2025年中考数学一轮复习基础知识精讲精练---二次根式的性质与化简

二次根式的性质与化简知识点总结 一、二次根式的性质 1. 非负性：若a≥0，则是一个非负数。这表明二次根式具有双重非负性，即被开方数非负，且根式结果也非负。 2. 平方性质：（）=a（a≥0）。此性质既可正用，表示一个非负数的平方根的平方等于原数；也可反用，即可以把任意一个非负数写成平方根的形式。 3. 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替。例如，若是a的因数，且b＞0，则。 二、二次根式的化简 1. 化为最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例如，（x＞0）。 2. 提取公因式：找出根式中的公因数进行提取，从而化简根式。例如：。 3. 分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变为有理数。这通常通过分子分母同时乘以分母的共轭式来实现。例如，对于，分子分母同时乘以分母的共轭式，得到==。 4. 利用公式化简：对于形如、的表达式，可以使用平方差公式、完全平方公式进行化简。例如，；。 5. 合并同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，可以直接合并。例如，。 在化简过程中，需要注意保持根式的最简形式，避免出现不必要的复杂计算。同时，要注意字母的取值范围，确保根式有意义 二次根式的性质与化简练习题 一．选择题（共10小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．a3+a5＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣a）2＝a2 D． 2．下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a2+a2＝a4 C．（a3）2＝a5 D． 3．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B． C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 4．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C．3 D． 6．要使，x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 7．下列运算正确的是（　　） A．2+3 B． C．（）2＝32 D．4 8．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 9．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：（　　） A．0 B．﹣2b C．2a D．﹣2a﹣2b 10．将化简，正确的结果是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±3 二．填空题（共10小题） 11．小明做数学题时，发现规律： ； ； ； ； … （1）第5个等式为　 　； （2）若（a，b为正整数），则a•b＝　 　． 12．化简：　 　． 13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是 　 　． 14．如图，若实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简 　 　． 15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简的结果为 　 　． 16．数a在数轴上表示如图，则化简的结果是 　 　． 17．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是 　 　． 18．能说明“不成立”的a的值是　 　．（写出一个即可） 19．实数a，b在数轴上对应位置如图所示，则 　 　． 20．化简：　 　． 三．解答题（共10小题） 21．铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为（a﹣b）2的形式，根据，因为，，所以a＝ 　 　，b＝ 　 　，则可得到化简． 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式； 【知识迁移与拓展】 （3）若1≤x≤2，解方程． 22．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 23．小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． 3tan30°+cos245°﹣2sin30°． ＝3（）2① ② ③ （1）错误步骤：　 　．（填最先出错的步骤序号即可） （2）写出正确解答步骤． 24．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|．从而达到化去一层根号的目的．例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴． （1）填上适当的数：|　 　|＝　 　； （2）当1≤x≤2时，化简． 25．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 26．观察下列各式及其验证过程： 2.验证：2． 3验证：． （1）按照上述规律，直接写出4的结果是　 　． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 27．阅读： ； ； ； … 感知： （1）　 　，　 　． 归纳： （2）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． 应用： （3）利用这一规律计算：．（写出计算过程） 28．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 29．阅读与思考： 先阅读下列材料的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a+b＝m，ab＝n，，， 那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12， ，． ∴ 仿照上例，计算： （1）； （2）． 30．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即， ∴ 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 二次根式的性质与化简 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C B C D B C 一．选择题（共10小题） 1．下列计算正确的是（　　） A．a3+a5＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣a）2＝a2 D． 【分析】根据这些运算法则依次判断即可． 【解答】解：A、a3与a5不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、a6÷a3＝a3，选项错误，不符合题意； C、（﹣a）2＝a2，选项正确，符合题意； D、，当a≥0时，，当a＜0时，，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，掌握以上性质是解题的关键． 2．下列运算结果正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．a2+a2＝a4 C．（a3）2＝a5 D． 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解． 【解答】解：A．a2•a3＝a5，a5＝a5选项计算正确，符合题意； B．a2+a2＝2a2，2a2≠a4选项计算不正确，不符合题意； C． （a3）2＝a6，a6≠a5选项计算不正确，不符合题意； D． ，选项计算不正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是关键． 3．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B． C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 【分析】根据二次根式的性质与化简，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式进行计算判断即可． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该项不正确，不符合题意； D、（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，熟记运算法则是解题的关键． 4．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴a﹣1＞0，a﹣2＜0， 原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键． 5．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】利用二次根式的性质，平方根与立方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：13，则A不符合题意； ±±3，则B不符合题意； 3，则C符合题意； 2，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质，平方根与立方根，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 6．要使，x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：要使， 则x﹣2≥0， 解得x≥2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．下列运算正确的是（　　） A．2+3 B． C．（）2＝32 D．4 【分析】根据二次根式的性质计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、32，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 8．若，则a的值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【分析】根据二次根式的性质判断出a+1的符号，求出a的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴a的值可以是﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 9．如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：（　　） A．0 B．﹣2b C．2a D．﹣2a﹣2b 【分析】由数轴得到a＜0＜b，a﹣b＜0，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【解答】解：由数轴可知a＜0＜b， ∴a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a﹣b+（a﹣b） ＝﹣a﹣b+a﹣b ＝﹣2b， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，熟练掌握以上知识点是关键． 10．将化简，正确的结果是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±3 【分析】首先把8分成22×2，然后根据化简二次根式的步骤，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来，求出将化简，正确的结果是多少即可． 【解答】解： ＝3 ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 二．填空题（共10小题） 11．小明做数学题时，发现规律： ； ； ； ； … （1）第5个等式为　　； （2）若（a，b为正整数），则a•b＝　520　． 【分析】（1）找出一系列等式的规律为的正整数），即可计算； （2）根据（1）设n＝8求出a与b的值，即可求得a•b的值． 【解答】解：（1）， ， ， ， 第5个等式为． 故答案为：； （2）根据题中的规律得：的正整数）， ∵， ∴a＝8，b＝82+1＝65， 则a•b＝8×65＝520． 故答案为：520． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，数字变化，掌握二次根式的性质与化简是关键． 12．化简：　　． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：． 故答案为． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握商的算术平方根的性质是解题的关键． 13．如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是 　5　． 【分析】由数轴知0＜a＜5，即可得a﹣5＜0，据此依据二次根式的性质化简可得． 【解答】解：由数轴知0＜a＜5， 则a﹣5＜0， ∴原式＝a﹣（a﹣5） ＝a﹣a+5 ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 14．如图，若实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简 　2a﹣b﹣c　． 【分析】由数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由图可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|， ∴a﹣b＜0，a+b﹣c＜0， ∴ ＝﹣b﹣（b﹣a）﹣（c﹣a﹣b） ＝﹣b﹣b+a﹣c+a+b ＝2a﹣b﹣c， 故答案为：2a﹣b﹣c． 【点评】本题主要考查了二次根式和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值和二次根式的性质，注意利用数形结合的数学思想解决问题． 15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简的结果为 　a　． 【分析】利用数轴确定出a，a+c，c﹣b，b﹣a的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【解答】解：由题意得：c＜a＜0＜b， ∴a+c＜0，c﹣b＜0，b﹣a＞0， ∴ ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣（b﹣a） ＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b+a ＝a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 16．数a在数轴上表示如图，则化简的结果是 　1　． 【分析】由数轴可得0＜a＜1，判断a﹣1＜0，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可． 【解答】解：由数轴可知a﹣1＜0， ∴原式＝|a﹣1|+a ＝1﹣a+a ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简．熟练掌握以上知识点是关键． 17．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是 　2a﹣3　． 【分析】根据a在数轴上的位置判断出其符号及a﹣1和a﹣2的符号，再化简绝对值和二次根式即可． 【解答】解：由数轴可得，1＜a＜2，则a﹣1＞0，a﹣2＜0， ∴|a﹣1|（a﹣1）﹣|a﹣2|＝（a﹣1）﹣（2﹣a）＝2a﹣3， 故答案为：2a﹣3． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及． 18．能说明“不成立”的a的值是　﹣3（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】根据“当a≥0时，，当a＜0时，，”进行求解即可． 【解答】解：当a＜0时，式子不成立，例如，﹣3． 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是关键． 19．实数a，b在数轴上对应位置如图所示，则 　a　． 【分析】由数轴得b＜0，a＞0，进一步得出a﹣b＞0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得b＜0，a＞0， ∴a﹣b＞0， ∴ ＝|a﹣b|﹣|b| ＝a﹣b﹣（﹣b） ＝a﹣b+b ＝a， 故答案为：a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．化简：　π﹣3　． 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴原式＝|3﹣π| ＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 三．解答题（共10小题） 21．铜仁市碧江区某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为（a﹣b）2的形式，根据，因为，，所以a＝ 　　，b＝ 　1　，则可得到化简． 【学以致用】 （2）请仿照小明的解题思路，化简二次根式； 【知识迁移与拓展】 （3）若1≤x≤2，解方程． 【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，左边化简得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可． 【解答】解：（1）∵3﹣2（）2， ∴， 故答案为：，1； （2）∵， ∴， （3）∵，， ∴ ， 又∵1≤x≤2， ∴， 方程左侧2， 故方程为， 解得：x＝1． 【点评】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． 22．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【分析】（1）根据算术平方根的求解即可； （2）根据立方根进行求解即可； （3）根据立方根进行求解即可； （4）根据算术平方根的定义求解即可； （5）根据算术平方根求解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式＝﹣1； （3）原式＝﹣3； （4）原式＝5； （5）原式＝7． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，掌握相应的运算法则是关键． 23．小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． 3tan30°+cos245°﹣2sin30°． ＝3（）2① ② ③ （1）错误步骤：　①　．（填最先出错的步骤序号即可） （2）写出正确解答步骤． 【分析】（1）先观察算式，找出三角函数值错误的地方即可； （2）把几个特殊角的三角函数值代入算式进行计算即可． 【解答】解：（1）错误的步骤是：①， 故答案为：①； （2）正确解答步骤为： 3tan30°+cos245°﹣2sin30° ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握常见的几个特殊角的三角函数值． 24．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn，则可变形为|m±n|．从而达到化去一层根号的目的．例如化简， ∵5＝3+2且6＝3×2， ∴． （1）填上适当的数：|　　|＝　　； （2）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【解答】解：（1） ， 故答案为：，，； （2）∵1≤x≤2， ∴， ， ， ， ＝2． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 25．在研究二次根式的化简时，遇到了这样一个问题：化简，过程如下： 根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【分析】直接利用完全平方公式结合二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 26．观察下列各式及其验证过程： 2.验证：2． 3验证：． （1）按照上述规律，直接写出4的结果是　　． （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明． 【分析】（1）根据规律，可得到答案； （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【解答】解：（1）∵2． 根据题干中反映的规律可得： ， 故答案为：； （2）（n为自然数，且n≥2）， 证明：． 【点评】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 27．阅读： ； ； ； … 感知： （1）　　，　　． 归纳： （2）根据你的观察、猜想，写一个含n（n为正整数）的等式表示该规律，不用证明． 应用： （3）利用这一规律计算：．（写出计算过程） 【分析】（1）利用有理数的减法法则和算术平方根的意义解答即可； （2）利用解题中反映的数字变化的规律解答即可； （3）利用（2）中的结论和二次根式的性质，将原式转化为被开方数中的每个因数算术平方根的乘积，再利用分数的乘法法则化简即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2）． 理由：； （3）原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数字变化的规律，通过计算观察得到式子变化的规律是解题的关键． 28．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 【分析】（1）根据题中给出的方法化简即可； （2）先仿照题中给出的方法化简，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，规律问题，理解题意，掌握题中给出的化简方法是解题的关键． 29．阅读与思考： 先阅读下列材料的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得a+b＝m，ab＝n，，， 那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12， ，． ∴ 仿照上例，计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据阅读部分的提示进行化简即可； （2）根据阅读部分的提示逐一进行化简，再合并即可． 【解答】解：（1）这里m＝6，n＝5．由于5+1＝6，5×1＝5， ，， ∴ ； （2） ． 【点评】本题属于阅读理解类型题，考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，理解化简的方法是解本题的关键． 30．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即， ∴ 根据上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论． 【解答】解：（1）； （2）； （3） ． 【点评】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，注意正确计算，解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 学科网（北京）股份有限公司 $$