精品解析：福建省福清第一中学2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试卷6.20

2023-2024学年福清一中高一下学期数学阶段测试卷 必修二第六章-第十章10.1 完卷时间：70分钟 满分： 100分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （23-24高一下·河南信阳·阶段练习） 1. 复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. （23-24高一下·四川南充·阶段练习） 2. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 （23-24高一下·浙江·阶段练习） 3. 若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， （2024·四川成都·模拟预测） 4. 对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. （2024高一下·全国·专题练习） 5. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为（ ） A. B. C. D. （23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习） 6. 在某学校开展“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为2，方差为3 D. 丁组平均数为2，第85百分位数为7 （2024·安徽合肥·模拟预测） 7. 已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. （2024·内蒙古呼和浩特·一模） 8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （2024高三·全国·专题练习） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若事件A与事件B是互斥事件，则 B. 若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B对立事件 C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 （2024高二下·浙江·） 10. 已知向量，．下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为锐角，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 （22-23高二上·贵州黔东南·开学考试） 11. 已知梯形，，，，，是线段中点．将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项正确的是（ ） A. 与始终垂直 B. 当直线与平面所成角为时， C. 四面体体积的最大值为 D. 四面体的外接球的表面积的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． （2024·重庆·模拟预测） 12. 袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为_______． （23-24高二下·上海·阶段练习） 13. 了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165cm，方差为25，则可估计该校学生的方差为________． （2024·四川·模拟预测） 14. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______． （2024·福建厦门·三模） 15. 记锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 四、解答题（第一题10分，第二题22） （2024·四川成都·三模） 16. 为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数； （2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率． （23-24高一下·吉林·期中） 17. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年福清一中高一下学期数学阶段测试卷 必修二第六章-第十章10.1 完卷时间：70分钟 满分： 100分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （23-24高一下·河南信阳·阶段练习） 1. 复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数， 所以复数的虚部为. 故选：B. （23-24高一下·四川南充·阶段练习） 2. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或与相交、异面，故A错误 对于B，若，，，，则或与相交，故B错误 对于C，若，，根据面面平行性质可知，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C （23-24高一下·浙江·阶段练习） 3. 若数据、、⋯的平均数是5，方差是4，数据、、⋯、的平均数是4，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先设出数据的平均数和标准差，利用平均数的定义求解A，B，利用标准差和方差的关系求解C，D即可. 【详解】根据题意，设数据的平均数为,标准差为， 数据、、⋯、的平均数是4, 则， 解得而数据的平均数是5, 可得，由方差公式可得， ， ， 解得，故D正确. 故选：D. （2024·四川成都·模拟预测） 4. 对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知，，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数，利用列举法求出为整数包含的基本事件有4个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】，，从集合M，N中各任取一个数x，y， 基本事件总数. 为整数包含的基本事件有，，，，共4个 为整数的概率为. 故选：C. （2024高一下·全国·专题练习） 5. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47可以表示为“”，已知用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数共有504种等可能的结果，则这个数至少要用8根小木棍的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有种情况，由于至少要用8根小木根的对立事件为用掉5根，6根，7根这三种情况，用掉5根，6根，7根小木棍的全排列共有种，从而求出至少要用8根小木棍的概率. 【详解】至少要用8根小木棍的对立事件为用5根，6根，7根这三种情况． 用5根小木棍为1，2，6这一种情况，组成三位数包括6个样本点， 用6根有1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7这四种情况，每种情况包含6个样本点，共24个样本点 用7根有1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3这七种情况， 每种情况包含6个样本点，共42个样本点 又表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数有504种情况 故至少要用8根小木棍的概率为1－， 故选：D． （23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习） 6. 在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有10位选手．记录参赛人员失分（均为非负整数）情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ） A. 甲组中位数为3，极差为5 B. 乙组平均数为2，众数为2 C. 丙组平均数为2，方差为3 D. 丁组平均数为2，第85百分位数为7 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，假设有选手失8分，根据极差得到最低失分为3分，中位数为3，故A错误；C选项，根据方差得到，若有选手失8分，则有，矛盾，故C正确；BD选项，举出反例即可判断. 【详解】A选项，假设存在选手失分超过7分，失8分，根据极差为5，得到最低失分为3分， 此时中位数为3，故假设可以成立，故A错误； B选项，假设乙组的失分情况为， 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，B错误； C选项，丙组的失分情况从小到大排列依次为， 丙组平均数为2，方差为3，即， 若，则，不合要求，故， 所以该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确； D选项，，故从小到大，选取第9个数作为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为， 满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优秀小组”，故D错误. 故选：C. （2024·安徽合肥·模拟预测） 7. 已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及基本不等式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得，即， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 而，则，所以角的最大值为. 故选：A （2024·内蒙古呼和浩特·一模） 8. 已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意确定所求截面为，从而得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （2024高三·全国·专题练习） 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 若事件A与事件B是互斥事件，则 B. 若事件A与事件B满足条件，则事件A与事件B是对立事件 C. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 D. 从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件 【答案】ABC 【解析】 【分析】由互斥事件的概念可判断A，D；由对立事件的概念可判断B，C. 【详解】对于A，事件A与事件B是互斥事件，但不一定是对立事件，故A不正确； 对于B，若是在同一试验下，由，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有，但事件A与事件B不一定对立，故B不正确； 对于C，一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生，不是对立事件，故C不正确； 对于D，事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件，故D正确． 故选：ABC. （2024高二下·浙江·） 10. 已知向量，．下列选项正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为锐角，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，求出；B选项，根据垂直关系得到方程，求出；C选项，根据夹角为锐角，得到且与不同向共线，得到不等式，求出答案；D选项，利用投影向量的求解公式求出答案. 【详解】A选项，，解得，A错误； B选项，，故，解得，B正确； C选项，向量与的夹角为锐角，故且与不同向共线， 故且，解得且，C错误； D选项，若，则向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：BD （22-23高二上·贵州黔东南·开学考试） 11. 已知梯形，，，，，是线段的中点．将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项正确的是（ ） A. 与始终垂直 B. 当直线与平面所成角为时， C. 四面体体积的最大值为 D. 四面体的外接球的表面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断A选项；由直线与平面所成角为得，取的中点，由可判断B选项；当平面时，四面体体积最大，进而可判断C选项；由题意确定球心，进而求半径的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A：连接，，如图所示： 易知四边形是正方形，所以, 于是在四面体中， ， 又且平面， 平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：取的中点，连接， 因为，所以. 当直线与平面所成角为时，, 所以，故B正确； 对于C：由题意可知，当平面时，四面体体积最大， 于是，故C错误； 对于D：因为，所以外接圆的圆心为， 又因为，所以外接圆的圆心为. 分别过点作平面和垂线，交于点， 则是四面体的外接球的球心. ，当与重合时取等号， 所以四面体的外接球的表面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． （2024·重庆·模拟预测） 12. 袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率之间的关系，求概率. 【详解】记“甲、乙、丙三人都抽到蓝色球”为事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到红色球”为事件B，则事件为对立事件. 因为，所以，即至少有一人抽到红色球的概率为． 故答案为： （23-24高二下·上海·阶段练习） 13. 了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170cm，方差为16，女生身高的平均数为165cm，方差为25，则可估计该校学生的方差为________． 【答案】25.6 【解析】 【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式计算即得. 【详解】由分层随机抽样抽取样本中男生有30人，女生有20人， 得男生所占的权重为，女生所占的权重为， 而男生身高的平均数，方差，女生身高的平均数，方差， 估计该校学生身高的平均数， 方差. 故答案为：25.6 （2024·四川·模拟预测） 14. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得平面和，利用三棱锥体积公式和重要不等式，可得三棱锥的体积最大值，依题求出，即得,得出结论. 【详解】 如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以． 又，故平面， 因平面，则．又，所以面， 因平面，故． 于是，三棱锥的体积为． 因（当且仅当时等号成立），所以体积的最大值为， 依题意，解得．因，故， 所以三棱锥的外接球的表面积为：． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与球体相关几何体的运算，考查了线线、线面垂直的推导，属于难题. 解题思路为，利用题设先确定几何图形中的相关线面，线线的垂直关系，为表示三棱锥体积奠定基础，之后利用基本不等式结合体积最大值即可求得外接球半径. （2024·福建厦门·三模） 15. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意及余弦定理可得的关系，由余弦定理可得，再由为锐角三角形可得，即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 可得，在锐角中，由余弦定理可得： ， 因为，即，即， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（第一题10分，第二题22） （2024·四川成都·三模） 16. 为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数； （2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率． 【答案】（1），平均数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数公式计算平均数； （2）首先求出，各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， 解得. 又， 即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知和两组的频数的比为 所以利用分层抽样方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，， 记中的人为，，，，中的人为，， 从这人中随机选出人，则样本空间 共15个样本点； 设事件：选出的人都来自， 则共个样本点， 所以. （23-24高一下·吉林·期中） 17. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． （3）若，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， 则，，所以点A的曲率为， 所以．因为，所以△ABC为正三角形． 因为N为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点D，连接DM，DN． 因为N为AB的中点，所以且． 又且，所以且， 所以四边形CNDM为平行四边形，则． 由（1）知平面，则平面． 又平面，所以平面平面． 【小问3详解】 取BC的中点F，连接AF，则． 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH， 则，又平面，所以平面， 又平面，， 所以∠AHF为二面角的平面角的补角． 设，，则，，． 由等面积法可得，则， 则，故二面角的正切值为． 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$