点坐标和函数解析式是解决本题的关键． （1）把点代入直线，即可求值； （2）根据平移的性质，求得，再运用待定系数法，即可得到直线的表达式；（3）延长交轴于，过作轴于，根据，可得线段扫过的面积的面积平行四边形的面积，据此可得线段扫过的面积． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：，， ，， 由平移可得，， 轴，， 点的横坐标为， 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （3）如图，延长交轴于，由平移可得，，又轴，， 点的纵坐标为4，即， 如图，过作轴于， 轴，， 点的横坐标为2，即， 又， 线段扫过的面积平行四边形的面积平行四边形的面积． 5．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2023·江苏镇江·二模）如图，已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点A和点B，与轴交于点C，与轴交于点D；    (1)如图1，当点A坐标为时，求直线的解析式和反比例函数关系式； (2)将沿射线方向平移得到，若点O，B的对应点，同时落在函数上， ①求n的值； ②平移过程中扫过的面积是 ． 【答案】(1)； (2)①；②10 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平移的性质求解、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）由点坐标与解析式的关系，将已知点坐标代入解析式，求得，进而确定直线解析式，反比例函数解析式； （2）①过作轴，垂足为H，联立解析式求得，由平移知,设平移的距离为，则，求得直线与x轴交于，与y轴交于，所以是等腰直角三角形，,于是，，，代入反比例函数，得，解得，故 ②令等腰斜边上的高为h,则，求得，可证四边形是平行四边形，于是，由，得，于是，得扫过的面积是． 【详解】（1）在上， ∴ 把代入中得： 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； （2）①过作轴，垂足为H， ，解得 由平移知：,    设平移的距离为，则 ∵轴， ∴ 直线与x轴交于，与y轴交于 ∴是等腰直角三角形，, ∵, ∴, ∴ ∴ 同理:， 代入反比例函数 得 解得 ∴ ； ②令等腰斜边上的高为h,则 ∴ 由平移知, ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴扫过的面积是． 【点睛】本题考查函数图象点坐标与解析式，图形的变化——平移，等腰直角三角形性质、三角形面积计算，平行四边形面积计算，理解平移后图形的构成，运用数形结合思想是解题的关键． 7．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据“友好值”为2即可求出抛物线的解析式； （2）先求出，用待定系数法求出直线的表达式，设，则，则，然后根据列式即可求解； （3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵“友好值”为2， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：； （2）解：抛物线的表达式为， ∴． 设直线的表达式为， 将点，C的坐标代入， 得， 解得 ， ∴．直线的表达式为． 设，则， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴； （3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 综上可知，当时，点的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，以及解直角三角形等知识，数形结合是解答本题的关键． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图1，已知点，，反比例函数与直线AB有唯一一个交点． (1)当，时，求直线的解析式及k的值； (2)当的面积为10时，求k的值； (3)当，且k的最大值为9时，将此时的直线沿着x轴正半轴方向移动，交反比例函数于点C、D（如图2），若点C是线段的中点，求平移的距离． 【答案】(1)； (2) (3)平移的距离为 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平移的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的解析式，再联立方程组后运用根的判别式即可求得的值； （2）由的面积为10，可得出，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组整理得，运用根的判别式可得，即； （3）根据和反比例函数k值几何意义得出，从而得出当时，取最大值，解出，平移前点，得出．平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴，设点，则，根据，得出，．证明，得出，点，得出，解得，从而得出平移后点，即可求出平移的距离． 【详解】（1）解：当时，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直线有唯一一个交点， ∴， ∴； （2）∵的面积为10， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得：， ∵反比例函数与直数有唯一一个交点， ， ． （3）∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∴平移前点． ∴， ∴． 平移后，如图，过点分别作轴，轴，轴， 设点，则， ∵平移，所以， ∴， ∴． ∵点是中点，且， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴，解得． ∵， ∴． ∴平移后点， ∴平移的距离为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的图象交点，相似三角形的性质和判定，平移的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用等，熟练掌握反比例函数的图形和性质，一次函数的性质，平移的性质等知识是解题的关键． 考点四 平移的作图 ►题型09 网格中的平移作图 1．（2023·江苏盐城·一模）如图在网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C、D、M、N、K均为格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并回答问题． 【操作】在图1中， ①过点D画的平行线（E为格点）； ②过点B画的垂线，交于点F，交于点G，连接． 【发现】在图1中，与的数量关系是__________；的长度是__________． 【应用】在图2中，点P是边上一点，在上找出点H，使． 【答案】操作：①详见解析；②详见解析；发现：，；应用：详见解析 【知识点】已知正切值求边长、由平行判断成比例的线段、平移(作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）【操作】根据题意作图即可； （2）【发现】结合可得．由可求得，的长，再在中利用勾股定理计算的长度即可； （3）【应用】利用等腰三角形的对称性及三线合一作图即可． 【详解】（1）【操作】 如图所示，即为所求． （2）【发现】∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 在中 故答案为：，． （3）【应用】 如图所示，点H即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． ①在图（1）中，过点A画的平行线； ②在图（2）中，画的中线； ③在图（3）中，画的角平分线． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形性质理解、平移(作图)、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图-应用与设计作图： ①由点B向上平移4格得到点A，可知将点C向上平移4格即可得到点G，连接，即为所求作； ②取格点E，F，与的交点为H，连接，即为所求作； ③由勾股定理求得，结合等腰三角形的性质，延长至点D，则，取的中点E，连接交与点K，即为所求作． 【详解】解：①如图（1），即为所求作： 点B向上平移4格得到点A，可知将点C向上平移4格即可得到点G， ； ②如图（2），即为所求作： 四边形是矩形， 与互相平分， 点H为的中点， 为的中线； ③如图（3），即为所求作： 由勾股定理得，， 延长至点D，则， 为等腰三角形， 取的中点E，连接交与点K， 平分． 解决图形变化有关的作图问题方法： 1）平移作图都应抓住两个要点:一是平移的方向；二是平移的距离. 2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形. 3）无论是平移、轴对称，都不改变图形的大小和形状. 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的； (2)仅用无刻度直尺作出的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、平移(作图)、画三角形的高、格点作图题 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据网格线的特点取格点G，连接交于点P，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求． 取格点D，连接交于点P，即为所求； 取格点M，N，与相交于点G， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，点P即为所求 2．（2024·安徽滁州·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点），其中点A，B，C的坐标分别为． (1)将平移，使得平移后点A对应的点的坐标为，请画出； (2)若以，为邻边作，直接写出顶点 D 的坐标_______； (3)只用无刻度直尺在上作出点M，使得平分（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】平移(作图)、无刻度直尺作图、勾股定理与网格问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平移，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平移，矩形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平移后对应的点的坐标为，得到平移变换是向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，继而得到，画图即可． （2）根据，到中点坐标为，设，结合得到其中点坐标为，根据平行四边形中点唯一性，得，解答即可． （3）根据题意，得，利用矩形的对角线互相平分，构造矩形，连接对角线，则交点即为所求． 【详解】（1）解：根据平移后对应的点的坐标为，得到平移变换是向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴，画图如下： （2）根据，到中点坐标为， 设，结合得到其中点坐标为， 根据平行四边形中点唯一性，得， 解得 故， 故答案为：． （3）根据题意，得， 利用矩形的对角线互相平分，构造矩形， 连接，交于点M， 则， ∵， ∴， ∴平分， 则点M即为所求． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．解决下列问题： (1)已知的三个顶点都在格点上，将向右平移2个单位，得到，请在网格图中画出．若与相交于点，则 ； (2)用无刻度的直尺画图：在上求作点，使．（保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平移(作图)、格点作图题 【分析】本题主要考查了平移变换、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平移的性质和相似三角形的性质是解题关键． （1）根据平移的性质确定点的位置，顺次连接即可；由图形可知，，，可证明，由相似三角形的性质可得； （2）取格点，使得，，且，可证明，由相似三角形的性质可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； 由图可知，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，点即为所作点． 理由如下： ∵，，且， ∴，， ∴， ∴． $$