2.6.2.1 函数的极值课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

6.2.1 函数的极值 （第一课时） 学习目标 1.了解函数极值的概念；（难点） 2.掌握函数在某点取得极值的条件；（易混点） 3.熟练掌握利用导数求函数的极值.（重点） 情境导入 题西林壁 宋·苏轼 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”． 同学们思考：“山势有什么特点？” 如图为部分截面图 联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”, 虽然这些点不一定是群山之中的最高（低）处，但却是其附近最高（低）点. 这就是我们本节课所要研究的内容函数的极值． 问：对于这些点该如何去研究呢？ 问1：函数··· 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 问2：函数··· 这些点的导数值是多少？ 问3：在这些点附件，导数的正负性有什么规律？ 例，可以发现： 函数的函数值它在该点附近的函数值都 ， 在点左侧，右侧 小 大 函数的函数值它在该点附近的函数值都 ， 在点左侧 ，右侧 新知探索 知识点一：函数的极值的概念 1、极大值点与极大值 在包含的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为的一点处的函数值都小于点的函数值，称点为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值. 知识点一：函数的极值的概念 2、极小值点与极小值 在包含的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为的一点处的函数值都大于点的函数值，称点为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值为函数的极小值。 注：函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 知识点二：判断函数的极值 y x O y=f(x) a b f (x)<0 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 （2）左右两侧函数的单调性怎样？ （3）附近的导数值的符号怎样？ （4）处的导数值为多少？ “左减右增” ， “左增右减” “左负右正”， “左正右负” , （1），其极值与极值点分别为？ 在取极小值为 知识点二：判断函数的极值 y x O y=f(x) a b f (x)<0 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 x x 左侧 侧 左侧 侧 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 极小值 极大值 思考1.函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 不一定.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，就没有极值点. 思考2.极大值一定大于极小值吗？ 思考3.函数在定义域上的极大值与极小值是唯一的吗？ 思考4.区间的端点能成为极值点吗? 不一定 不唯一 不能 总结：极值是函数的一种局部性质 思考5.导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 举例如下： (1)导数值为0的点是极值点：是极小值点. (2)导数值为0的点不是极值点： 不是极值点. (3)不可导点是极值点：当时，不可导，是极小值点. (4)不可导点不是极值点： 当时，不可导，不是极值点. 可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为极值点的必要条件. 思考6.求函数y＝f(x)的极值的步骤？ (1)求出函数的定义域及导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)； (3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点. 典例讲解 题型一 函数极值概念的理解　函数极值概念的理解 例1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x) (　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 C 例2． 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　　). A.在(-2,1)上f(x)是增函数 B.在(1,3)上f(x)是减函数 C.当x=2时,f(x)取得极大值 D.当x=4时,f(x)取得极大值 C 例3．函数的定义域为区间,其在定义域内的图像如图所示， 则在内的极小值点的个数为 个，极大值点的个数为 个 变式．函数的定义域为区间,若导数在内的图像如图所示，则在内的极小值点的个数为 个，极大值点的个数为 个 2 2 1 1 题型二 求不含参数的函数的极值　函数极值概念的理解 例：求下列函数的极值： (1) f(x) ＝x3－3x2－9x＋5； 解：(1)∵函数函数的定义域为R ， 令＝0，即＝0，解得， 3. 当变化时， ， f(x)的变化情况如下表： ∴当时，函数有极大值，且； 当时，函数有极小值，且. f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (2) 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e. ∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： f(x) ↗ 极大值 ↘ 因此，x＝e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值. (3) f(x) ＝x3(x－5)2. 解：函数f(x)的定义域为R， ∵. 令f′(x)＝0，即 解得： ∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： f(x) ↗ 无极值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当时，函数有极大值，且； 当时，函数有极小值，且. 思考：如何求含参数的函数的极值函数极值概念的理解 例．若函数f (x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f (x)的极值． 解：函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝. ①当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值． ②当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a. 当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0. ∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－aln a，无极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值； 当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值为a－aln a，无极大值． 求函数极值的注意事项 ①求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题： 一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去； 二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点. ②求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种： 一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论； 二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 课堂小结 1、极值的概念； 2、判断函数极值的方法； 3、求极值的步骤. 课后思考 已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值． 谢谢聆听 $$