安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一下学期数学统一作业（三）

安徽省合肥市第八中学 2024 级高一年级第二学期数学统一作业（三） 命题人：张晟 审题人：徐秀云 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列向量中与?⃗? = (2, −3)共线的是（ ） A．(2,3) B．(3, −2) C．(4, −6) D．(−2, −3) 【答案】C 【难度】0.94 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】根据共线向量定理判断即可. 【详解】因为(4, −6) = 2(2, −3)，由共线向量定理可知向量(4, −6)与?⃗?共线. 故选：C. 2．设𝑖是虚数单位，则复数 𝑖−1 2+𝑖 在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断. 【详解】由题意知， i−1 2+i = (2−i)(i−1) (2−i)(2+i) = −1+3i 5 = − 1 5 + 3 5 i， 所以 i−1 2+i 在复平面内所对应的点为(− 1 5 , 3 5 )，位于第二象限. 故选：B. 3．设𝑒1⃗⃗⃗⃗ ，𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A．𝑒1⃗⃗⃗⃗ 和𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ B．𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与3𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ C．𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与−2𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ D．3𝑒1 → − 𝑒2 → 与4𝑒1 → − 𝑒2 → 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对 A：不存在实数𝜆，使得𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆𝑒1⃗⃗⃗⃗ ，故𝑒1⃗⃗⃗⃗ 和𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 不共线，可作基底； 对 B：不存在实数𝜆，使得𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆(3𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ )，故𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与3𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 不共线，可作基底； 对 C：对𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与−2𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ ，因为𝑒1⃗⃗⃗⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 是不共线的两个非零向量， 且存在实数−2，使得−2𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ = −2(𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ )，故𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 2𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与−2𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 共线，不可作基底； 对 D：不存在实数𝜆，使得3𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜆(4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ )，故3𝑒1⃗⃗⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 与4𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑒2⃗⃗ ⃗⃗ 不共线，可作基底. 故选：C. 4．如图，∆𝐴′𝐵′𝐶′是∆𝐴𝐵𝐶的斜二测直观图，其中∆𝐴′𝐵′𝐶′为正三角形，𝐴′𝐶′ = 2，则∆𝐴𝐵𝐶的面积是（ ） A．√3 B．2√3 C．2 D．2√6 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】在直观图中求出𝐵′𝑂′ = √2𝐵′𝐷′ = √6，画出原图形，求出边长和面积. 【详解】在直观图中，∠𝐵′𝑂′𝐴′ = 45°， 在三角形𝑂′𝐵′𝐴′中，过点𝐵′作𝐵′𝐷′⊥𝑥′于点𝐷′，则𝐴′𝐷′ = 𝐶′𝐷′ = 1，𝐵′𝐷′ = √3， 故𝐵′𝑂′ = √2𝐵′𝐷′ = √6， 还原直观图得△ 𝐴𝐵𝐶原图如下， 𝐴𝐶 = 2， 由𝐵′𝑂′ = √6得𝑂𝐵 = 2√6， 所以△ 𝐴𝐵𝐶的面积为 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝑂𝐵 = 1 2 × 2 × 2√6 = 2√6. 故选：D 5．在∆𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶 = 2，𝐵 = π 3 ，若该三角形有两个解，则𝐴𝐶的取值范围是（ ） A．(2,4) B．(√3, 4) C．(√3, 2) D．(1,2) 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省新乡市多校 2023-2024 学年高一下学期 4 月期中联考数学试题 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】根据三角形解的个数的结论，因为三角形有两个解，所以𝐵𝐶sin𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶，可求出结果. 【详解】解析因为△ 𝐴𝐵𝐶有两个解，所以𝐵𝐶sin𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵𝐶， 所以2 × sin π 3 < 𝐴𝐶 < 2，即√3 < 𝐴𝐶 < 2. 故选：C. 6．在∆𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，若𝑏 = 2√3，𝑐𝑜𝑠𝐵 + √3𝑠𝑖𝑛𝐵 − 2 = 0，且𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑠𝑖𝑛𝐴，则∆𝐴𝐵𝐶的面 积为（ ） A．6 + 2√3 B．6√3 C．2√3 D．√3 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、给值求角型问题 【分析】由已知条件求出角𝐵的值，利用余弦定理求出𝑎、𝑐的值，由此可计算出△ 𝐴𝐵𝐶的周长. 【详解】∵ cos𝐵 + √3sin𝐵 = 2sin (𝐵 + 𝜋 6 ) = 2，∴ sin (𝐵 + 𝜋 6 ) = 1， ∵ 0 < 𝐵 < 𝜋，∴ 𝜋 6 < 𝐵 + 𝜋 6 < 7𝜋 6 ，则𝐵 + 𝜋 6 = 𝜋 2 ，∴ 𝐵 = 𝜋 3 ， ∵ sin𝐶 = 2sin𝐴，∴ 𝑐 = 2𝑎，由余弦定理得𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐cos𝐵，即3𝑎2 = 12， ∴ 𝑎 = 2，𝑐 = 2𝑎 = 4，因此，△ 𝐴𝐵𝐶的面积是 1 2 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵 = 1 2 × 2 × 4 × √3 2 = 2√3. 故选：C 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 7．在∆𝐴𝐵𝐶中，三内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑏 = 2−√3 𝑎 ，则𝐴的最大值为（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 【答案】A 【详解】 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑏 = 2−√3 𝑎 ，则 𝑎2+𝑏2−𝑐2 2𝑎𝑏𝑐 + 𝑎2+𝑐2−𝑏2 2𝑎𝑏𝑐 = 2−√3 𝑎 ，整理得𝑎2 = (2 − √3)𝑏𝑐 由余弦定理得𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2 2𝑏𝑐 = 𝑏2+𝑐2−(2−√3)𝑏𝑐 2𝑏𝑐 ≥ 2𝑏𝑐−(2−√3)𝑏𝑐 2𝑏𝑐 = √3 2 ，当且仅当𝑏 = 𝑐时取等号 所以𝑐𝑜𝑠𝐴 ≥ √3 2 ，故0 < 𝐴 ≤ π 6 故选：A 8．已知在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，2𝑐 = 𝑏𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 2𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，点𝐷在𝛥𝐴𝐵𝐶内部，且满足∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐴 = 2𝜋 3 ，若𝑎 = 2，∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 3 ，则𝐴𝐷 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷 =（ ） A．3 B．6 C．7 D．√7 【答案】D 【难度】0.65 【来源】2020 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期 4 月第三次适应性考试数学（文）试题 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【解析】由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得𝐴 = 𝜋 2 ,设∠𝐷𝐴𝐵 = 𝜃,可证得△ 𝐴𝐷𝐵𝐶 ∽△ 𝐵𝐷𝐶由对应边成比例可 得𝐵𝐷 = 2𝐴𝐷, 𝐶𝐷 = 2𝐵𝐷 = 4𝐴𝐷,在𝛥𝐴𝐵𝐷中,利用余弦定理得: 𝐴𝐷2 + (2𝐴𝐷)2 − 2𝐴𝐷 ⋅ 2𝐴𝐷cos 2𝜋 3 = 𝐴𝐵2 = 1,可解得 𝐴𝐷 = √7 7 ,即可求得结果. 【详解】∵ 2𝑐 = 𝑏sin2𝐴 + 2𝑎sin𝐴cos𝐵, ∴ 2sin𝐶 = sin𝐵 ⋅ 2sin𝐴cos𝐴 + 2sin𝐴sin𝐴cos𝐵, 即sin𝐶 = sin𝐵 ⋅ sin𝐴cos𝐴 + sin2𝐴cos𝐵=sin𝐴(sin𝐵cos𝐴 + sin𝐴cos𝐵)=sin𝐴 ⋅ sin𝐶, ∴ sin𝐴 = 1,𝐴 = 𝜋 2 ,由𝑎 = 2, ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 3 .得𝑐 = 1. 设∠𝐷𝐴𝐵 = 𝜃,则∠𝐷𝐵𝐴 = 𝜋 3 − 𝜃， ∴ ∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 − ( 𝜋 3 − 𝜃) = 𝜃， ∴△ 𝐴𝐷𝐵𝐶 ∽△ 𝐵𝐷𝐶，∴ 𝐵𝐷 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 2 ∴ 𝐵𝐷 = 2𝐴𝐷, 𝐶𝐷 = 2𝐵𝐷 = 4𝐴𝐷 在𝛥𝐴𝐵𝐷中,利用余弦定理得: 𝐴𝐷2 + (2𝐴𝐷)2 − 2𝐴𝐷 ⋅ 2𝐴𝐷cos 2𝜋 3 = 𝐴𝐵2 = 1, 解得𝐴𝐷 = √7 7 ,则𝐵𝐷 = 2√7 7 , 𝐶𝐷 = 4√7 7 , ∴ 𝐴𝐷 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷 = √7. 故选:D. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法不正确的是（ ） A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C．圆柱的母线与它的轴可以不平行 D．一个多面体至少有4个面 【答案】BC 【详解】A 选项根据圆锥、圆台的结构特征即可得到是正确的 B 选项有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如下图： 对于 C，圆柱的母线与它的轴平行，故 C 错误 对于 D，多面体至少有 4 个面，故 D 正确 故选：BD. 10．已知𝑧1、𝑧2都是复数，下列正确的是（ ） A．若|𝑧1| = |𝑧2|，则𝑧1 = ±𝑧2 B．|𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| C．若|𝑧1 + 𝑧2| = |𝑧1 − 𝑧2|，则𝑧1𝑧2 = 0 D．𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 【答案】BD 【难度】0.85 【来源】云南省 2024 届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试题 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用特殊值判断 A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断 B、D. 【详解】对于 A：令𝑧1 = 2 + i、𝑧2 = 1 + 2i，则|𝑧1| = |𝑧2| = √5，显然不满足𝑧1 = ±𝑧2，故 A 错误； 对于 C：令𝑧1 = 1 + i、𝑧2 = 1 − i，则𝑧1 + 𝑧2 = 2，𝑧1 − 𝑧2 = 2i， 所以|𝑧1 + 𝑧2| = |𝑧1 − 𝑧2|，但是𝑧1𝑧2 = (1 + i)(1 − i) = 2，故 C 错误； 设𝑧1 = 𝑎 + 𝑏i，𝑧2 = 𝑐 + 𝑑i(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ R)， 所以𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏i)(𝑐 + 𝑑i) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i， 则|𝑧1 ⋅ 𝑧2| = |𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i| = √(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)2 = √(𝑎𝑐)2 + (𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑)2 + (𝑏𝑐)2， 又|𝑧1| ⋅ |𝑧2| = √𝑎2 + 𝑏2 ⋅ √𝑐2 + 𝑑2 = √(𝑎𝑐)2 + (𝑏𝑑)2 + (𝑎𝑑)2 + (𝑏𝑐)2， 所以|𝑧1 ⋅ 𝑧2| = |𝑧1| ⋅ |𝑧2|，故 B 正确； 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i，又𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (𝑎 − 𝑏i)(𝑐 − 𝑑i) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 − (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)i， 所以𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2，故 D 正确. 故选：BD 11．如图所示，在边长为3的等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且点𝑃在以𝐴𝐷的中点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径的半圆上， 若𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的有（ ） A．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B．𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 13 2 C．𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 存在最大值为9 D．𝑥 + 𝑦的最小值为 2√3 9 + 1 【答案】ABC 【难度】0.4 【来源】云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学 2023-2024 学年高一下学期 3 月月考数学试题 【知识点】数量积的坐标表示、用定义求向量的数量积 【分析】对于 A、B，将𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 分别用𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于 C、D，以点𝑂为原点建 立平面直角坐标系，设𝑃(cos𝛼, sin𝛼), 𝛼 ∈ [π, 2π]，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断. 【详解】对 A：因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 2 3 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且点𝑃在以𝐴𝐷的中点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径的半圆上， 所以𝑂𝐴 = 𝑂𝐷 = 𝐷𝐶 = 1 3 𝐴𝐶， 则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 1 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 A 正确； 对 B：𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 (𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 2 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ( 1 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ ( 2 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 2 9 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 2 9 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 5 9 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 + 2 + 5 9 × 3 × 3 × 1 2 = 13 2 ，故 B 正确； 对 C、D：如图，以点𝑂为原点建立平面直角坐标系， 则𝐴(−1,0), 𝐵 ( 1 2 , 3√3 2 ) , 𝐶(2,0)， 因为点𝑃在以𝐴𝐷的中点𝑂为圆心，𝑂𝐴为半径的半圆上， 所以点𝑃在单位圆上，且在𝑥轴的下半部分， 设𝑃(cos𝛼, sin𝛼), 𝛼 ∈ [π, 2π]， 则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (cos𝛼 − 1 2 , sin𝛼 − 3√3 2 ) , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 2 , − 3√3 2 ) , 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (− 3 2 , − 3√3 2 )， 所以𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 2 cos𝛼 − 3 4 − 3√3 2 sin𝛼 + 27 4 = 3cos (𝛼 + π 3 ) + 6， 因为𝛼 ∈ [π, 2π]，所以𝛼 + π 3 ∈ [ 4π 3 , 7π 3 ]， 所以当𝛼 + π 3 = 2π时，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值9，故 C 正确； 因为𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(cos𝛼 − 1 2 , sin𝛼 − 3√3 2 ) = 𝑥 (− 3 2 , − 3√3 2 ) + 𝑦 ( 3 2 , − 3√3 2 )， 即(cos𝛼 − 1 2 , sin𝛼 − 3√3 2 ) = (− 3 2 (𝑥 − 𝑦), − 3√3 2 (𝑥 + 𝑦))， 所以sin𝛼 − 3√3 2 = − 3√3 2 (𝑥 + 𝑦)， 所以𝑥 + 𝑦 = − 2√3 9 sin𝛼 + 1， 因为𝛼 ∈ [π, 2π]，所以当𝛼 = 3π 2 时，𝑥 + 𝑦取得最大值 2√3 9 + 1，故 D 错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题 C 选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设𝑃(cos𝛼, sin𝛼), 𝛼 ∈ [π, 2π]，从而写出相 关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．设𝑚 ∈ 𝑅，复数𝑧 = (𝑚2 + 𝑚 − 2) + (𝑚 − 1)𝑖，其中𝑖为虚数单位，若𝑧为纯虚数，则𝑚 =_______________ 【答案】−2 【难度】0.85 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 【详解】因为复数𝑧 = (𝑚2 + 𝑚 − 2) + (𝑚 − 1)i为纯虚数，所以{𝑚 2 + 𝑚 − 2 = 0 𝑚 − 1 ≠ 0 ，解得𝑚 = −2. 故答案为：−2. 13．将圆心角为120°，面积为3𝜋的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为_______________ 【答案】4𝜋 【难度】0.65 【来源】四川省广安代市中学校 2021-2022 学年高二上学期第一次月考数学（文）试题 【知识点】圆锥表面积的有关计算、扇形面积的有关计算、弧长的有关计算 【分析】根据扇形面积公式求得扇形的半径，根据圆锥的底面周长为扇形的弧长可求得圆锥底面半径，进而求出圆 锥的高，可计算结果. 【详解】设扇形的半径为 R，圆心角为𝛼，面积为𝑠，圆锥的底面半径为 r，高为 h，表面积为 S， ∵ 𝑠 = 1 2 𝛼𝑅2 = 1 2 × 2π 3 𝑅2 = 3𝜋，解得：𝑅 = 3 圆锥的底面周长为扇形的弧长𝑙 = 𝑅𝛼 = 2𝜋 ∴ 2𝜋𝑟 = 𝑙 = 2𝜋，解得：𝑟 = 1，∴ ℎ = √32 − 12 = 2√2 ∴ 𝑆 = 3𝜋 + 𝜋𝑟2 = 4𝜋 故答案为：4𝜋 14．已知向量?⃗?，?⃗?夹角为 π 3 ，|?⃗?| = 2，若对任意𝑥 ∈ 𝑅，恒有|?⃗? + 𝑥?⃗?| ≥ |?⃗? − 1 2 ?⃗?|，则函数|𝑡?⃗? − ?⃗?|(𝑡 ∈ 𝑅)的最小值为 _______________ 【答案】√3 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市山海协作体 2023-2024 学年高一下学期 4 月期中联考数学试题 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由|?⃗? + 𝑥?⃗?| ≥ |?⃗? − 1 2 ?⃗?|恒成立求出|?⃗?| = 2，将|𝑡?⃗? − ?⃗?|表示成关于 t 的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】|?⃗? + 𝑥?⃗?| ≥ |?⃗? − 1 2 ?⃗?|，则有|?⃗? + 𝑥?⃗?| 2 ≥ |?⃗? − 1 2 ?⃗?| 2 ， 整理可得?⃗?2𝑥2 + 2|?⃗?|𝑥 + |?⃗?| − 1 4 ?⃗?2 ≥ 0，∵对任意𝑥 ∈ 𝑅，上式恒成立， ∴Δ = 4|?⃗?|2 − 4|?⃗?|2 (|?⃗?| − 1 4 |?⃗?|2) ≤ 0； 由题意知|?⃗?| ≠ 0，∴(1 − 1 2 |?⃗?|) 2 ≤ 0，∴|?⃗?| = 2． ∴|𝑡?⃗? − ?⃗?| = √𝑡2|?⃗?| 2 + |?⃗?|2 − 2𝑡?⃗? ⋅ ?⃗? = √4𝑡2 + 4 − 4𝑡 = 2√(𝑡 − 1 2 ) 2 + 3 4 ≥ √3， 所以𝑡 = 1 2 时，|𝑡?⃗? − ?⃗?|的最小值为√3． 故答案为：√3. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知向量?⃗? = (−1,2)，?⃗? = (3, −1) （1）求?⃗? + 2?⃗?的坐标与|?⃗? − ?⃗?| （2）求向量?⃗?与?⃗? − ?⃗?的夹角的余弦值 【答案】(1)(5,0)，5 (2) 2√5 5 【难度】0.85 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可； （2）利用平面向量数量积的公式计算即可. 【详解】（1）?⃗? + 2?⃗? = (5,0)， ?⃗? − ?⃗? = (−4,3)， |?⃗? − ?⃗?| = √(−4)2 + 32 = 5. （2）?⃗? ⋅ (?⃗? − ?⃗?) = 10， |?⃗?| = √1 + 4 = √5， cos⟨?⃗?, ?⃗? − ?⃗?⟩ = ?⃗⃗?⋅(?⃗⃗?−?⃗⃗?) |?⃗⃗?|⋅|?⃗⃗?−?⃗⃗?| = 10 √5×5 = 2√5 5 . 16．（本小题 15 分）在∆𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，2𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 = (𝑎 + 𝑐)(𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐶) （1）求角𝐵的大小 （2）若𝑏 = 2√3，∆𝐴𝐵𝐶的面积为2√3，求∆𝐴𝐵𝐶的周长 【答案】（1） 𝜋 3 ；（2）6 + 2√3 【解析】（1）已知2𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 + 𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 = (𝑎 + 𝑐)(𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐶)， 由正弦定理得：2𝑎𝑐 + 𝑏2 + 𝑎𝑐 = (𝑎 + 𝑐)2，化简得𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑎𝑐 由余弦定理得：𝑐𝑜𝑠𝐵 = 1 2 ，则𝐵 = 𝜋 3 （2）𝑆 = 2√3，即 1 2 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵 = 2√3，则𝑎𝑐 = 8 由余弦定理：𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑎𝑐，则𝑎2 + 𝑐2 = 20 又(𝑎 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑐 = 36，则𝑎 + 𝑐 = 6，故周长为𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6 + 2√3 17．（本小题 15 分）如图所示，在∆𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 5 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4，|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 6，𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6，𝐶𝐹与𝐴𝐸相 交于点𝑀 （1）求|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| （2）过点𝑀作直线𝐺𝐻分别交线段𝐴𝐵，𝐵𝐶于点𝐺，𝐻，记𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，当𝐺，𝐻在线段𝐵𝐴，𝐵𝐶上移动时， 求4𝜆 + 3𝜇的最小值 【答案】(1)|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √6 (2) 9 2 ． 【难度】0.65 【来源】河南名校联盟 2022-2023 学年高一下学期期中联考数学试卷 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用平面向量基本定理求参数、用定义求向量的数量积、用基底表示 向量 【分析】（1）根据三点共线的推论用𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗，即可求解； （2）利用三点共线的推论求出𝜆和𝜇关系，然后利用“1”的妙用，基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为𝐹, 𝑀, 𝐶三点共线， 所以存在实数𝑚使得𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑚𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (1 − 𝑚)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑚 5 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + (1 − 𝑚)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为𝐴, 𝑀, 𝐸三点共线， 所以存在实数𝑛使得𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑛𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + (1 − 𝑛)𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑛𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ( 1−𝑛 3 ) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据平面向量基本定理可得{ 3𝑚 5 = 𝑛 1 − 𝑚 = 1−𝑛 3 ，解得{ 𝑚 = 5 6 𝑛 = 1 2 ， 所以𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 2 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 6 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 = 1 4 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 1 36 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + 1 6 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6， 所以|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √6. （2）设𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑥𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝜆𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝜇𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由（1）可得𝑥𝜆 = 1 2 ①，𝑦𝜇 = 1 6 ②， 又𝐺, 𝑀, 𝐻三点共线，所以𝑥 + 𝑦 = 1③， 由①②可得𝑥 = 1 2𝜆 ，𝑦 = 1 6𝜇 ，代入③式可得 3 𝜆 + 1 𝜇 = 6，4𝜆 + 3𝜇 = 1 6 (4𝜆 + 3𝜇) ( 3 𝜆 + 1 𝜇 ) = 1 6 (15 + 9𝜇 𝜆 + 4𝜆 𝜇 ) ≥ 1 6 (15 + 12) = 9 2 ， 当且仅当𝜆 = 3 4 , 𝜇 = 1 2 时取等号，满足题中条件，可以取到， 所以4𝜆 + 3𝜇的最小值 9 2 ． 18．（本小题 17 分）已知函数𝑓(𝑥) = √3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑥 + 1（𝜔 > 0），最小正周期是𝜋，在∆𝐴𝐵𝐶中，角𝐴， 𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐 （1）求𝑓(𝑥)的单调递减区间 （2）若𝑓(𝐴) = 3 2 ，𝑎 = 2，𝐴𝐷为𝐵𝐶边的中线，求𝐴𝐷的取值范围 【答案】(1)单调递减区间为[ 𝜋 3 +kπ， 5𝜋 6 +kπ]，k∈Z (2)（1，√3] 【详解】（1）𝑓(𝑥) = √3sin𝜔𝑥cos𝜔𝑥 − cos2𝜔𝑥 + 1 = √3 2 sin2𝜔𝑥 − 1+cos2𝜔𝑥 2 + 1 = sin（2𝜔𝑥 − 𝜋 6 ） + 1 2 ∵f(x)的最小正周期为𝜋，∴ 𝜔 = 1 f（x）=sin（2x- 𝜋 6 ）+ 1 2 ， 令 𝜋 2 +2kπ≤2x- 𝜋 6 ≤ 3𝜋 2 +2kπ，k∈Z，得 𝜋 3 +kπ≤x≤ 5𝜋 6 +kπ，k∈Z， ∴f（x）的单调递减区间为[ 𝜋 3 +kπ， 5𝜋 6 +kπ]，k∈Z. （2）由（1）可知，f（A）=sin（2A- 𝜋 6 ）+ 1 2 = 3 2 ，则 sin（2A- 𝜋 6 ）=1， ∵0<A<π，∴- 𝜋 6 <2A- 𝜋 6 < 11𝜋 6 ， ∴2A- 𝜋 6 = 𝜋 2 ，解得 A= 𝜋 3 （2）由（1）得𝐴 = 𝜋 3 ，所以𝑏2 + 𝑐2 − 4 = 2𝑏𝑐cos𝐴 = 𝑏𝑐 因为𝑏𝑐＞0，所以𝑏2 + 𝑐2 − 4＞0 由基本不等式可得𝑏2 + 𝑐2 − 4 ≤ 𝑏2+𝑐2 2 ，所以𝑏2 + 𝑐2 ≤ 8，故4 < 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 8． 设∠𝐴𝐷𝐵 = 𝜃，则𝑐2 = ( 𝑎 2 ) 2 + 𝐴𝐷2 − 𝑎 ⋅ 𝐴𝐷cos𝜃， 𝑏2 = ( 𝑎 2 ) 2 + 𝐴𝐷2 − 𝑎 ⋅ 𝐴𝐷cos(𝜋 − 𝜃)， 所以2𝐴𝐷2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 2 ， 所以1＜𝐴𝐷2 ≤ 3，所以𝐴𝐷 ∈ (1，√3] ． 19．（本小题 17 分）𝐴是直线𝑃𝑄外一点，点𝑀在直线𝑃𝑄上（点𝑀与点𝑃，𝑄任一点均不重合），我们称如下操作为“由 𝐴点对𝑃𝑄施以视角运算”：若点𝑀在线段𝑃𝑄上，记(𝑃, 𝑄; 𝑀) = |𝐴𝑃|𝑠𝑖𝑛∠𝑃𝐴𝑀 |𝐴𝑄|𝑠𝑖𝑛∠𝑀𝐴𝑄 ；若点𝑀在线段𝑃𝑄外，记(𝑃, 𝑄; 𝑀) = − |𝐴𝑃|𝑠𝑖𝑛∠𝑃𝐴𝑀 |𝐴𝑄|𝑠𝑖𝑛∠𝑀𝐴𝑄 .在∆𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，点𝐷在射线𝐵𝐶上 （1）若𝐴𝐷是角𝐴的平分线，且𝑏 = 3𝑐，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，求(𝐵, 𝐶; 𝐷)的值 （2）若𝐴 = 60∘，𝑎 = 4，𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 2 − 2√3，求∆𝐴𝐵𝐶的周长 （3）若𝐴 = 120∘，𝐴𝐷 = 4，由𝐴点对𝐵𝐶施以视角运算，(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 𝑐 𝑏 ，求𝑏 + 4𝑐的最小值 【答案】(1) 1 3 (2)4 + 2√2 + 2√6 (3)36 【难度】0.4 【来源】辽宁省辽阳市 2023-2024 学年高一下学期期末考试数学试卷 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）依题意可得∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶，从而得到(𝐵, 𝐶; 𝐷) = |𝐴𝐵|sin∠𝐵𝐴𝐷 |𝐴𝐶|sin∠𝐷𝐴𝐶 = 𝑐 𝑏 ，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到𝑏 = √3+1 2 𝑐，再由余弦定理求出𝑐，即可求出𝑏，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶，由等面积法得到𝑏𝑐 = 4(𝑏 + 𝑐)，从而得到 4 𝑏 + 4 𝑐 = 1，再由乘“1”法及基本不等 式计算可得. 【详解】（1）因为𝐴𝐷是角𝐴的平分线，所以∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶且𝐷在线段𝐵𝐶上， 所以(𝐵, 𝐶; 𝐷) = |𝐴𝐵|sin∠𝐵𝐴𝐷 |𝐴𝐶|sin∠𝐷𝐴𝐶 = 𝑐 𝑏 ， 又𝑏 = 3𝑐，所以(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 𝑐 𝑏 = 1 3 ； （2）因为点𝐷在射线𝐵𝐶上，∠𝐵𝐴𝐶 = 60°，且𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷，所以𝐷在线段𝐵𝐶外，且∠𝐷𝐴𝐶 = 30°， 所以(𝐵, 𝐶; 𝐷) = − |𝐴𝐵|sin∠𝐵𝐴𝐷 |𝐴𝐶|sin∠𝐷𝐴𝐶 = − 𝑐sin90° 𝑏sin30° = − 2𝑐 𝑏 = 2 − 2√3， 所以𝑏 = √3+1 2 𝑐， 在△ 𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理可得𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐cos𝐴， 即 4+2√3 4 𝑐2 + 𝑐2 − √3+1 2 𝑐2 = 3 2 𝑐2 = 16，解得𝑐 = 4√6 3 （负值已舍去）， 所以𝑏 = 6√2+2√6 3 ， 所以△ 𝐴𝐵𝐶的周长为𝐶△𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4 + 2√2 + 2√6. （3）因为(𝐵, 𝐶; 𝐷) = 𝑐 𝑏 > 0，所以 |𝐴𝐵|sin∠𝐵𝐴𝐷 |𝐴𝐶|sin∠𝐷𝐴𝐶 = 𝑐 𝑏 ，则∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶， 因为𝐴 = 120°，所以∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶 = 60°， 又𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 𝑆△𝐴𝐵𝐷 + 𝑆△𝐴𝐷𝐶，所以 1 2 𝑏𝑐sin120° = 1 2 𝑏 ⋅ 𝐴𝐷sin60° + 1 2 𝑐 ⋅ 𝐴𝐷sin60°， 又𝐴𝐷 = 4，所以𝑏𝑐 = 4(𝑏 + 𝑐)，所以 4 𝑏 + 4 𝑐 = 1， 所以𝑏 + 4𝑐 = (𝑏 + 4𝑐) ( 4 𝑏 + 4 𝑐 ) = 16𝑐 𝑏 + 4𝑏 𝑐 + 20 ≥ 2√ 16𝑐 𝑏 ⋅ 4𝑏 𝑐 + 20 = 36， 当且仅当 16𝑐 𝑏 = 4𝑏 𝑐 ，即𝑏 = 12，𝑐 = 6时等号成立， 所以𝑏 + 4𝑐的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出𝑏𝑐 = 4(𝑏 + 𝑐)，即 4 𝑏 + 4 𝑐 = 1. 安徽省合肥市第八中学2024级高一年级第二学期数学统一作业（三） 命题人：张晟审题人：徐秀云 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列向量中与a=(2,-3)共线的是() A.(2,3) B.(3,-2) C.(4,-6) D.(-2,-3) 2.设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（) A.第一象限 B.第二郊限 C.第三象限 D.第四像限 3.设1,2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是() A.e和E+2e B.g+2e与3e-e2C.g+2e与-2C-4eD.3e1-e2与4e1-e2 4.如图，△A'B'C是△ABC的斜二测直观图，其中△4'B'C为正三角形，A'C=2,则△ABC的面积是() A.3 B.2W3 C.2 D.2v6 /O'C A 5.在△ABC中，已知BC=2,B=,若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（） A.(2,4) B.(34) C.(3,2) D.(12) 6.在AABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c,若b=2v5,cosB+√3sinB-2=0,且sinC=2sinA,则 △ABC的面积为() A.6+23 B.63 C.23 D.V3 7.在△ABG中，三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知警+罗=2：，则A的最大值为() A.8 B. C. D. 8.已知在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,2c=bsin2A+2 asinAcosB,点D在AABC内部，且满足 ∠ADB=∠BDC=∠CDA=,若a=2,∠ABC=F,则AD+BD+CD=（) A.3 B.6 C.7 D.√7 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法不正确的是（) A.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C.圆柱的母线与它的轴可以不平行 D.一个多面体至少有4个面 10.已知21、z2都是复数，下列正确的是（) A.若zl=|z2l,则z1=士z2 B.Izz2l=lzllz2l C.若lz1+z2l=|z1-z2l,则z1z2=0 D.z1"z2=z石·z2 11.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD-AC,且点P在以4D的中点0为圆心，0A为半径的半圆 上，若BP=xBA+yBC,则下列说法正确的有() A.BD=BA+BC B.BD,B0=号 C.BP.BC存在最大值为9D.x+y的最小值为25+1 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设m∈R,复数2=(m2+m-2)+(m-1)i,其中i为虚数单位，若z为纯虚数，则m= 13.将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，圆锥的表面积为 14.已知向量a,夹角为，=2，若对任意xeR,恒有B+x≥B-,则函数6-(teR)的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知向量=(-1,2)，b=(3,-1) (1)求a+2b的坐标与a-b (2)求向量d与à-b的夹角的余弦值 16.(本小题15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 asinC+bsinB+csinA=(a+ c)(sinA+sinc) (1)求角B的大小 (2)若部=2V3,△ABC的面积为2V3,求AABC的周张 17.(本小题15分)如图所际，在△ABC中，BE-BC,BF-BA,BA=4,BC=6,BA·BC=6,CF与 AE相交于点M (1)求BM (2)过点M作直线GH分别交线段AB,BC于点G,H,记BC=ABA,B丽=HBC,当G,H在线段BA,BC上移动 时，求4+3的最小值 E H 18.(本小题17分)已知函数f(x)=V3 sinwxcoswx-cos2wx+1(仙>0)，最小正周期是r,在△MBC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c (1)求f(x)的单调递减区间 (2)若f(A)=,Q=2,AD为BC边的中线，求AD的取值范围 19.(本小题17分)A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P,Q任一点均不重合），我们称如下操作为 由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q:0）-恤微： 若点M在线段PQ外，记 (C.Q:M)=兴在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,点D在射性BC上 (1)若AD是角A的平分线，且b-3c,由A点对BC施以视角运算，求(B,C;D)的值 (2)若A=60°，a=4,AB1AD,由A点对BC施以视角运算，(B,C:D)=2-23,求△ABC的周长 (3)若A=120°，AD=4,由A点对BC施以视角运算，(B,C:D)=5,求b+4c的最小值