专题03 整式的乘法（必刷50题19种题型）七年级数学下学期新教材冀教版

专题03 整式的乘法（必刷50题19种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂相乘 （高频） 题型二 幂的乘方运算（重点） 题型三 幂的乘方的逆用 题型四 积的乘方运算（重点） 题型五 同底数幂的除法运算（难点） 题型六 零指数幂（高频） 题型七 负整数指数幂（易错） 题型八 计算单项式乘单项式（高频） 题型九 单项式乘多项式的应用（难点） 题型十 计算多项式乘多项式 题型十一 多项式乘多项式与图形面积（重点） 题型十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法（难点） 题型十三 多项式乘多项式——化简求值（易错） 题型十四 运用平方差公式进行运算 题型十五 平方差公式与几何图形（难点） 题型十六 运用完全平方公式进行运算 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数（高频） 题型十九 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型一 同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 2．（22-23七年级下·河北沧州·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；若，则，那么 ． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 题型二 幂的乘方运算 4．（23-24七年级下·河北唐山·期中）若算式，推测算式表示的意义是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·河北唐山·期中）计算： ． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（） A． B． C． D． 题型三 幂的乘方的逆用 7．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）若，则 ． 8．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）能被整除吗？为什么？ 题型四 积的乘方运算 9．（23-24七年级下·河北沧州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22七年级下·河北唐山·期中）（1）填表： a b n 1 2 2 1 4 ________ 3 3 27 ______ 4 _________ （2）通过填表，嘉琪发现：当n为正整数时，无论a、b取何值，代数式和的值总相等，为此，他写出了如下说理过程，请你将它补充完整． ＝__________． 运算的依据 （________________） （________________） 题型五 同底数幂的除法运算 11．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，的计算结果是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·河北保定·期中）计算，则“？”表示的数字为 ． 13．（23-24七年级下·河北承德·期中）计算 (1)解方程组： (2)化简： 题型六 零指数幂 14．（22-23七年级下·河北唐山·期末）计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．4 15．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： ； ． 16．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2)． 题型七 负整数指数幂 17．（23-24七年级下·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．4 18．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ． 19．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）解方程组：． 题型八 计算单项式乘单项式 20．（22-23七年级下·河北张家口·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)解方程组：． 22．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计算题目，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人．自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙、丙 题型九 单项式乘多项式的应用 23．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方体的长、宽、高分别为和，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 25．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 题型十 计算多项式乘多项式 26．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．-8 D．9 27．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 28．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知． (1)先化简，再求当，时，的值； (2)若，求的值． 题型十一 多项式乘多项式与图形面积 29．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 30．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23七年级下·河北邢台·期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），其面积分别为，．    (1)请用含的代数式分别表示，； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． 题型十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 33．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，其中a、b为整数，则整数m可能的取值有 个． 34．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 题型十三 多项式乘多项式——化简求值 35．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 36．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 先化简，再求值：，其中． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 当时， 原式……第四步 ．……第五步 任务： (1)小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是______．（填“平方差公式”或“完全平方公式”） (2)小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是（    ）． A． 数形结合思想    B． 整体代入思想    C． 分类讨论思想    D． 转化思想 (3)求式子的值，其中． 题型十四 运用平方差公式进行运算 37．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）等式“”中的“”表示的数是（     ） A．4 B． C．16 D． 38．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用乘法公式简便计算：． 题型十五 平方差公式与几何图形 39．（22-23七年级下·河北张家口·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图②的长方形，则可以验证平方差公式，其中用到的数学思想是（    ）    A．数形结合思想 B．分类思想 C．方程思想 D．转化思想 40．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 题型十六 运用完全平方公式进行运算 41．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将边长为的大正方形分成四部分． 探究： （1）请用不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到的等量关系是 ． 应用： （2）利用（1）中的结论计算 ；若x满足，则 ． 43．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）某学校开垦了两块园地当作学生劳动实践活动基地．两块园地中，一块是长方形，另一块是正方形．春季学生在这两块园地内种植同一种蔬菜，若长方形园地每排种植株，种植了排，正方形园地每排种植株，种植了排（）． (1)请计算长方形园地种植的蔬菜比正方形园地种植的蔬菜多多少株． (2)当，时，这两块园地一共种植了多少株蔬菜？ 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 44．（21-22七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 45．（23-24七年级下·河北邢台·期中）把一个边长为x的小正方形，每条边均增加3，得到一个大正方形． （1）用x的代数式表示小正方形的面积为 ； （2）若大正方形的面积比小正方形的面积大39，则 ． 46．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（    ）    A．；B． C．；D． （2）我们可以用几何图形来解决一些代数问题： ①如图（甲）可以写出一个关于a，b代数恒等式表示 ； ②图（乙）是四张完全重合的矩形纸片拼成的图形，图中阴影部分为正方形，它的边长为 ；请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示 ．    题型十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 47．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某校的家长课堂直播点击量达105000人次． 数据105000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 48．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）有一种长度单位叫纳米，，现用边长为1纳米的小正方体堆垒成边长为1cm的正方体要用多少个边长为1纳米的小正方体？ 题型十 九用科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）花粉是种子植物产生的粉状物质．它由产生雄性配子（精子细胞）的花粉粒（高度还原的小配子体）组成．单个花粉粒足够小，需要放大才能看到细节．一粒某种植物花粉的质量约为毫克，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）光速约为米秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． （2）某种病毒的长度为，这个数据用科学记数法表示为 ． $$专题03 整式的乘法（必刷50题19种题型专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 同底数幂相乘 （高频） 题型二 幂的乘方运算（重点） 题型三 幂的乘方的逆用 题型四 积的乘方运算（重点） 题型五 同底数幂的除法运算（难点） 题型六 零指数幂（高频） 题型七 负整数指数幂（易错） 题型八 计算单项式乘单项式（高频） 题型九 单项式乘多项式的应用（难点） 题型十 计算多项式乘多项式 题型十一 多项式乘多项式与图形面积（重点） 题型十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法（难点） 题型十三 多项式乘多项式——化简求值（易错） 题型十四 运用平方差公式进行运算 题型十五 平方差公式与几何图形（难点） 题型十六 运用完全平方公式进行运算 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数（高频） 题型十九 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型一 同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）已知，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ∴， ． 故选：B． 2．（22-23七年级下·河北沧州·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；若，则，那么 ． 【答案】/ 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 3．（23-24七年级下·河北沧州·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 【答案】(1)125 (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （3）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：① ∴ ； 故答案为：125； （2） ， ， ， ， ； （3）， ， ． 题型二 幂的乘方运算 4．（23-24七年级下·河北唐山·期中）若算式，推测算式表示的意义是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查乘方的意义．掌握表示n个a相乘是解题的关键． 根据乘方的意义解答即可． 【详解】解： 故选：B． 5．（22-23七年级下·河北唐山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法是解题的关键． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了乘方的意义，根据乘方的意义写出幂的形式即可． 【详解】解：个2相乘写成幂的形式为个3相加写成积的形式为， 故， 故选：D． 题型三 幂的乘方的逆用 7．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）若，则 ． 【答案】5 【知识点】幂的乘方的逆用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了幂的乘方，解一元一次方程．原式先化为，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）能被整除吗？为什么？ 【答案】能被整除，原因见解析 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】根据幂的乘方可得，，，进而利用幂的乘方运算化简可得，即可求解． 【详解】，，， 所以 所以能被45整除. 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 题型四 积的乘方运算 9．（23-24七年级下·河北沧州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】题目主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 10．（21-22七年级下·河北唐山·期中）（1）填表： a b n 1 2 2 1 4 ________ 3 3 27 ______ 4 _________ （2）通过填表，嘉琪发现：当n为正整数时，无论a、b取何值，代数式和的值总相等，为此，他写出了如下说理过程，请你将它补充完整． ＝__________． 运算的依据 （________________） （________________） 【答案】（1）4，－8， （2）；乘法交换律、乘法结合律；乘方的意义 【知识点】积的乘方运算、有理数的乘方运算、有理数幂的概念理解、有理数乘法运算律 【分析】（1）根据表格结合有理数的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据乘方的意义填空即可． 【详解】解：（1）表格填写内容，由上到下依次为：； ；， 故答案为：4，－8，； （2） ＝． 运算的依据 （乘法交换律、乘法结合律） （乘方的意义） 故答案为：；乘法交换律、乘法结合律；乘方的意义． 【点睛】本题考查积的乘方的意义、积的乘方、乘法交换律、乘法结合律．掌握运算法则是解题关键． 题型五 同底数幂的除法运算 11．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂除法的运算，熟练掌握相应运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 12．（23-24七年级下·河北保定·期中）计算，则“？”表示的数字为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，根据结合同底数幂的除法法则计算即可得出答案，熟练掌握同底数幂的除法法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·河北承德·期中）计算 (1)解方程组： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法、单项式乘单项式、同底数幂的除法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． （1）利用加减消元法解出方程组； （2）根据积的乘方法则、单项式乘单项式、同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 所以方程组的解为：； （2）解： ． 题型六 零指数幂 14．（22-23七年级下·河北唐山·期末）计算的结果是（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】根据，即可得出结果． 【详解】解：； 故选C 【点睛】本题考查零指数幂．熟练掌握，是解题的关键． 15．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： ； ． 【答案】 9 1 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】分别根据负整数指数幂和零指数幂进行计算即可． 【详解】， ， 故答案为：9，1． 【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、同底数幂相乘、有理数的乘方运算 【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型七 负整数指数幂 17．（23-24七年级下·河北沧州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的意义，“一般的，当n为正整数时，” ，据此进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 18．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了比较数的大小，幂的运算，先计算，及的值，再比较两个数的大小即可，解题关键是掌握幂的运算法则． 【详解】解：，， 又， ， 故答案为：． 19．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）解方程组：． 【答案】（1）1；（2）8；（3）； 【知识点】加减消元法、负整数指数幂、同底数幂相乘、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂和绝对值的运算法则计算求值即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算求值即可； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解： （1）原式； （2）∵， ∴； （3）， 得：， 得：， 把代入得， 解得：， ∴方程组的解为； 【点睛】本题考查了幂的运算，乘方的性质，解二元一次方程组，掌握相关运算法则和解方程组的步骤是解题关键． 题型八 计算单项式乘单项式 20．（22-23七年级下·河北张家口·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】单项式乘以单项式，系数与系数相乘作积的系数，同底数幂相乘作积的因式，多余的字母及指数不变作积的因式，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 21．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)解方程组：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算单项式乘单项式、计算多项式乘多项式、加减消元法 【分析】本题考查单项式乘单项式，多项式乘多项式，解二元一次方程组： （1）根据单项式乘单项式法则计算； （2）根据多项式乘多项式法则计算； （3）利用加减消元法计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为． 22．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计算题目，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人．自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丙 C．甲和丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算 【分析】根据积的乘方计算法则即可判断甲；根据同底数幂除法计算法则即可判断乙，根据单项式乘以单项式的计算法则即可判断丙． 【详解】解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型九 单项式乘多项式的应用 23．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方体的长、宽、高分别为和，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了多项式乘单项式，根据体积等于长×宽×高，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个长方体的长、宽、高分别为和， ∴， 故选：C 24．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 25．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，一条水渠的横断面是梯形，其两底边的宽度分别为米和米，高为米． (1)求水渠的横断面的面积； (2)如果水渠长米，那么该水渠可以蓄水多少立方米？ 【答案】(1)水渠的横断面积为平方米． (2)水渠可以蓄水立方米． 【知识点】单项式乘多项式的应用、列代数式 【分析】本题主要考查代数式的运用，整式的混合运算，掌握代数式表示数或数量关系的方法，整式的运算法则是解题的关键． （1）根据几何图形面积的计算公式代入计算即可； （2）根据体积的计算公式即可求解． 【详解】（1）解：平方米， ∴水渠的横断面的面积为平方米； （2）解：立方米， ∴水渠可以蓄水立方米． 题型十 计算多项式乘多项式 26．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C．-8 D．9 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键． 先根据多项式相等则对应项的系数相等求出m与n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 27．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查整式的乘法和比较大小，利用整体换元将整式化简，然后利用作差法比较大小是解决本题的关键．设，表示出E与F，利用作差法比较大小即可． 【详解】解：设， 则， ， ∴ ， ∵，，…，均为正数， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 28．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知． (1)先化简，再求当，时，的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、计算多项式乘多项式、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】（1）根据多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方化简后，代入数据求解即可； （2）把代入（1）化简后的式子求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式． （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，同底数幂的除法、积的乘方以及求代数式的值，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 题型十一 多项式乘多项式与图形面积 29．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）用如图所示的卡片拼成一个长为，宽为的长方形，则需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式的乘法的应用．根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵ 长方形长为，宽为， ∴长方形的面积：， ∴需要A类，B类、C类卡片的张数分别是3、2、5张． 故选：D． 30．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形，表示出花园的长和宽，再计算即可． 【详解】由题意可得，花园的长为，宽为， ∴花园的面积为， 故选：D． 31．（22-23七年级下·河北邢台·期中）甲、乙两个长方形的边长如图所示（为正整数），其面积分别为，．    (1)请用含的代数式分别表示，； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是，19 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式加减的应用 【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可； （2）结合（1）列出相应的式子，再进行运算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：设该正方形的边长为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， 答：与的差是常数19． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型十二 （x+p）（x+q）型多项式乘法 32．（23-24七年级下·河北保定·期中）已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，利用多项式乘以多项式的法则将等号左边展开，根据等号左右两边对应相等得出的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ，，， 解得：， ， 故选：A． 33．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，其中a、b为整数，则整数m可能的取值有 个． 【答案】8 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的计算法则，先根据多项式乘多项式的计算法则得到，，从而可得、的值，由此即可得到答案， 【详解】解：， ， ，， 、为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或或， ，，，，，，，，，， 或14或11或10或或或或， 的取值有8个， 故答案为：8． 34．（23-24七年级下·河北保定·期中）回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)8或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，则，再由都是整数，，得到或或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ； ④ ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 题型十三 多项式乘多项式——化简求值 35．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值： （1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解； （2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 36．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）下面是小刚同学解答一道题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 先化简，再求值：，其中． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 当时， 原式……第四步 ．……第五步 任务： (1)小刚在解答过程中，从第三步到第四步涉及到的乘法公式是______．（填“平方差公式”或“完全平方公式”） (2)小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是（    ）． A． 数形结合思想    B． 整体代入思想    C． 分类讨论思想    D． 转化思想 (3)求式子的值，其中． 【答案】(1)完全平方公式 (2)B (3) 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是整式的混合运算，因式分解，化简求值，掌握完全平方公式与整体思想是解本题的关键； （1）由计算过程可得利用了完全平方公式分解因式； （2）由整体代入计算可得体现的是整体思想； （3）先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：从第三步到第四步涉及到的乘法公式是：完全平方公式； （2）小刚在解答过程中，第五步的运算体现的数学思想是：整体代入思想， 故选B （3） ， ∵， ∴， ∴原式； 题型十四 运用平方差公式进行运算 37．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）等式“”中的“”表示的数是（     ） A．4 B． C．16 D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∴， ∴“”表示的数是， 故选∶B． 38．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）按要求完成下列各小题 (1)计算：； (2)因式分解：； (3)利用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、完全平方公式分解因式、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）先算同底数幂的乘法，积的乘方，再算同底数幂的除法，最后合并同类项即可； （2）展开后利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，方差公式，分解因式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型十五 平方差公式与几何图形 39．（22-23七年级下·河北张家口·期中）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图②的长方形，则可以验证平方差公式，其中用到的数学思想是（    ）    A．数形结合思想 B．分类思想 C．方程思想 D．转化思想 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据平方差公式的几何背景的探究方式即可得到答案． 【详解】解：平方差公式的几何背景是运用数形结合思想探究问题， 故选：A． 【点睛】本题考查了探究数学问题解决问题的能力，解题的关键是能根据数学问题的探究方式进行判断． 40．（23-24七年级下·河北邢台·期末）[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【答案】探究： [应用]（1）4 （2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． [探究]根据阴影部分的面积相等，得到； [应用]（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：[探究]：由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， 可以得到乘法公式， 故答案为：；． [应用] （1） ． （2） ． 题型十六 运用完全平方公式进行运算 41．（23-24七年级下·河北唐山·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查幂的相关运算，完全平方公式．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A选项：，本选项计算错误，不符合题意； B选项：，本选项计算错误，不符合题意； C选项：，本选项计算错误，不符合题意； D选项：，本选项计算正确，符合题意． 故选：D 42．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）如图，将边长为的大正方形分成四部分． 探究： （1）请用不同的方法表示这个大正方形的面积，从而得到的等量关系是 ． 应用： （2）利用（1）中的结论计算 ；若x满足，则 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）由大的正方形的面积的两种不同的计算方法可得公式； （2）把化为，再利用公式进行计算即可；再设设，，可得，，则，求解，从而可得答案． 【详解】解：（1）大正方形的面积为或， ∴； 故答案为：， （2）； ∵， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何意义，完全平方公式的灵活应用，理解公式是解本题的关键． 43．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）某学校开垦了两块园地当作学生劳动实践活动基地．两块园地中，一块是长方形，另一块是正方形．春季学生在这两块园地内种植同一种蔬菜，若长方形园地每排种植株，种植了排，正方形园地每排种植株，种植了排（）． (1)请计算长方形园地种植的蔬菜比正方形园地种植的蔬菜多多少株． (2)当，时，这两块园地一共种植了多少株蔬菜？ 【答案】(1)多株； (2)株． 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、合并同类项 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意列式并化简计算即可； （）先根据题意列式并化简计算，然后把，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 答：长方形园地种植的蔬菜比正方形园地种植的蔬菜多株； （2）解：由题意得 ； 当，时， 原式 （株）， 答：当，时，这两块园地一共种植了株蔬菜． 题型十七 完全平方公式在几何图形中的应用 44．（21-22七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据得到，根据得到，结合求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 45．（23-24七年级下·河北邢台·期中）把一个边长为x的小正方形，每条边均增加3，得到一个大正方形． （1）用x的代数式表示小正方形的面积为 ； （2）若大正方形的面积比小正方形的面积大39，则 ． 【答案】 5 【知识点】列代数式、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式： （1）根据正方形面积公式求解即可； （2）根据题意可得大正方形的面积为，再由大正方形的面积比小正方形的面积大39，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵小正方形的边长为x， ∴小正方形的面积为， 故答案为：； （2）由题意得，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∵大正方形的面积比小正方形的面积大39， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（    ）    A．；B． C．；D． （2）我们可以用几何图形来解决一些代数问题： ①如图（甲）可以写出一个关于a，b代数恒等式表示 ； ②图（乙）是四张完全重合的矩形纸片拼成的图形，图中阴影部分为正方形，它的边长为 ；请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示 ．    【答案】（1）A；（2）①；②， 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式在几何图形中的应用： （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的长方形，可表示出面积为，据此可得打啊； （2）①图甲中大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则大正方形面积为，据此可得答案；②图乙中阴影部分为一个边长为的正方形，则该阴影部分面积为，而阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则该阴影部分面积为，据此可得答案． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①，图②中阴影部分的面积相等可得，， 故选：A； （2）①图甲中大正方形的边长为，则其面积为， 而大正方形的面积等于边长为a的正方形面积加上边长为b的正方形面积加上2个长为a，宽为b的长方形面积，则大正方形面积为， ∴， 故答案为：； ②图乙中阴影部分为一个边长为的正方形，则该阴影部分面积为， 而阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则该阴影部分面积为， ∴， 故答案为：，． 题型十八 用科学记数法表示绝对值大于1的数 47．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）某校的家长课堂直播点击量达105000人次． 数据105000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据“科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同，”进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 48．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）有一种长度单位叫纳米，，现用边长为1纳米的小正方体堆垒成边长为1cm的正方体要用多少个边长为1纳米的小正方体？ 【答案】要用个 【知识点】幂的乘方运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】首先利用表示出的长度，然后利用体积公式即可求得． 【详解】解：， ． ． 答：要用个． 【点睛】本题考查了幂的运算以及科学记数法，解题的关键是正确理解幂的意义． 题型十 九用科学记数法表示绝对值小于1的数 49．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）花粉是种子植物产生的粉状物质．它由产生雄性配子（精子细胞）的花粉粒（高度还原的小配子体）组成．单个花粉粒足够小，需要放大才能看到细节．一粒某种植物花粉的质量约为毫克，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 50．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）光速约为米秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． （2）某种病毒的长度为，这个数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可； （2）用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：（1）米； 故答案为：； （2）用科学记数法进行表示为； 故答案为：． $$