2025年上海高考数学模拟卷02-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

上海高考模拟卷02 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．已知集合，则 . 2．写出一个解集为的分式不等式 . 3．复数（其中为虚数单位），则的虚部为 ． 4．已知函数，则 . 5．已知随机变量，若，则实数a的值为 ． 6．已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 7．若展开式中的常数项为，则实数 . 8．成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 9．方程的解是 . 10．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 11．已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ． 12．欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 14．已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 15．如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 16．已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，在三棱柱中，，平面平面.    (1)证明：. (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 18．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 19．设为实数，已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求函数的取值范围； (3)若数列的前项和，求的值. 20．已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点． ①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围； ②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 21．设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高考模拟卷02 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．已知集合，则 . 【答案】． 【解析】由题意知，， 所以. 2．写出一个解集为的分式不等式 . 【答案】 【解析】一个解集为的分式不等式可以是， 故答案为：.（答案不唯一） 3．复数（其中为虚数单位），则的虚部为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，， 所以的虚部为. 4．已知函数，则 . 【答案】1 【解析】 5．已知随机变量，若，则实数a的值为 ． 【答案】2 【解析】由题意得，，解得． 6．已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 7．若展开式中的常数项为，则实数 . 【答案】1 【解析】由二项式展开式的通项为， 令，可得， 代入通项公式可得，解得. 8．成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【答案】88 【解析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 9．方程的解是 . 【答案】1或2 【解析】由可得：或， 则：或， 解得：或或， 当时，显然不符合题意； 当时，则成立； 当时，则成立； 故或. 10．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 米． 【答案】 【解析】如图所示： 由题意知：，，设， 则，， 所以， 由于，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 所以当时，可以获得观看的最佳视野. 11．已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ． 【答案】7 【解析】由题设，令集合，共有7个元素， 所以的三元子集，如下共有35个： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、， 因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有： 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 、、、、、、，共有7个； 共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素. 12．欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此． 在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以． 所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 则恒成立等价于恒成立， 即恒成立，所以， 令，则， 所以，且， 所以， 所以，即实数的取值范围是 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【解析】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 14．已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【解析】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 15．如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 16．已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】不妨令，则 因为为奇函数，所以，即①错误； 由上可知， 令可得或0，有三个零点，即②错误； 对于， 显然时，此时单调递减， 时，此时单调递增， 不难发现时，，时， 所以，时，， 所以时，， 由奇函数的性质可知的解集为； 且时，，故时有， 则，都有， 所以恒成立，即③④正确； 故选：B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．如图，在三棱柱中，，平面平面.    (1)证明：. (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）∵，平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2）由（1）得平面，∵平面，∴， ∵，，∴.    以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故. 设直线与平面所成的角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 【答案】(1)，品种千粒重的中位数为43.75g； (2). 【解析】（1）由品种小麦的频率分布直方图，得，所以； 设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g. （2）设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g， 事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则， 用频率估计概率，则，， 由，相互独立，所以 . 19．设为实数，已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)当时，求函数的取值范围； (3)若数列的前项和，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解法1：（1）因为函数为奇函数， 则 对定义域内的任意恒成立， 所以对定义域内的任意恒成立， 所以，解得. 解法2：因为函数为奇函数， 所以，即，解得， 此时， 且， 所以为奇函数，故. （2）由（1）得， 易知，函数为上的增函数， 当时，，即， 因此，当时，函数的取值范围. （3）（3）由，得； 当时，， 显然，当时，满足上式，所以. 则 20．已知，，点满足，记点的轨迹为， (1)求轨迹的方程； (2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点． ①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围； ②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解析】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． ，，，故，轨迹方程为． （2）直线的方程为，， 得，设，，，， 由条件得， 解得，即． ①， 由条件，故，故， 因为，因此． ②设存在点满足条件， 由 ， 得对任意恒成立，所以， 解得， 因此存在定点满足条件． 21．设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)证明见解析 【解析】（1）当时，，， 因当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因， 设，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，， 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以存在两个零点， 即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意； （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则 所以综上a的取值范围为. （3）当时，，，设为的零点，则， 因为，所以， 当时，，，故，在单调递增， 当时，，，所以，在单调递减， 当时，，，所以，在单调递增， 所以，且，即， 所以， 设，则，在上单调递增， 所以，且，故得． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$