2025年数学中考证明题专项：圆的切线的证明题

2025年数学中考证明题专项 圆的切线的证明题 1．如图，等腰内接于，点D是线段上异于O，B的一点．连接并延长交于点E，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 2．如图，正方形内接于，连接，是的中点，过点作且与的延长线相交于点，与相交于点，连接．    (1)求证：是的切线． (2)求的值． 3．如图，在中，，为上一点，以为半径的与相切于点．交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 4．如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 5．如图，在中，，为上一点，以为圆心，为半径作交于另一点，为上一点，且． (1)证明：是的切线； (2)若，求的长． 6．如图，为的直径，C为上一点，连接，，D为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，的面积为，求的长； (3)在（2）的条件下，E为上一点，连接交线段于点F，若，求的长． 7．如图，是的外接圆，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 8．如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 9．如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)当，时，求的半径． 10．如图，四边形，，以为直径作，经过点，交于点，为弧的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 11．如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点，底边交于点． (1)求证：是的切线； (2)连接，，交于点，若点是弧的中点，求证：． 12．如图，在三角形中，O为边上一点，是的切线，延长至点D，连接，，且与互余． (1)求证：是的切线 (2)若，求的值 13．如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 14．如图，以边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接交于点E，且． (1)证明：是⊙O的切线． (2)若点C是弧的中点，已知，求的值． 15．如图，为的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年数学中考证明题专项：圆的切线的证明题》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）连接，，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）设，则，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是等腰的外接圆，O为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设，则，此时， ∵是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点P作，先由角平分线的性质得出，再证明是等腰直角三角形，再求解即可． 【详解】（1）证明：连接，   四边形是正方形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点P作，   平分，， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，角平分线的性质及正方形性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 3．(1)见解析； (2)． 【分析】根据等边对等角可得：、，等量代换可得：，根据同位角相等两直线平行，可证，因为，可得，从而可证是的切线； 连接，，可证四边形是正方形，设的半径为，则，，利用勾股定理可以求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，， 是的切线， ， ， ， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径为， 则， ， 在中，，，， ， 的长， 答：的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定与性质、证明直线是圆的切线、弧长公式．解决本题的关键是根据正方形的性质求出圆的半径． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，进而得出，即可得证； （2）先求得，由（1）可得是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵中，， ∴，则， 由（1）可得是等边三角形， ∴ 过点作于点， ∴， ∴ ∴ 5．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解此题的关键． （1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）解：连接，如图1， ， ， ， ， ； 又， ， ， ， ； 是圆的半径， 是的切线； （2）解：连接，，如图2， ，， ， ， ， 设，则， ， 由勾股定理得：，， ， ， ． 6．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由为的直径，可得，再证明，结合已知，可得，从而得出结论； （2）过C作于M，连接，利用的面积为求出的长，利用勾股定理求出的长，证明，得到，即可得出的长； （3）过C作于M，过E作于H，连接，根据垂直得到，从而得到，利用勾股定理求出的长，设，则，由可得：，求出的长，进而得出结果． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的直径， ， ， ， 又， ，即， ， 是的切线； （2）过C作于M，连接，如图： 的半径， ， 的面积为， ，即， ， 在中， ， ， ，即， ； （3）过C作于M，过E作于H，连接，如图： ， 由（2）知 ， 中， 设，则， 由可得： 解得：， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形． 7．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； （1）连接，根据圆周角定理，得到，等边对等角，推出，即可得证； （2）连接．根据为直径，推出，．进而推出．则，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ， ， ， ． ， ． ． ， 是的半径， 是的切线． （2）解：连接． 由（1）证可得，． 为直径， ，， ， ． ． ． ． ， 即的半径为． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形等知识即可得到结论； （2）连接，由，得，由，得，进而得，继而可证明，，即可证明是的切线； （3）连接，，设，则，，，， ．．由，可求，进而可得，．设的半径为，由勾股定理可求，进而得，设，则，， 由勾股定理，得，解方程可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 于点， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ． ， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ∴， 为的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，连接，， ， 设，则，， ，，． ． ， ， 解得， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 设，则，， 在和中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 【点睛】本题主要涉及圆的相关性质：直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补、切线的判定等，勾股定理等，熟知相关性质定理，正确的做出辅助线是解题的关键． 9．(1)详见解析 (2)的半径长为 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由可得，进而得，得到，即得，得到，即可求证； （）连接，过作于点，可得，，即得，又可证四边形为矩形，得到，即得到，得到，进而得到，即得，最后根据计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的中点， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，过作于点， 过圆心，于点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ，为直径， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 11．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查圆的切线判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据切线的定义得到，得到是的平分线，求出是的半径，即可得到结论； （2）证明，根据平行线分线段成比例得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，连接，． 与相切于点 ， ， 又为等腰三角形，是底边的中点， 是的平分线． ，即是的半径， 是的切线． （2）证明：点是弧的中点， 弧弧， ， ， ， ， 又 ， ． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形： （1）过点作，对顶角相等，等角的余角相等，得到，切线得到，角平分线的性质得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，根据，得到，进而得到，进而得到，设， ，则：，根据，求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵与互余， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴，即：， ∴， ∴设， ，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中：． 13．(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据角平分线和等边对等角得到，再证即可． （2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长． 【详解】（1）解：证明：连接，   是的平分线， ． ， ． ． ． ． ． 是切线． （2）过点作，   是的平分线， ． 在中，， 由勾股定理得：， ，， ． ． ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 14．(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理． （1）连接，根据圆周角定理可得，然后计算出和的度数，进而可得，从而证明是⊙O的切线； （2）连接，首先求出，然后可得长，再证明，进而可得，然后可得的值． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙O的切线． （2）解：连接， ∵是⊙O的直径， ∴， 又∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得，等腰三角形的性质得可证明，得到，根据切线的判定定理证明； （2）连接，设，结合余弦定理得，利用勾股定理求得和，进一步证明，有，即可求得半径． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的平分线， ． ， ， ， ， ， ． 为的半径， 为的切线． （2）解：如图，连接． ，， 设，则， ． ， 即， ，， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、以及解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$