清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读）七年级数学下学期新教材冀教版

清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读） 清单01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 清单02 幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 清单03同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 清单04 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 清单05 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 清单06多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 清单07 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 清单08 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 清单09 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 清单10平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 清单11零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 清单12 负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是得出正确答案的前提．根据同底数幂的乘法计算法则进行计算即可． 【详解】解：， “□”所表示的代数式为， 故选：A 【变式1-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则 ． 【答案】64 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． ②∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ， 同理得：，，，，，，， ． 【考点题型二】幂的乘方运算（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知是正整数，若，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．无法确定 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查幂的乘方与同底数幂乘法．利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 故选：B． 【变式2-1】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： ； ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】直接根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算、加减消元法、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、幂的运算，熟练掌握加减消元法、代入消元法和幂的运算规则是解题的关键． （1）用加减消元法消去x，求出y，再代入求出x，可得答案． （2）用加减消元法消去y，求出x，再代入求出y，可得答案． （3）根据积的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； （4）根据幂的乘方，同底数幂的乘法先计算，最后合并同类项即可； 【详解】（1）， 由得，，即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （2） 由得, 即， 解得， 将代入式得，， 故方程组的解为：. （3） （4） 【考点题型三】幂的乘方的逆用（） 【例3】（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用、有理数大小比较 【分析】本题考查了指数幂的性质以及有理数的大小比较，直接利用指数幂的性质结合幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案，正确将原式变形是解题关键． 【详解】解：，，， ， 故选A． 【变式3-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知则 ． 【答案】2 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，先把原式变形为，进而得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、积的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）先整理，再代入，，即可作答． （3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）； （3）∵ ∴ ． 【考点题型四】积的乘方运算（） 【例4】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，先计算合并同类项，再利用积的乘方运算进行计算即可得到答案． 【详解】解： ； 故选B 【变式4-1】（21-22七年级下·河北承德·期中）计算： ； = 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】利用积的乘方以及同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式4-2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）仔细阅读下列计算过程： （__________________） （__________________） （__________________） (1)在横线上填写恰当的运算根据； (2)请你写出与上面解法不同的解法． 【答案】(1)积的乘方，等于各因式乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加 (2)见解析 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘定义及计算． （1）利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘定义即可得到本题答案； （2）也可先计算同底数幂相乘，再计算幂的乘方． 【详解】（1）解：由题意得： 积的乘方，等于各因式乘方的积； 幂的乘方，底数不变，指数相乘； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）解：． 【考点题型五】同底数幂的除法运算（） 【例5】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）在等式中，括号内的代数式应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂乘除法运算，掌握计算公式是解题的关键．利用同底数幂相乘、同底数幂相除法则计算即可． 【详解】解：设括号内的代数式为， 则由题意得：， 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】此题考查同底数幂相除：底数不变，指数相减，熟练掌握计算法则是解题的关键，根据法则计算即可得到答案 【详解】解：当时， ． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 【考点题型六】零指数幂（） 【例6】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）计算（   ） A．0 B．1 C．2025 D． 【答案】B 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂是解题的关键：零指数幂的规定：1. 计算，一方面，根据除法的意义，可知；另一方面，依照同底数幂的除法，可得；2. 规定：，即任何不等于的数的次幂都等于；3. 温馨提示：，这是对零指数幂意义的规定，不能把理解成个相乘；正整数指数幂的运算法则对于零指数幂也同样适用，如：，，等；次幂的底数不能为，因为同底数幂的除法法则的前提条件是，，为正整数，且． 根据零指数幂法则即可直接得出答案． 【详解】解：， 故选：． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）计算： ． 【答案】3 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】题目主要考查零指数幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握两个运算法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：3． 【变式6-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题； （2）根据幂的乘方与积的乘方可以解答本题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点题型七】负整数指数幂（） 【例7】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数幂的意义，掌握负整数幂等于相应正整数指数幂的倒数成为解题的关键． 根据负整数幂等于相应正整数指数幂的倒数即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 【变式7-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）计算： ． （2）计算： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了负整数指数幂以及零指数幂以及幂的乘方等知识，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． （1）先计算负整数指数幂以及零指数幂，再进行加减运算即可； （2）利用幂的乘方法则计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________； (2)记，，；求证：． 【答案】(1)3，0， (2)见解析 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、同底数幂相乘 【分析】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法、0指数和负整数指数幂． （1）根据新定义的运算法则结合0指数和负整数指数幂的定义可得答案； （2）根据新定义可知，根据同底数幂的乘法法则，可知，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 故答案为：3；0；； （2）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点题型八】计算单项式乘单项式（） 【例8】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式、积的乘方运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除以及单项式乘单项式，熟悉各种运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂乘法法则、同底数幂除法法则以及单项式乘单项式运算法则进行运算即可得解． 【详解】解：A． ，故本选项错误； B． ，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项正确． 故选：D． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习） ； ． 【答案】 1 / 【知识点】零指数幂、计算单项式乘单项式 【分析】根据零指数幂，以及单项式乘以单项式法则进行计算即可求解． 【详解】解：，， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了零指数幂，以及单项式乘以单项式，熟练掌握零指数幂，以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)解方程组：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式乘单项式、加减消元法 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，加减法解二元一次方程组，对于（1），根据单项式乘以单项式法则计算； 对于（2），根据多项式乘以多项式法则计算； 对于（3），用加减消元法消去x，再代入求出y，可得答案． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ，得， 解得． 将代入①，． 所以方程组的解是． 【考点题型九】计算单项式乘多项式及求值（） 【例9】（23-24七年级下·河北保定·期中）当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 【答案】A 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了代数式化简和代数式求值，先将原式去括号，再合并同类项，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故选：A． 【变式9-1】（21-22七年级下·河北保定·期末）□，□内应填写 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘多项式法则计算等号左边，再根据左右两边相等得出结论． 【详解】解：∵， ∴□内应填写， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，掌握单项式乘多项式的法则，就是用单项式去乘多项式里面的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 【变式9-2】（23-24七年级下·河北承德·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：    (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，代数式求值： （1）设多项式为A，然后运用单项式乘多项式法则计算即可． （2）把，代入所捂多项式计算即可 【详解】（1）解：设多项式为A， 则． （2）解：，， ． 【考点题型十】单项式乘多项式的应用（） 【例10】（23-24七年级下·河北承德·期中）观察图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 【变式10-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）一长方体的长、宽、高分别是，，，它的体积等于 （写最简结果）． 【答案】/ 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】直接根据长方体的体积公式，即长、宽、高的乘积，列式并计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘法的应用，准确理解题意，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】(1)，； (2)420平方米，930平方米； (3)88500元 【知识点】单项式乘多项式的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【详解】（1）解：（平方米） （平方米） （2）当米，米时 （平方米） （平方米） （3）（元） 【考点题型十一】多项式乘多项式与图形面积（） 【例11】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式11-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，有，两类正方形卡片和类长方形卡片若干张．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片张，类卡片 张，类卡片 张．    【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法运算与几何的综合题，将拼图问题巧妙转化为整式的乘法运算（面积问题）是解题的关键． 首先分别计算大长方形和三类卡片的面积，再进一步根据大长方形的面积应等于三类卡片的面积之和进行分析，即可得出所需三类卡片的数量． 【详解】解：长为，宽为的长方形面积为， 类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为， 则可知需要类卡片张，类卡片张，类卡片张， 故答案为：；． 【变式11-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【答案】(1) (2)32 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：． 【考点题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法（） 【例12】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若，则m的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．利用多项式乘多项式的法则进行计算，得出关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， 故选：C 【变式12-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则 ， ． 【答案】 3 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查规律探索，观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，，或，， ∵， ∴，， 故答案为：；3． 【变式12-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】计算单项式乘单项式、（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算单项式乘多项式及求值 【分析】（1）先计算乘方，再根据同底数幂乘法计算即可； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可； （3）根据单项式乘多项式法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 【考点题型十三】运用平方差公式进行运算（） 【例13】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法，平方差公式，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 根据二阶行列式的定义列式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据题意得到甲为，乙为，丙为，进而求解即可． 【详解】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为， 甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相乘的积为， 故答案为：． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出92-62的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 【考点题型十四】平方差公式与几何图形（） 【例14】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据各个图形中各个部分面积之间的关系，用代数式表示各自的面积即可得出结论． 【详解】解：方案①中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，也可以看作四个梯形的面积和，即，因此，方案①符合题意； 方案②中阴影部分面积可以看做两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作一个长为，宽为的长方形，则面积为，因此，故方案②符合题意； 方案③中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作底为，高为的大平行四边形的面积，则面积为，因此，故方案③符合题意； 方案④中阴影部分面积表示为两个正方形的面积差，即，阴影部分也可以看作四个长为，宽为的长方形面积和，即为，因此，故方案④不符合题意， 故选：C． 【变式14-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为． （1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）． （2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米． 【答案】 2 【知识点】平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】本题考查列代数式，平方差公式与几何图形的面积问题． （1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可； （2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得：种菜的面积为：，种花的面积为， ∴种菜和花的总面积为； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴比长2米； 故答案为：2． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 【答案】(1)长为：,宽为： (2)，91 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、列代数式、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值． （1）结合图形进行分析即可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由题意得：B型卡片的长为：,宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： 当，时， 【考点题型十五】运用完全平方公式进行运算（） 【例15】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟知是解题的关键． 根据完全平方公式得到①，②，然后把两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①＋②得，， ∴， 故选：A． 【变式15-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）． 【答案】嘉嘉 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式可将变形为，利用完全平方公式将变形为，再根据“4倍数”的定义判断即可． 【详解】解：， 因此是“4倍数”， ， 可知不能写成4的倍数， 因此不是“4倍数”， 故嘉嘉说得对，琪琪说得不对． 故答案为：嘉嘉． 【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式，理解“4倍数”的定义． 【变式15-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的运算；先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算，再代入求值． 【详解】解： . 当时，原式． 【考点题型十六】完全平方公式在几何图形中的应用（） 【例16】（23-24七年级下·河北保定·期中）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（   ）块 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【详解】解：∵， ∴还需取丙纸片8块， 故选：C． 【变式16-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中的阴影部分的面积为； 故答案为：． 【变式16-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ，得．    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则__________； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式变形的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据，得，再将，代入即可求出答案； （2）设大正方形的边长为m，正方形的边长为n，根据面积和为，边长和为，求得，再根据图形和三角形面积公式即可求出摆放花卉场地的面积． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）设大正方形的边长为m，正方形的边长为n，面积和为，边长和为， ，， ， ， 解得：， ， ， ②， 由①②解得：， ． 【考点题型十七】用科学记数法表示绝对值大于1的数（） 【例17】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为，则n的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据“科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同，”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式17-1】（2025七年级下·河北·专题练习）2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：9540000； 故答案为： 【变式17-2】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）； (2)（结果用科学记数法表示）； (3)（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣3）． 【答案】(1)1 (2) (3)4 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）把第二项利用平方差公式变形后计算即可； （2）先算幂的乘方，再根据有理数的运算法则计算，然后写成科学记数法的形式； （3）先算平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项． 【详解】（1） ； （2）原式 ； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【考点题型十八】用科学记数法表示绝对值小于1的数（） 【例18】（23-24八年级下·河北沧州·期中）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数0.000000007用科学记数法表示为． 故选：A． 【变式18-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据“用科学记数法表示较小的数，一般形式为，，n为整数，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定，”进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式18-2】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①、②、③、④，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的． (1)若第④个小圆中填写的数是3240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数． (2)若第①个小圆中填写的数是，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数． 【答案】(1) (2) 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】（1）先列算式，再根据科学记数法求解； （2）先列算式，再根据科学记数法求解. 【详解】（1）解：由题意得：第①个小圆中所填写的数为：； （2）解：由题意得：第④个小圆中所填写的数为：. 【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的定义是关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的乘法（12个考点梳理+18题型解读） 清单01同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 清单02 幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 清单03同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 清单04 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 清单05 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 清单06多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 清单07 完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 清单08 完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 清单09 平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 清单10平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 清单11零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 清单12 负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【考点题型一】同底数幂相乘（） 【例1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 【考点题型二】幂的乘方运算（） 【例2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知是正整数，若，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．无法确定 【变式2-1】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： ； ． 【变式2-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1)解方程组： (2) (3) (4) 【考点题型三】幂的乘方的逆用（） 【例3】（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）已知则 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【考点题型四】积的乘方运算（） 【例4】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（21-22七年级下·河北承德·期中）计算： ； = 【变式4-2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）仔细阅读下列计算过程： （__________________） （__________________） （__________________） (1)在横线上填写恰当的运算根据； (2)请你写出与上面解法不同的解法． 【考点题型五】同底数幂的除法运算（） 【例5】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）在等式中，括号内的代数式应是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）若则 ． 【变式5-2】（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【考点题型六】零指数幂（） 【例6】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）计算（   ） A．0 B．1 C．2025 D． 【变式6-1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）计算： ． 【变式6-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【考点题型七】负整数指数幂（） 【例7】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）计算： ． （2）计算： ． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如果，那么我们规定，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________； (2)记，，；求证：． 【考点题型八】计算单项式乘单项式（） 【例8】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习） ； ． 【变式8-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)解方程组：． 【考点题型九】计算单项式乘多项式及求值（） 【例9】（23-24七年级下·河北保定·期中）当时，代数式的值是（    ） A．10 B． C． D．6 【变式9-1】（21-22七年级下·河北保定·期末）□，□内应填写 ． 【变式9-2】（23-24七年级下·河北承德·期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：    (1)求所捂的多项式； (2)若，，求所捂多项式的值． 【考点题型十】单项式乘多项式的应用（） 【例10】（23-24七年级下·河北承德·期中）观察图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）一长方体的长、宽、高分别是，，，它的体积等于 （写最简结果）． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． (1)用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (2)当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； (3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【考点题型十一】多项式乘多项式与图形面积（） 【例11】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，有，两类正方形卡片和类长方形卡片若干张．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片张，类卡片 张，类卡片 张．    【变式11-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【考点题型十二】（x+p）（x+q）型多项式乘法（） 【例12】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）若，则m的值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【变式12-1】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则 ， ． 【变式12-2】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【考点题型十三】运用平方差公式进行运算（） 【例13】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为 ． 【变式13-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【考点题型十四】平方差公式与几何图形（） 【例14】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式乘法公式的过程中，每个公式的推导，教材编写者都安排了运用图形面积来加以验证的过程．如图，现有四种方案，其中能借助图形面积验证的正确性的方案是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式14-1】（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为的正方形用地，，其中种菜，种花，不能使用的部分（阴影部分）为，面积为． （1）种菜和花的总面积为 （用含的代数式表示）． （2）经测量，与之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则比长 米． 【变式14-2】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 【考点题型十五】运用完全平方公式进行运算（） 【例15】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若，，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式15-1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断 说得对（填“嘉嘉”、“琪琪”或“嘉嘉、琪琪”）． 【变式15-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【考点题型十六】完全平方公式在几何图形中的应用（） 【例16】（23-24七年级下·河北保定·期中）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（   ）块 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式16-1】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ．    【变式16-2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，求的值． 解：， ，即． 又， ，得．    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则__________； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地、，两个正方形面积和为，两个正方形边长和为，学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【考点题型十七】用科学记数法表示绝对值大于1的数（） 【例17】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为，则n的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式17-1】（2025七年级下·河北·专题练习）2024年全国新生人口为9540000人，将9540000用科学记数法表示为 ． 【变式17-2】（22-23七年级下·河北邯郸·阶段练习）计算： (1)（用简便方法）； (2)（结果用科学记数法表示）； (3)（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣3）． 【考点题型十八】用科学记数法表示绝对值小于1的数（） 【例18】（23-24八年级下·河北沧州·期中）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，将这个数用科学记数法表示为 ． 【变式18-2】（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，有4个小圆，自左向右分别标记为①、②、③、④，在每个小圆中分别填写一个有理数，且后一个小圆中填写的数是前一个小圆中填写的数的． (1)若第④个小圆中填写的数是3240，请用科学记数法表示第①个小圆中所填写的数． (2)若第①个小圆中填写的数是，请用科学记数法表示第④个小圆中所填写的数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$