第四章 因式分解（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第四章 因式分解 （B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各式在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（　　） ①x2+4；②m2﹣n2；③﹣a2+b2；④﹣x2﹣y2；⑤1﹣4b2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：①x2+4，不能用平方差公式分解因式； ②m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），能用平方差公式分解因式； ③﹣a2+b2＝b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式分解因式； ④﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能用平方差公式分解因式； ⑤1﹣4b2＝（1+2b）（1﹣2b），能用平方差公式分解因式； 所以在实数范围内能用平方差公式分解因式的有3个， 故选：B． 2．多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是（　　） A．4x2y2 B．4xyz C．4x2y4 D．4xy2 【解答】解：多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是4xy2； 故选：D． 3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【解答】解：x﹣3xy＝x（1﹣3y）是因式分解，（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3是乘法运算， 故选：C． 4．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝bc﹣ac，则△ABC为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：a2﹣b2＝bc﹣ac， （a+b）（a﹣b）＝﹣c（a﹣b）， ∵a+b≠﹣c， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b． ∴△ABC为等腰三角形． 故选：A． 5．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．30 【解答】解：长和宽分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6， ∴a+b＝5，ab＝6 ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×6＝30． 故选：D． 6．若多项式x2+mx﹣45可因式分解为（x+5）（x﹣9），则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣14 D．14 【解答】解：根据题意得：x2+mx﹣45＝（x+5）（x﹣9）＝x2﹣4x﹣45， 则m＝﹣4． 故选：B． 7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：C． 8．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 【解答】解：由题知， 因为a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c， 所以a2+b2+c2+200﹣12a﹣16b﹣20c＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， 所以a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， 则a＝6，b＝8，c＝10． 因为62+82＝102， 即a2+b2＝c2， 所以∠C＝90°， 所以△ABC斜边上的高为． 故选：B． 9．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 【解答】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2， ∴k＝±12． 故选：D． 10．已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18 【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7， ∴a2b+ab2﹣a﹣b ＝（a2b+ab2）﹣（a+b） ＝ab（a+b）﹣（a+b） ＝（ab﹣1）（a+b） ＝（7﹣1）×（﹣3） ＝﹣18， 故选：D． 11．若a+p，，则a2+p2＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵a+p，， ∴a2+p2 ＝（a+p）2﹣2ap＝（）2﹣2 ＝4， 故选：B． 12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），如果s×t（s≤t）在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称s×t是n的最佳分解，并规定：F（n），例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6，则F（24）．结合以上信息，给出下列关于F（n）的说法：①F（3）；②F（12）；③F（2024）；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①∵3＝1×3，则，故①正确； ②∵12＝1×12＝2×6＝3×4，∴，故②正确； ③∵2024＝23×11×23＝4×11×2×23＝44×46 ∴；故③正确 ④∵n是一个整数的平方， ∴设n＝a2（a为整数）， ∵a和a的差为绝对值最小的数0， ∴F（n）＝1，故④正确． ∴正确的有④． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．分解因式y2﹣25＝　（y﹣5）（y+5）　 ． 【解答】解：原式＝（y﹣5）（y+5）， 故答案为：（y﹣5）（y+5）． 14．已知代数式x2+x+6的值是7，则代数式x3+2x2+17的值是 　18　 ． 【解答】解：∵代数式x2+x+6的值是7， ∴x2+x＝1，x2＝1﹣x， ∴x3+2x2+17 ＝x（x2+2x）+17 ＝x（1﹣x+2x）+17 ＝x（x+1）+17 ＝x2+x+17 ＝1+17 ＝18， 故答案为：18． 15．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 　（a+b）（a+2b）　 ． 【解答】解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2， 也可以为（a+b）（a+2b）， 则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b）， 故答案为：（a+b）（a+2b）． 16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 　104020（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【解答】解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y）， 当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．因式分解： （1）2a2﹣4a； （2）ax2+2axy+ay2． 【解答】解：（1）原式＝2a（a﹣2）； （2）原式＝a（x2+2xy+y2） ＝a（x+y）2． 18．已知在△ABC中，a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断该三角形的形状，并说明理由． 【解答】解：△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0， ∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． 19．如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径r的四个小圆孔，若R＝8.6cm，r＝0.7cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（π取3.14） 【解答】解：依题意得：8.62π﹣0.72π×4＝（8.62﹣1.42）π＝（8.6+1.4）（8.6﹣1.4）π＝10×7.2×3.14＝226.08（cm2）． 答：剩余钢板面积为226.08cm2． 20．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b的值，分解的结是（x﹣2）（x﹣3），求a+b的值． 【解答】解：∵甲：（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6；乙：（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴b＝﹣6，a＝﹣5， ∴a+b＝﹣5+（﹣6）＝﹣11． 21．甲三角形的周长为3a2﹣6b+10，乙三角形的第一条边长为a2﹣2b，第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣4． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由； 【解答】解：（1）∵第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣4． ∴第三条边长：（a2﹣3b）﹣（a2﹣2b﹣4）＝a2﹣3b﹣a2+2b+4＝﹣b+4． 答：乙三角形第三条边的长是﹣b+4． （2）乙三角形的周长为：（a2﹣2b）+（a2﹣3b）+（﹣b+4）＝2a2﹣6b+4． 甲、乙三角形的周长的差为：（3a2﹣6b+10）﹣（2a2﹣6b+4）＝a2+6． 因为 a2+6＞0，所以甲三角形的周长较大． 答：甲三角形的周长大． 22．若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1， 如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6． （1）计算：（﹣x）△（1﹣x）． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； 【解答】解：（1）由题意，得： （﹣x）△（1﹣x） ＝（﹣x）3﹣（1﹣x）2+（﹣x）（1﹣x）+1 ＝﹣x3﹣（1﹣2x+x2）﹣x+x2+1 ＝﹣x3﹣1+2x﹣x2﹣x+x2+1 ＝﹣x3+x； （2）﹣x3+x ＝﹣x（x2﹣1） ＝﹣x（x+1）（x﹣1）． 23．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b． （1）观察图形，可以发现式子2a2+5ab+2b2可以因式分解为 　（a+2b）（2a+b）　 ； （2）若图中阴影部分的面积为242cm2，大长方形纸板的周长为78cm，求图中空白部分的面积． 【解答】解：（1）∵2a2+5ab+2b2表示的是长方形的总面积， ∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）， 故答案为：（a+2b）（2a+b）； （2）∵大长方形纸板的周长为78cm， ∴（a+2b+b+2a）×2＝78， 即：a+b＝13， ∵阴影部分的面积为242cm2， ∴2a2+2b2＝242，即a2+b2＝121， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴ab24， ∴5ab＝120， ∴空白部分的面积为120cm2． 24．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值． 【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+3＝0， ∴x＝﹣3，y＝﹣3， ∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 即xy的值是9． （2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0， ∴a＝5，b＝6， ∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6， ∴6≤c＜11， ∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10． 25．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　 ； （2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值； （3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：（a+6+c）2． 还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． .∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）由（2）知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝100﹣2（ab+ac+bc）＝100﹣76＝24． （3）S阴影＝SABCD﹣S△DGF﹣S△ABD﹣SFECG＝AB•ADEC•CG＝a2b（a﹣b）b2（a2﹣b2）（a+b）（a﹣b）． ∵a﹣b＝2，ab＝3且（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．． ∵a+b＞0， ∴a+b＝4． ∴S阴影4×23． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 因式分解 （B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列各式在实数范围内能用平方差公式分解因式的有（　　） ①x2+4；②m2﹣n2；③﹣a2+b2；④﹣x2﹣y2；⑤1﹣4b2． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．多项式8x2y4﹣12xy2z的公因式是（　　） A．4x2y2 B．4xyz C．4x2y4 D．4xy2 3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 4．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝bc﹣ac，则△ABC为（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．30 6．若多项式x2+mx﹣45可因式分解为（x+5）（x﹣9），则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣14 D．14 7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b） 8．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 9．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（　　） A．6 B．±6 C．12 D．±12 10．已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18 11．若a+p，，则a2+p2＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），如果s×t（s≤t）在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称s×t是n的最佳分解，并规定：F（n），例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6，则F（24）．结合以上信息，给出下列关于F（n）的说法：①F（3）；②F（12）；③F（2024）；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．分解因式y2﹣25＝　 　 ． 14．已知代数式x2+x+6的值是7，则代数式x3+2x2+17的值是 　 　 ． 15．如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 　 　 ． 16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 　 　 （写出一个即可）． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）因式分解： （1）2a2﹣4a； （2）ax2+2axy+ay2． 18．．（10分）已知在△ABC中，a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，判断该三角形的形状，并说明理由． 19．．（10分）如图，在半径为R的圆形钢板上冲去半径r的四个小圆孔，若R＝8.6cm，r＝0.7cm，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（π取3.14） 20．．（10分）分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b的值，分解的结是（x﹣2）（x﹣3），求a+b的值． 21．．（10分）甲三角形的周长为3a2﹣6b+10，乙三角形的第一条边长为a2﹣2b，第二条边长为a2﹣3b，第三条边比第二条边短a2﹣2b﹣4． （1）求乙三角形第三条边的长； （2）甲、乙两个三角形的周长哪个大？请说明理由； 22．（11分）若定义一种运算：a△b＝a3﹣b2+ab+1， 如：2△（﹣3）＝23﹣（﹣3）2+2×（﹣3）+1＝8﹣9﹣6+1＝﹣6． （1）计算：（﹣x）△（1﹣x）． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； 23．．（12分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b． （1）观察图形，可以发现式子2a2+5ab+2b2可以因式分解为 　 　 ； （2）若图中阴影部分的面积为242cm2，大长方形纸板的周长为78cm，求图中空白部分的面积． 24．．（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值． 25．．（13分）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 　 　 ； （2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值； （3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$