2025年上海高考数学模拟卷01-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（上海专用）

上海高考模拟卷01 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．已知集合，，若，则实数 . 【答案】或 【解析】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 2．已知向量.若 ，则 . 【答案】 【解析】，， 因为 ，所以，即. 3．已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【答案】 【解析】因为在中，， 所以， 则. 4．若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 【答案】5 【解析】由可得； 则可得，因此. 5．的展开式中的常数项为 . 【答案】220 【解析】展开式的通项公式为， 令，所的展开式中的常数项为 6．正数满足，则的最小值是 . 【答案】16 【解析】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 7．已知等差数列的前n项和为，则 . 【答案】81 【解析】根据题意，知道，则，则， 若公差为，所以，则. 故 则. 8．有如下四个命题： ①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5． ②相关系数，表明两个变量的相关性较弱． ③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05． 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指． 以上命题错误的序号是 ． 【答案】② 【解析】对于①，甲组数据的中位数为，乙组数据的中位数为，故①正确； 对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，故②错误； 对于③，的观测值约为，认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过，故③正确； 对于④，残差分析中，相应数据的残差，故④正确， 所以命题错误的序号是②. 9．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 【答案】/ 【解析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座， 因为，，所以. 10．若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，作出的图象，如图所示. 由图可知，当时，只需当时，直线的图象恒在图象的下方， 此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为， 则，所以，则的取值范围为； 当时，显然符合题意； 当时，只需当时，直线的图象恒在图象的上方， 此时令直线为曲线的切线， 函数在时的解析式为，则， 所以，则的取值范围为. 综上，实数的取值范围是. 11．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．    【答案】 【解析】解：如图所示：    设,因,故， 又， 由余弦定理，， 即，    设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于，与椭圆交于，， 连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系， 过点作， 则， ， 则， ， 则， 又由得：， , 从而， 则得， 不妨设椭圆方程为，把和点坐标代入方程， 解得， 则， 故. 12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF. 由，，，得，， 因为，所以，在中，由余弦定理得. 又由，得，即， 所以点C的轨迹为以OD为直径的圆. 因为 ， 当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立. 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】对应，有，故在R上单调递增， 若，即， 所以“”是“”的充要条件. 14．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确；    若，则或或为异面直线，故D错误. 15．下列说法中正确的个数有（    ） ①对具有线性相关关系的变量，，其回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ②某校共有学生1003人，用简单随机抽样的方法先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取为20人，则每个学生被抽到的概率为； ③若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立； ④若随机变量，满足，则. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①：因为回归方程为，又样本点中心为， 所以，解得，则实数的值是，故①正确； 对于②：根据简单随机抽样概率均等可知，每个学生被抽到的概率为，故②错误． 对于③：由，可得， 解得，，所以， 所以事件A与B相互独立，故③正确； 对于④：由，可得，故④错误. 故正确的命题有2个. 16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过作，， 即，可得， 则过作，因为是中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴， ∴，又，∴， 解得，∴．经验证可得为奇函数， ∴，． （2）由（1）知，∴在上为减函数． ∵,∴， 又是奇函数，∴， 又为减函数， ∴对任意的恒成立． ∴对任意的恒成立． 令， 则, 解得. ∴实数的取值范围为． 18．三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积. (1)求的大小； (2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，即， 所以， 所以， 因为，所以． （2）在和中，由正弦定理可得， 设，，则， 故两式相除可得，即, 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 19．某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．    (1)规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出游 6 合计 50 请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ (2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解析】（1） 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 18 30 非优质水源日出游 14 6 20 合计 26 24 50 ， 所以有的把握认为优质水源日出游与性别有关. （2）根据题意，第一组有天，第二组有天， 所以的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 20．已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【解析】（1）因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． （2）易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . （3）由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 21．定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. (1)已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； (2)已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； (3)若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）由，， 得，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 因为为二次函数，且，所以的对称轴为， 设， 要使“”为三角形函数，只要， 取，则， ，满足， 则，即成立. 故若，取，可使得“”为三角形函数. （答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以） （2）， ①当时，， 则任意，故“”为三角形函数. ②当时，由， 则，； 要使“”为三角形函数， 由，解得， 则有， 所以； ③当时，则， 要使“”为三角形函数，由，解得， 则有， 所以； 综上所述，实数的取值范围为. （3），. 由（1）知，， 则任意，； 下面证明. 由，， 则， 令， 则，所以在上单调递减. 又，由参考数据可知，， 则存在唯一的实数，使，即(). 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 由()式可知， 则， 令， 则， 所以在单调递增， 故. 即. 所以成立，即. 故“”为三角形函数，命题得证. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高考模拟卷01 一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．已知集合，，若，则实数 . 2．已知向量.若 ，则 . 3．已知分别为三个内角的对边，且，则 . 4．若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 5．的展开式中的常数项为 . 6．正数满足，则的最小值是 . 7．已知等差数列的前n项和为，则 . 8．有如下四个命题： ①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5． ②相关系数，表明两个变量的相关性较弱． ③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05． 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指． 以上命题错误的序号是 ． 9．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 10．若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是 . 11．机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．    12．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．下列说法中正确的个数有（    ） ①对具有线性相关关系的变量，，其回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ②某校共有学生1003人，用简单随机抽样的方法先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取为20人，则每个学生被抽到的概率为； ③若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立； ④若随机变量，满足，则. A．1 B．2 C．3 D．4 16．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积. (1)求的大小； (2)如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值. 19．某地为调查大型水域的水质情况，设置若干站点检测水质指数（“M指数”．），以这些站点所测“M指数”的平均值为依据，接报此大型水域的水质情况．下图是2024年11月份30天内该大型水域“M指数”的频率分布直方图，其中分组区间分别为：，，，，，，，．    (1)规定：“指数”不超过50为“优质水源日”，否则称为“非优质水源日”．对该地区50名外出郊游的市民进行调查，得到如下列联表： 男市民 女市民 合计 优质水源日出游 12 30 非优质水源日出游 6 合计 50 请完成上述列联表，并根据的独立性检验，能否认为优质水源日出游与性别有关？ (2)从“指数”在第一组和第二组的所有天数中选取3天的数据进行评价，记这3天的数据来自第一组的数据有天，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20．已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 21．定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. (1)已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； (2)已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； (3)若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$